高三数学(文科)双周练试卷.doc

高三数学（文科）双周练试卷
一、填空题：(每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上) 1、已知{
}
R x x x y y M ∈+-==,34|2
，{
}
R x x x y y N ∈++-==,82|2
则__________=N M {}|19x x -≤≤
2、sin163
sin 223sin 253sin313+=
12
3、已知3tan =
α，2
3π
απ<
<，那么ααsin cos -的值是 231+-
40
5、函数x
x
x x x x y tan tan cos cos sin sin +
+=
的值域是 {}3,1- 6、5
42--=a a x
y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是1,3
7、已知函数在2
sin1()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数，则实数a 的取值范围为[5，
+∞]
8、若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααα
α
c o s c o s 1s in 1s in 2
2-+-的值等于 0
9、若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN
10、函数x x y 2
4
cos sin +=的最小正周期为
2
π
11、已知函数11
()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是1,2⎡-⎢⎣⎦
12、不等式)1,0()24()3(2
∈-<-a x a x a 对恒成立，则x 的取值范围是(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,321, 13、在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图
为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直
角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于
7
25
14、给出下列命题：①存在实数x ，使3
s i n c o s 2
x x +=
；②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<；③函数2sin()3
2
y x π
=+是偶函数；④函数sin 2y x =的图象向左平
移
4
π
个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象．其中正确命题的序号是③
二、解答题：本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15、已知1
tan 3
α=-
，cos 5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；
（2
）求函数())cos()f x x x αβ=
-++的最大值．
解：（1
）由cos β=
(0,)βπ∈ 得tan 2β=
，sin β=
于是tan()αβ+=12
tan tan 3121tan tan 13
αβ
αβ-++==-+.
（2）因为1
tan ,(0,)3
ααπ=-∈
所以sin αα=
=
()f x x x x x =-+-
x =
()f x
16、已知ABCD 是矩形，4,2AD AB ==，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点，PA ⊥
面ABCD . (1) 证明：PF ⊥FD ；
(2) 在P A 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD .
第16题图
C D
B
A
P
E F
解：(1) 证明：连结AF ，
∵在矩形ABCD 中，4,2AD AB ==，F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥FD . 又∵P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥FD . ∴平面P AF ⊥FD . ∴PF ⊥FD . (2) 过E 作EH ∥FD 交AD 于H ，则EH ∥平面PFD 且AD AH 4
1
=. 再过H 作HG ∥DP 交P A 于G ，则HG ∥平面PFD 且AP AG 41
=
. ∴平面EHG ∥平面PFD . ∴EG ∥平面PFD . 从而满足AP AG 4
1
=的点G 为所找.
17、已知圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2，（2）被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3：1，（3）圆心到直线 ：x-2y=0的距离为
5
5
，求这个圆方程． 解：设所求圆圆心为P （a,b ），半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|，
由题设知圆P 截x 轴所对劣弧对的圆心角为900，知圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2=2b 2, 又圆P 被 y 轴所截提的弦长为2，所以有r 2=a 2+1，从而2b 2-a 2=1. 又因为P （a,b ）到直线x-2y=0的距离为
5
5
， 所以d=
5
|
2|b a -=
5
5
，即|a-2b|=1, 解得a-2b=±1, 由此得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎩
⎨⎧-=-=-⎩⎨⎧=-=-11
11121212122222b a b a b a a b b a a b 或解方程组得或,
于是r 2=2b 2=2, 所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.
18、已知13
5)sin(2
0=
+<<<
<y x y x 且ππ
（Ⅰ）若,2
12
=x
tg 分别求y x cos cos 及的值； （Ⅱ）试比较)sin(sin y x y +与的大小，并说明理由.
解：（Ⅰ）∵4
202
1
2tan
2
0ππ
π<<
=<<<<x x y x 且
∴5
4sin 5
3
12cos 2cos 5
12sin
5
22
cos 2
=
=-===
x x x x x 又2
32
,135)sin(ππ<+<=+y x y x ∴13
12)cos(-=+y x
∴x y x x y x x y x y sin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+=65
165
4135531312-=⋅+⋅-=
（Ⅱ）∵π
π
<<<<y x 2
0，∴2
32
2
32
π
π
π
π<
+<<<+<y x y y x
又]2
3,2
[sin ππ在x y =上为减函数，∴)sin(sin y x y +>
19、已知定义在R 上的函数f(x)=)0(cos sin >+ωωωx b x a 的周期为π，且对一切
x ∈R ，都有f(x)4)12
(=≤πf ；（1）求函数f(x)的表达式；（2）若g(x)=f(
6
x π-),
求函数g(x)的单调增区间；
解：(1)∵(
)sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=++，又周期2T ππω
== ∴2ω=
∵对一切x ∈R ，都有f(x)4)12(=≤π
f
∴4sin cos 2
66a b ππ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
解得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴()f x 的解析式为(
)2sin f x x x ωω=+
（2） ∵
()22(
)4sin 2()4sin(2)4sin(2)66
333g x f x x x x π
π
πππ⎡⎤=-=-+=-+=--⎢⎥⎣⎦ ∴g(x)的增区间是函数y=sin )322(π
-
x 的减区间 ∴由2
3232222πππππ+≤-≤+k x k 得g(x)的增区间为]12
13,12
7[ππππ++k k )(Z k ∈ （等价于].12
,12
5[ππππ+-k k
知,αβ是方程)(01442
R k kx x
∈=--的两个不等实根，函数1
2)(2+-=
x k
x x f 的定义域为[],αβ。

（1）判断函数)(x f 在定义域内的单调性，并证明。

（2）记：)(min )(max )(x f x f k g -=，若对任意R k ∈，恒有21)(k a k g +∙≤成立，
求实数a 的取值范围。

证一：设22
121122,4410,4410,
x x x tx x tx αβ≤<≤--≤--≤则
22
121212121
4()4()20,2()02
x x t x x x x t x x ∴+-+-≤∴-+-
< 则[]211212212122222121()()2222()()11(1)(1)
x x t x x x x x t x t f x f x x x x x -+-+---=-=++++ 又12121212211
()22()20()()02
t x x x x t x x x x f x f x +-+>+-+>∴-> 故()f x 在区间[],αβ上是增函数。

证二：]21
,21[,)
1(222)(222
22'
+++-∈+++-=k k k k x x kx x x f 易知：当0)(2
3
222,0144,],['2
2
≥∴≥
++-∴≤--∈x f kx x kx x x 时βα
故()f x 在区间[],αβ上是增函数。

（2）解：2
2
22125
16)4016(1)()()(k a k k k f f k g +∙≤+++=
-=αβ恒成立。

58,5325
1615,2516151251640162
222≥∴+++=++≥a k k k k a 的最大值为考虑。