历年试题选编第一章函数极限和连续

历年试题选编
第一章 函数、极限和连续
1．无穷小量的概念及无穷小量的比较
（0202）当时，0→x )()1ln(比较是与x x +
A ．高阶的无穷小量
B ．等价的无穷小量
C ．非等价的同阶无穷小量
D ．低阶无穷小 （0408）当时，0→x 函数=→x x f x x f x sin )
(sin )(lim 0
是等价无穷小量，则
与 。

答案分析：（0202）选B ，因为1ln )1((lim ln )1ln(lim )
1ln(lim
1
01
00==+=+=+→→→e x x x
x x x x x x （0408）填1 2．“
”型不定式极限 （0117）.sin )
21ln(lim
x x x +→求 （0216）.lim 0x e e x x x -→-求 （0316）.22lim
2
--→x x x 求
（0417）.12
lim x e x x
x -+→求 （0521）.1232
21lim -+-→x x x x 计算 （0621）.42
222lim ---→x x x x 计算 （0721）.1ln lim
1
-→x x
x 计算 （0821）.3923lim --→x x x 计算 答案分析：
x x x sin )
21ln(lim 0
+→ 22lim 0
=→x x
x x e e x x x -→-lim 0
21lim 0
=+-→x
x x e e 2
2lim
2
--→x x x
4
22
1)
2)(
2(2lim
lim 2
2
=
+=+--→→x x x x x x 201lim x e x x x -+→ x e x
x 21lim 0-→ 21
2lim 0
-=-→x x e 等价代换 洛必达法则 有理化
洛必达法则
洛必达法则
21
12123lim lim 12
21-=+-=-+-→→x x x x x x x 43
2
142lim lim 22
22=++=---→→x x x x x x x 1ln lim 1-→x x x 111
lim 1=→x x 63)3)(3(39lim lim 3
23=-+-=--→→x x x x x x x 3．“
∞
∞
”型不定式极限 （0116）.1
232lim
+-∞
→n n
n n 求
（0308）=+-∞→x
x x x 2
231
lim 。

（0701）
=-+∞→3
21
lim n n n （ ）。

A ．0 B ．
2
1
C ．1
D ．2 （0801）
=-+∞
→431
2lim x x x （ ）。

A ．41-
B ．0
C ．3
2
D ．1 答案分析：
（0116）
21
)
12(3
1123lim lim
2=+-
=+-∞
→∞
→n
n n n n n n n n
（0308）填31
.因为=+-∞
→x x x x 2
231lim 31)
13)1
1(2
2
2lim
=+-
∞
→x
x x x x （ 洛必达法则
（0701）选B. 21321
1321lim lim =-
+
=-+∞
→∞→n n n n n n （0801）选C.3243124312lim lim =-
+
=-+∞
→∞→x
x x x x x 4．重要极限Ⅰ （0102）
=--→4)
2sin(2
2
lim x x x （ ）。

A ．0 B ．
41 C ．2
1
D ．1 （0207）
=→x x
x 2sin lim 0。

（0302）
=→x x
x 52sin lim 0。

（0403）的值是，则设
a x ax
x 3sin lim 0
=→（ ）。

A ．
3
1
B ．1
C ．2
D ．3 （0501）
=→x x
x 5sin lim 0
（ ）。

A ．0 B ．
5
1
C ．1
D ．5 （0612）
=→x x
x 3tan lim 0。

（0712）
=--→1)
1sin(2
1
lim x x x 。

（0812）
=→x x
x 2sin lim 0。

答案分析：
（0102）选B.因为
.41
)22
)2sin(4)2sin(lim lim 22
2=+--=--→→x x x x x x x ）（（
（0207）填2.因为
.2222sin 2sin lim lim 00=•=→→x x
x x x x （0302）填.5
2
因为
525222sin 52sin lim lim 0
0=•=→→x x x x x x （0403）选D.因为
.3,sin lim 0
==→a a x ax
x 所以 （0501）选D. 因为
55sin lim 0
=→x x x （0612）填3. .因为
.33cos 13sin 3tan lim lim 00=•=→→x x x x x x x （0712）填.2
1
因为
21111)1sin(1)1sin(lim lim 12
1=+•--=--→→x x x x x x x （0812）填2. 因为2222sin 2sin lim lim 0
0=•=→→x x
x x x x 5．重要极限Ⅱ
（0118）x x x x 32lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→求 （0306）=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-∞→x
x x 211lim 。

（0416）x
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim 计算 （0512）=⎪⎭⎫
⎝
⎛-∞→x
x x 31lim 。

（0601）
()
=+→x
x x 20
1lim （ ）。

A ．1
B ．e
C ．e 2
D ．2
e
答案分析：
（0118）
.2126)6()2
(3lim lim --•-∞→∞→=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫
⎝
⎛-e x x x x
x x
x
（0306）填.2
1-e 因为2
1)
2
1
()2(211211lim lim --•-∞→∞→=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x x x x x
x
（0416）
.2121222
lim lim e x x x x x
x =⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+•∞→∞→
（0512）填.3
-e 因为
3)3(3
3131lim lim --•-∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x x x
x x
x
（0601）选D. 因为()
()
.112210
2
lim lim e x x x
x x
x =+=+•→→
6．连续性
（0209）设函数⎩⎨⎧+≤=00
)(＞，，x x a x e x f x 在点==a x 处连续，则常数
0 。

（0613）设函数⎩⎨⎧≤+=0
20
)(2＞，，x x a x x f 在==a x 处连续，则常数
0 。

答案分析：
（0209）填1.因为.1)00(1
)00(==+=-a a f f ，所以，而 （0613）填2.因为.22)00()0()00(==+==-a f a f f ，所以，
第二章 一元函数微分学
1．利用导数的定义求函数在某点的导数值
（0119）设函数，求处可导，且在1
)0('0)(==f x x f .)
0()3(lim
0x f x f x -→
（0222）设函数，求处可导，且在1
)1('1)(==f x x f .)
1()21(lim
x
f x f x -+→
（0303）已知函数，则
处可导，且在点2)(')(00=x f x x f h
x f h x f h )
()2(000
lim
-+→
等于（ ）。

A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 （0702）已知，则
2)1('=f x
f x f x ∆-∆+→∆)
1()21(lim
=（ ）。

A ．-2
B ．0
C ．2
D ．4 （0802）已知，则
处可导，且在3)1('1)(==f x x f h
f h f h )
1()1(lim
-+→ =（ ）。

A ．0
B ．1
C ．3
D ．6
答案分析：
（0119）
.3)0('333)
0()30()0()3(lim lim
00
==•-+=-→→f x f x f x f x f x x
（0222）
2)1('222)
1()21()1()21(lim lim
==•-+=-+→→
f x f x f x f x f x x
（0303）选D.因为
4)('222)
()2()()2(0000
000
lim lim
==•-+=-+→→x f h x f h x f h x f h x f h h
（0702）选D.因为
x
f x f x ∆-∆+→∆)
1()21(lim
=
.4)1('222)
1()21(lim
==•∆-∆+→∆f x
f x f x
（0802）选C.因为
h
f h f h )
1()1(lim
-+→=.3)1('=f
2．利用四则运算法则求函数的导数或在某点的导数值
（0122）设函数'.1cos 2
y x x
y ，求-=
（0210）设函数=+='cos 11
y x
y ，则 。

（0310）设函数==)0(')(f e
x
x f x ，则 。

（0419）设函数'.ln y x x y ，求= （0522）设函数.cos 3
dy x x y ，求= （0622）设函数.sin 4dy x x y ，求=
（0705）设函数=-=dy x y ，则)1sin(2（ ）。

（0822）设函数'.3sin 3
y x x y ，求++=
A ．dx x )1cos(2
- B ．dx x )1cos(2
-- C ．dx x x )1cos(22
- D ．dx x x )1cos(22
--
答案分析：
（0122）.)
1(cos 2sin )1()1()'1)((cos )1()'(cos '2
222222----=----=x x x x x x x x x x y （0210）应填
.)cos 1(sin 2x x +=++-+=2
)
cos 1()'cos 1()cos 1()'1('x x x y 2)cos 1(sin x x +
（0310）应填1.因为.1)0(')
()('2
=-=f e xe e x f x x
x ，所以 （0419）1ln '+=x y
（0522）因为，x x x x x x x x y sin cos 3)'(cos cos )'('3
233-=+=
所以.)sin cos 3(3
2dx x x x x dy -=
（0622）因为，x x x x y cos sin 4'4
3
+=所以dx x x x x dy )cos sin 4(4
3
+= （0705）选C.因为.)1cos(22)1cos('2
2
dx x x dy x x y -=•-=，所以 （0822）x x x x y cos 3)3()(sin )'('2
3
+='+'+= 3．复合函数的求导
（0107）设函数=+=dy x y ，则21 。

（0217）设函数'.12
y x
x y ，求+=
（0318）设函数'.y x x y ，求+=
（0418）设函数).0('2sin 1)(f x x f ，求+= （0503）设
等于，则)0('2cos )(f x x f =（ ）。

A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．2 （0602）设函数=+='52y e y x
，则（ ）。

A ．x
e
2 B ．x
e 22 C ．522+x
e
D ．52+x e
（0722）设函数()
'.1ln y x x y ，求++=
答案分析：
（0107）.1121212
2
2
dx x
x dy x
x x x
y +=
+=
•+=
'，则
（0217）.)
1(11112
3
22
2
2x x
x x x x y +=
++•
-+=
'
（0318）)211(21x
x
x y +
•+=
'
（0418）.0)0(2cos 2)(='='f x x f ，则 （0503）.0)0(2sin 2)(.C ='-='f x x f ，则选 （0602）.2.B 2x
e y ='选 （0722）.121111
)1(11⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=
'++•++=
'x x x x x x
x y
4．由复合函数)('))((x f x u f 求
（0109）设函数==)('sin )(x f x x f ，则 。

（0211）设函数==)('ln )2(x f x x f ，则 。

（0223）设函数[]dx
dy x g f y x x g e x f x
求
，且，)('sin )()(===. （0420）设函数).('cos 1)(cos 3
x f x x f ，求+=
答案分析：
（0109）.cos 2)(sin )(22x x x f x x f x t ='==
，则，可得设
（0211）.1)('2ln
)(2x
x f x x f x t ===，则，可得设 （0223）.的表达式，再求导先求函数y
[].sin )(cos )(cos cos x x xe dx
dy
e x
f x
g f y -==='=，则
（0420）.3)(1)(cos 2
3
x x f x x f x t ='+==，则，可得设 5．二阶导数
（0108）设函数==)1("ln )(3
f x x x f ，则 。

（0212）设函数==)0(")(f xe x f x ，则 。

（0421）设函数".11
y x
y ，求+=
（0514）设函数==)0("2y e y x
，则 。

（0615）设函数=="2sin y x y ，则 。

（0814）设函数=="5
y x y ，则 。

答案分析：
（0108）.5)1(5ln 6)(ln 3)(2
2
=''+=''+='f x x x x f x x x x f ，则， （0212）()().2)0(2)(1)(=''+=''+='f e x x f e x x f x
x
，则，
（0421）()
()
.12
11
3
2
x y x y +=''+-=
'，
（0514）().404222=''=''='y e y e y x
x
，则，
（0615）.2sin 42cos 2x y x y -=''='，则 （0814）.2053
4
x y x y =''='， 6．n 阶导数
（0311）设函数=+=)
50(22
50y y e x y x
阶导数的，则 。

（0714）设函数='''=-y e y x ，则 。

答案分析：
（0311）.2222222505023
22
2x x
x
x
e y e y e y e x y =='''+=''+='）
（，，
，，
（0714）.x
x
x
e y e y e y ----='''=''-='，， 7．不定式极限的求法
（0217）.lim 0
x e e x
x x -→-求 （0317）.sin cos 1lim 0
x x x
x +-→求
（0417）.12
lim x e x x x -+→求 （0721）.1ln lim 1
-→x x x 求
（0801）=-+∞→4
31
2lim x x x 求
（ ）。

A ．41-
B ．0
C ．3
2
D ．1 答案分析：
（0217）x e e x x x -→-lim 0
21lim 0
=+-→x
x x e e （0317）
x x x x sin cos 1lim 0+-→ 0cos 1sin lim 0=+→x
x
x （0417）2
1lim x e x x x -+→ x e x x 21lim 0
-→ 21
2lim 0
-=-→x x e （0721）1ln lim 1-→x x
x 11
1
lim 1=→x x
（0801）选C.
4312lim -+∞→x x x 32
32lim =∞
→x 8．曲线在某点处的切线方程和法线方程 （0320）求曲线.)10(2处的法线方程，在点M e
y x
-=
（0411）曲线==-k e y x
处的切线斜率在点)1,0( . （0515）曲线=+=k e x y x
处的切线斜率在点)1,0( .
（0616）曲线=-=y x x y 处的切线方程在点)0,1(3
.
答案分析：
（0320）2
1
1220
2=-
=-='
=-='=-切法切，法线斜率，故切线斜率K K y K e
y x x
，所以，切线方程为.022)0(2
1
1=+--=
-y x x y ，即 （0411）应填-1..1)0(k y e y x
=-='-='-，则 （0515）应填2.因为.2)0(1k y e y x
=='+='，则
（0616）因为).1(22)1(1
32
-=='-='x y y x y ，则切线方程为， 9．函数特性的研究Ⅰ
（0110）设函数，则其单调递增区间为2
x e y = .
洛必达法则 洛必达法则
洛必达法则 洛必达法则 洛必达法则
洛必达法则
（0321）求曲线.632
3的拐点x x x y +-=.
（0405）函数，＞处的二阶导数存在，且在点0)0(",0)0('0)(f f x x f y ===则下列结论正确的是（ ）。

A ．的驻点不是函数)(0x f x =
B ．的极值点不是函数)(0x f x =
C ．的极小值点是函数)(0x f x =
D ．的极大值点是函数)(0x f x = （0504）曲线的拐点坐标是3
x y =（ ）。

A ．），（11--
B ．），（00
C ．），（11
D ．），（82
（0513）函数=+=x x y 的驻点为)1ln(2
. （0614）函数==x e y x 的极值点为2
.
（0704）设函数，＞时，＞；当＜时，＜处连续，当在0)('00)('00)(x f x x f x x x f =则 A ．是极小值)0(f B ．是极大值)0(f C ．不是极值)0(f D ．既是极大值又是极小值)0(f （0715）函数的单调增加区间是x x y ln = .
（0804）已知的取值范，则＞内为单调减函数，且在区间x f x f x f )1()(),()(+∞-∞围是（ ）。

A ．），（1-∞- B ．），（1∞- C ．），（∞+1 D ．），（∞+∞- （0815）曲线=+-=
），的拐点坐标（0023
13
1y x x x y . 答案分析：
（0110）应填()002.02
＞时，＞，当因为，y x xe y x '='∞+
（0321）.666632
-=''+-='x y x x y ，因为
().41.0101.10，所以曲线的拐点坐标为＞时，＞；当＜时，＜当，得令y x y x x y ''''==''
（0405）选C.根据极值的第二充分条件，可知C 正确.
（0504）选B.因为y 6='' 令 0，得()00.00，
拐点为，则==y x （0513）应填0.因为.0.0122
=+=
'x x
x
y 得令
（0614）应填0.因为，且得令0.022
=='x xe
y x ；＜时，＜当00y x ' 0
0＞时，＞当y x '所以0=x 是极值点.
（0704）选A.根据极值的第一充分条件可知A 正确.
（0715）填(
)
，令因为，
1ln .1
+='∞+-x y e .01
-'e x y ＞，得＞ （0804）选B.
（0815）填异号，且两侧的，因为在，得令因为，y x x x y ''==-=''⎪⎭
⎫ ⎝⎛11022.311
1=x 当时，，31=y .311为拐点，所以点⎪⎭
⎫
⎝⎛ 10．函数特性的研究Ⅱ
（0226）求函数132
3
--=x x y 的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点. （0426）求函数x xe
y -=的单调增减区间和极值.
（0526）求函数3)1()(3
2
+-=x x f 的单调区间和极值. （0626）求函数13)(3
+-=x x x f 的单调区间和极值.
（0828）设函数x bx ax x f ++=2
3
)(在1=x 处取得极大值5， （Ⅰ）求常数；和b a （Ⅱ）求函数)(x f 的极小值.
答案分析：
（0226）函数的定义域为().66632
-=''-='∞+∞-x y x x y ，，，
令.10200321==''==='x y x x y ，得；令，，得
所以函数的单调增加区间为()()；，，∞+⋃∞-20
()5)2(1)0(20-=-=f f ；极小值为；极大值为，单调减少区间为
曲线的凹区间为()；，∞+1凸区间为()1，∞-；拐点坐标为()31-， （0426）函数的定义域为().)1(x
e x y --='∞+∞-，，
令.0101.1
0＜时，＞；当＞时，＜当，，得y x y x x y ''==' 所以函数y 的单调增加区间为()1，
∞-，().)1(11
-=∞+e y ；极大值为，单调减少区间为 （0526）函数的定义域为().)1(6)(2
2
-='∞+∞-x x x f ，，
令.11
00)(321=-==='x x x x f ，，，得
所以)(x f 的单调减区间为()，，0∞-所以)(x f 的单调增区间为()；，∞+0 为极小值2)0(=f .
（0626）函数的定义域为().33)(2
-='∞+∞-x x f ，，
.110)(21=-=='x x x f ，，得驻点令
列表如下：
函数)(x f 的单调增区间为(][)∞+∞-，，，
11， [].1)1(3)1(11为极小值为极大值，；，单调减区间为-==--f f
（0828）（Ⅰ）根据题意：.123)(2
++='bx ax x f
.13,90123)1(5
1)1(=-=⎩
⎨
⎧=++='=++=b a b a f b a f ，解得
（Ⅱ）.27
110126270)(212
-
===++-='x x x x x f ，，解得，即令 因为.2187
41
)271(028)271(2654)(为极小值，所以＞，且-=-=-''+-=''f f x x f
11．证明不等式
（0328）证明：x x x x x ＜＜时，＞当)1ln(2
02
+-. 答案分析：
这是两边不等式，应分别证明之.
设，则，2)1ln()()1ln()(2
x x x x g x x x f +-+=+-= .1111)(1111)(2
x
x x x x g x x x x f +=+-+=+=+-='，
.)()(00)(0)(0均单调增加与时，＞，即当＞，＞时，＞当x g x f x x g x f x ''
由于，即＞，＞时，＞，所以当，0)0()(0)0()(00)0(0)0(====g x g f x f x g f
02)1ln(0)1ln(2
＞，
＞x x x x x +-++- 所以 2)1ln()1ln(2
x x x x x -++＞，＞
则有 ).0()1ln(2
2
＞＜＜x x x x x +-
12．应用题
（0128）将边长为a 阴影部分），然后将其沿虚线折起，x 取何值时，该盒子的容积最大？
（0726）上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图长为12m ，为使窗户的面积A 达到最大，矩形的宽l 应为多少（0826）设抛物线B A x x y ,12
轴的交点为与-=. 的平面区域内，以线段AB 为下底作内接等腰梯形ABCD （如图2-9），设梯形的上底CD 长为x 2，面积为()x S . （Ⅰ）写出()x S 的表达式； （Ⅱ）求()x S 的最大值.
图2-8
答案分析：
（0128）正三棱柱盒子的高为,3
36
tan
x x h =
=π
正三棱柱盒子的底面积，
＜＜⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=20)2(432a x x a s 正三棱柱盒子的容积,)2(412)(x a x V x -=
).6)(2(41
)(x a x a V x --=' 令.6
2021)(a
x a x V x ==='（舍去），，得
由于实际问题只有唯一的驻点，故可知6a x =
即为所求，也即.54
163
a a V =
⎪⎭⎫ ⎝⎛ （0726）窗户的面积.4
32
l lh A +
= 由已知得，所以，则l h m l h 2
3
6)(1232-
==+ ,4
323622l l l A +-
=
11
)
36(402
336+=
+-=l l l dl dA ，得令
由于实际问题只有唯一的驻点，可知11
)
36(4+=l （m ）为所求。

（0826）
（Ⅰ）由⎩
⎨⎧=-=，，
012y x y 解得，
1±=x 且故两点的坐标分别为则有,2),0,1(),0,1(,=-AB B A B A
).1)(1()1()22(2
1
)(22x x x x x S -+=-•+=
（Ⅱ）（舍去），，得令1
3
1
01
23)(212
-==+--='x x x x x S ，＜，
043126)(-=⎪⎭
⎫
⎝⎛''--=''S x x S
所以.27
32
31为极大值=
⎪⎭
⎫
⎝⎛S 根据实际问题可知27
32
31=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛S 亦为最大值. 第三章 一元函数积分学
1．概念题
（0304）函数x
e x
f -=)(的一个原函数是（ ）.
A ．x
e
- B ．x
e C ．x
e -- D ．x
e
--
（0312）设
⎰=+=)(2cos )(x f C x dx x f ，则 .
（0403）设函数⎰
=等于，则dx x f e x f x )(')(2（ ）. A ．
C 2
12+x
e B ．C 22+x e C ．C 2+-x e D ．C 2+x e （0505）⎰
等于xdx sin （ ）.
A ．x cos
B ．x cos -
C ．x cos +C
D ．C cos +-x （0607）已知=)()(2
x f x f x 的一个原函数，则是（ ）.
A ．C x +3
3
B ．2x
C ．x 2
D ．2 （0706）设=)(')(3
x f x x f ，则的一个原函数为（ ）. A ．2
3x B ．
4
4
1x C ．44x D ．x 6 （0806）⎰
=+dx x )1(cos （ ）.
A ．C x x ++sin
B ．
C x x ++-sin C ．C x x ++cos
D ．C cos ++-x x
答案分析：
（0304）选C.因为
(
)C )(，故选，或由，则一个原函数为x
x
x x x e
e e C e dx e dx x
f -----='--+-==⎰⎰
（0312）应填.2sin 2)2(cos )(.2sin 2x C x x f x -='+=-因为 （0403）选D.利用不定积分性质，可知D 正确 （0505）选D.利用不定积分性质，可知D 正确 （0607）选C.因为().2)(2
x x
x f ='=
（0706）选D. 因为().6)(,)(3
x x f x
x f =''=
（0806）选A.利用不定积分性质和公式即得. 2．定积分的概念和性质
（0104）下列定积分等于零的是（ ）. A ．
⎰
-1
1
2cos xdx x B ．⎰-11
sin xdx x C ．⎰-+11
)sin (dx x x D ．⎰-+1
1
)(dx x e x
（0214）定积分
⎰-
=+π
πdx x x
)sin (2
.
（0313）定积分⎰-=+2
2
2cos 1sin π
πdx x x
. （0411）定积分⎰-
=π
πxdx x cos .
（0517）⎰-=1
12
sin xdx x
.
（0618）⎰-=1
13cos xdx x . （0707）
⎰
-=+1
1
3)cos (dx x x x （ ）.
A ．-2
B ．0
C ．2
D ．4 （0717）⎰=2
1)(dx x f dx
d . （0807）
⎰
-=1
1
5dx x （ ）.
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1
（0818）
⎰-=+22
)(cos π
πdx x x .
答案分析：
（0104）选C.因为.sin 为奇函数
x x + （0214）应填
与奇函数之和，因此有由于被积函数是偶函数.3
23
π
()
.3
20322sin sin 30
3222
πππ
ππ
ππ
π
π
==
=+=+⎰⎰⎰⎰---x dx x dx x dx x dx x x
（0313）应填0.因为
x
x
2
cos 1sin +为奇函数. （0411）应填0.因为x x cos 为奇函数.
（0517）应填0.因为x x sin 2
为奇函数. （0618）应填0.因为x x cos 3为奇函数. （0707）选B. 因为x x x +cos 3为奇函数. （0717）填0.定积分
⎰
2
1
)(dx x f 为常数.
（0807）选C. 因为5
x 为奇函数.
（0818）填2.
.20
2sin 20cos 2)(cos 20
22
==+=+⎰
⎰-π
π
π
πx xdx dx x x
3．变上限定积分的概念及导数 （0113）设⎰
==x
x f tdt x f 1
)('arctan )(，则 .
（0413）设⎰==x
f tdt x f 0)2('sin )(π
，则 .
（0507）设⎰
=Φ+=
Φx t x dt t e x 0
)(')()(，则（ ）.
A ．0
B ．2
2x e x
+ C ．x e x + D ．1+x
e
（0817）
⎰=+x dt t t dx
d 03
)( . 答案分析：
（0113）填.arctan x
（0413）填1. （0507）选C. （0817）填.3
x x + 4．凑微分后用公式积分
（0111）
⎰=dx x x 1cos 12 . （0213）⎰=+dx x
x
2
12 .
（0516）⎰
=+dx x )1(2 .
（0605）⎰
=-dx e x （ ）.
A ．C e x +
B ．
C e x +- C ．C e x
+-- D ．C e x +-
（0823）计算⎰
.5sin xdx
答案分析：
（0111）应填.1
sin 11cos 1cos 1.1sin
2C x x d x dx x x
C x +-=-=+-⎰⎰因为 （0213）应填因为.)1ln(2C x ++⎰⎰=++=+)1(11122
22x d x dx x
x C x ++)1ln(2. （0516）应填.3
3
C x x ++ （0605）选C. （0823）.5cos 5
1)5(5sin 515sin C x x xd xdx +-==
⎰⎰
5．第一换元积分法（凑微分法） （0218）计算⎰
+.)1sin(2dx x x
（0219）计算
⎰
+.)
1(1dx x x
（0523）计算⎰+.)1(22dx x x
（0623）计算⎰
.cos 2dx x x （0723）计算
⎰.)
cos(ln dx x x
答案分析：
（0218）.)1cos(2
1)1()1sin(21)1sin(22
22
C x x d x dx x x ++-=++=+⎰⎰
（0219）
()
().arctan
211
2)
1(12
C x x d
x dx x x +=+
=+⎰
⎰
（0523）⎰⎰++=++=
+.)1(61)1()1(21)1(322222
2C x x d x dx x x （0623）()
()
.sin 2
1cos 21cos 2
222C x x d x dx x x +==⎰⎰
（0723）
.)sin(ln )(ln )cos(ln )
cos(ln C x x d x dx x x +==⎰⎰
6．分部积分
（0224）设).(ln )('x f x x x f ，求+=
（0728）设..)(')(2
⎰
dx x xf xe x f x ，计算的一个原函数为
答案分析：
（0224）.ln 2
)ln ()()(2
⎰
⎰+-+=+='=
C x x x x dx x x dx x f x f
（0728）⎰⎰⎰-
=='dx x f x xf x xdf dx x f x )()()()(
().22
2
2
3C e x C xe
xe x x x x
+=+-'= 7．定积分计算 （0124）计算
.8
1
3
⎰
+x
x dx
（0220）设函数⎰⎩⎨⎧≤≤≤=2
02.)(21210)(dx x f x x x x x f 求，＜，
，，
（0324）计算.sin 2
0⎰π
xdx x
（0423）计算.ln 1
⎰e
xdx
（0518）计算=⎰
e
dx x
x
1ln . （0524）计算.1
0⎰dx xe x （0624）计算.ln 1⎰
e
xdx x
（0718）计算
.)1(1
⎰+
dx x x
答案分析：
（0124）
⎰
+8
1
3
x
x dx
()
121ln 231
33212
22
1
32⎰⎰
+=+=+u du u u du u u u ()2ln 5ln ln 23
-= （0220）分段函数需分段积分，
.3
10
2)(212
102⎰⎰
⎰=+=xdx dx x dx x f
u x =3
du u dx 2
3=
（0324）
10
2sin cos 02cos cos sin 20
2020
==+-=-=⎰⎰⎰
π
π
π
π
πx xdx x x xd xdx x
（0423）
.1)1(ln ln 11
11
=--=-=-=⎰⎰
e e x e dx x x xdx e
e e e
（0518）填.21因为⎰==e e
x dx x x 112.2
1ln 21ln
（0524）
.110
1
1
1
1
=-=-==⎰⎰⎰x
x x x
x
e e x d e xe
xde dx xe
（0624）
.4
144
221ln 2ln 21
221121
+=-
=-=⎰⎰
e x e xdx x x xdx x e
e e
e
（0718）10901522)1(2521
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+⎰x x dx x x 8．广义积分 （0112）
=⎰
+∞
-0
2dx e x .
（0424）计算
.11
2
⎰
+∞
dx x 答案分析：
（0112）应填
.2
1021.21202=∞+-=-∞+-⎰x x e dx e 因为
（0424）
.11111
2
=∞+-=⎰
∞
+x dx x
9．简单有理函数的积分 （0422）计算
⎰+.)1(1
dx x x
答案分析：⎰
⎰++-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+.1ln ln 111
)1(1C x x dx x x dx x x
10．平面图形面积及旋转体的体积
（0126）求由曲线.10积所围成的平面图形的面，，及直线====x x x y e y x
（0326）已知曲线.42C 2
x y L x y ==为，直线为
（Ⅰ）求由曲线S L C 积所围成的平面图形的面与直线； （Ⅱ）求曲线.的切线方程与平行于直线
L C
（0527）（Ⅰ）求曲线S x y x x y 积所围成的平面图形的面与，01)0(2
==≥=； （Ⅱ）求（Ⅰ）中的平面图形绕y V y 的体积轴旋转一周所得旋转体. （0627）（Ⅰ）求由曲线S y x x
y x y 积所围成的平面图形的面与，，021
====（如图3-24所示）；
（Ⅱ）求（Ⅰ）中的平面图形绕x V x 的体积轴旋转一周所得旋转体.
（0827）（Ⅰ）求曲线D y x x e y x
所围成的图形，，及直线001
====S 的面积（如图3-25所示）；
x V 的体积
（0126）画出平面图形如图3-26阴影所示，则
.2
3)(10-=-=⎰e dx x e S x
（0326）画出平面图形如图3-27阴影所示. （Ⅰ）.38
02)3
22()24(322
2=-
=-=
⎰
x x dx x x S
（Ⅱ）设过点，所以，则的切线平行于1.44)(4),(00000==='=x x x y x y y x ，20=y 切线方程为.024)1(42=---=-y x x y ，即
（0527）（Ⅰ）由已知条件画出平面图形如图3-28阴影所示.
.3
2
01)3()1(31
02
=-=-=⎰x x dx x S
（Ⅱ）旋转体的体积为：
().2
12
2
1
1
2
π
π
ππ=
=
==⎰⎰y
ydy dy x V y
（0627）（Ⅰ）由已知条件可得
.2ln 2
1
12
1
10
+=+=⎰
⎰dx x xdx S （Ⅱ）旋转体的体积为：
.65
2312)1(013132
1
2
1
2
πππππππ=+=-•+•=+=⎰
⎰x x dx x
dx x V x （0827）（Ⅰ）.10
11
0-===
⎰e e
dx e S x
x
（Ⅱ）()).1(2
12
2210
210
2
-=
===⎰⎰e e dx e dx e V x
x
x x π
π
ππ
11．证明题
（0127）设4
1)5()3(),(tan )(40
=
+=
⎰
f f n xdx n f n 证明：为正整数π
. （
0228）已知
⎰
⎰=-=-20
.1)(,cos 1)()(π
dx x f x dt t f
t x x
证明：
（0428）设函数⎰⎰=-21
2
1.)(21)21(]1,0[)(dx x f dx x f x f 上连续，证明：在区间
（0723）设⎰
⎰
=
-2
1
2
1
.)()3()(dx x f dx x f x f 为连续函数，证明：
答案分析：（0127）
.4
10
4tan 41tan 1tan tan tan )5()3(44023405403==+=+=+⎰⎰⎰π
π
π
π
x dx x x xdx xdx f f ）（
（0228）原题为
⎰⎰⎰
⎰-=--=-x x
x
x
x dt t tf dt t f x x dt t tf dt t xf 0
00
.cos 1)()(cos 1)()(即，
两边对⎰
=-+x
x x xf x xf dt t f •
x 0
.sin )()()(求导得 所以⎰=x x dt t f 0
.sin )(
x y 4=
当.1)(1)(2
20
20
⎰⎰
===
π
ππ
dx x f dt t f x ，也即时，得
（0428）设.02
1
10.2121====-
=-=t x t x dt dx x t 时，；时，当，则 所以
⎰
⎰⎰=-
=-21
011
0.)(2
1)(21)21(dx x f dt t f dx x f （0723）设.1221
3====-==-t x t x dt dx t x 时，；当时，，当，则 所以 左边⎰⎰⎰
=-=-=
2
1
12
2
1
)())(()3(dt t f dt t f dx x f
⎰
2
1
.)(dx x f
第四章 多元函数微分学
1．二元函数的偏导数 （0105）设等于则y
z
xy z ∂∂=
,1（ ）. A ．
x 1 B ．x
1
- C ．21xy D ．2
1xy - （0114）设，则
x
y
e z ==∂∂）
1,1(x
z .
（0215）设，则)cos(2
2
y x z +==∂∂x
z
. （0314）设，则
2
),(y x e y x f +==∂∂）
0,0(y
f .
（0508）设函数等于则
x
z
e z y
x ∂∂=+,（ ）. A ．y
x e
+ B ．y
x ye
+ C ．y
x xe
+ D ．y
x e
y x ++)(
（0608）设函数等于则
x
z
e z xy
∂∂=,（ ）. A ．xy
ye B ．xy
xe C ．xy
e D ．y
e （0708）设函数等于则x
z
xy z ∂∂=),tan(（ ）. A ．
)(cos 2xy y B ．)(cos 2xy x C ．)(cos 2xy x - D ．)
(cos 2
xy y
- （0808）设函数等于则
x
z
y x z ∂∂+=,32
（ ）. 与积分变量的字母有关
A ．y x 32+
B ．x 2
C ．32+x
D ．3
32
33y x +
答案分析：
（0105）选D.
（0114）应填..1,1(2e x z e x
y x z e x y
-=∂∂-=∂∂-）
，所以因为
（0215）应填).sin(22
2
y x x +-
（0314）应填0. .020,0(2
=∂∂=∂∂+）
，所以因为y
f ye y f y x
（0508）选A.
（0608）选A. （0708）选A. （0808）选B. 2．全微分
（0221）设.,2)sin(2
dz y x xy z 求++=
（0520）设函数=+=dz y x z ，则全微分)ln( . （0620）设函数==+dz e
z y
x ，则全微分2 .
（0719）设函数==dz x z y
，则 . （0820）设函数=∂∂∂∂=dz y
z
，x z y x f z 则存在一阶连续偏导数
，)( . 答案分析：
（0221）dy xdx xdy ydx xy y x d xy d dz +++=++=4))(cos()2()sin(2
.)]cos(1)]cos(4dy xy x dx xy y x +++=
［［ （0520）填
).(1
dy dx y
x ++ （0620）填).2(2dy dx e y
x ++ （0719）填.ln 1
xdy x dx yx
y y +-
（0820）填
.dy y
z dx x z ∂∂+∂∂ 3．隐函数求导
（0125）设x
z
e y xz y x
f z z
∂∂+==所确定，求
是由方程，)(. （0225）设y
z xyz z y x y x f z ∂∂=++=所确定，求
是由方程，2
2
2
)(. （0425）设y
z x z z z y x y x f z ∂∂∂∂=++=，所确定，求
是由方程，2)(2
22. （0528）设.)(222dz e z y x y x z z z
所确定的隐函数，求是由方程，=++= （0628）设函数.1)(23
dz e
z y x y x z z x
所确定的隐函数，求是由方程，=+++=
（0724）设.)(dz e z y x y x z z z 所确定的隐函数，求是由方程，=++= （0824）设.0)(2
2
x
z e y x y x z z z
∂∂=-+=所确定的隐函数，求
是由方程， 答案分析：
（0125），设z
e y xz z y x F --=),,(
则
.x e z
z
F x F x
z e x z F z x F z z -=∂∂∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂所以，， （0225），设xyz z y x z y x F -++=2
2
2
),,(
则
.2222xy z y xz x
F y
F y z xy z z F xz y y F --=∂∂∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂所以，， （0425），设z z y x z y x F 2),,(2
2
-++= 则
.1
)
1(21
2221--=∂∂--=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂z y
y z z x z z z F y y F x F
，所以，，， （0528），设z
e z y x z y x F -++=2
2
2
),,( 因为
，，，z e z z
F
y y F x x F
-=∂∂=∂∂=∂∂222
所以
，，z e y z
F y F y
z z e x z
F x F x
z z z 2222-=∂∂∂∂-=∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂
则=
dz .2222dy z
e y dx z e x dy y z dx x z z z -+-=∂∂+∂∂ （0628），设1),,(23
-+++=z
e z y x z y x F
由于
，，，z e z
F
y y F x F
222131+=∂∂=∂∂=∂∂ 得
，，z z e y z
F y F y z e z
F x F
x z 232213211+-=∂∂∂∂-=∂∂+-=∂∂∂∂-=∂∂
所以 =dz .21321123
2dy e y dx e dy y z dx x z z
z +-+-=∂∂+∂∂ （0724）.111),,(z z
e z
F
y F x F e z y x z y x F -=∂∂=∂∂=∂∂-++=，，，由于
设 则
).(1
1
1111dy dx e dz e y z e x z z z z +-=-=∂∂-=∂∂，所以， （0824），设z
e y x z y x F -+=2
2
),,(.22z z e
x
x z e x F x x F =∂∂-=∂∂=∂∂，所以， 4．二阶偏导
（0305）设等于则
y
x z
y x z ∂∂∂+=22
,sin （ ）. A ．y x cos 2+ B ．y sin - C ．2 D ．0
（0414）设=∂∂∂=y x z
x y z 2,cos 则
. （0509）设函数等于则
y
x z
y x z ∂∂∂=22
,（ ）. A ．y x + B ．x C ．y D ．x 2
（0519）设函数=∂+=)
11(2
3
,，则x
e x z y
.
（0609）设=∂∂∂+=y
x z
y x z 2),cos(则
（ ）. A ．)cos(y x + B ．)cos(y x +- C ．)sin(y x + D ．)sin(y x +-
（0709）设函数=∂∂∂+=y
x z
y x z 23
,)(则
（ ）. A ．)(3y x + B ．2)(3y x + C ．)(6y x + D ．2
)(6y x +
（0809）设函数=∂∂=222
2
,x
z
y x z 则（ ）.
A ．2
2y B ．xy 4 C ．y 4 D ．0
答案分析：
（0305）选D.
（0414）应填.sin x - （0509）选D. （0519）应填6. （0609）选B. （0709）选C. （0809）选A.
5．二元函数的无条件极值
（0325）求函数.)(4),(2
2
的极值y x y x y x f ---=
答案分析：
第一步，先求驻点：；
解得驻点，
，
)1(),(00≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=∂∂i y x y
z x
z
i i 第二步，求在驻点，，处的)()(),(i yy i xy i i i M f B M f A y x M ''=''=
的正负；并计算AC B -2
第三步，
判定：若.),(0A 002
为极大（或极小）值），则＞（或
＜且＜i i y x f z A AC B =-
解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨--=∂∂-=∂，令，令024024y y
z x x
解得).2,2(22-⎩
⎨⎧-==M y •
x 即驻点，，
又可解得，且，，202-==-=C B A
，＜，＜02042
-=-=-A AC B 所以.8)2,2(为极大值=-f
第五章 （略） 第六章 概率论初步
（0510）已知事件A 的概率P(A)=0.6，则A 的对立事件等于的概率)A P(A （ ）. A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7
（0525）设离散型随机变量X 的分布列为
（Ⅰ）求常数a （Ⅱ）求X 的数学期望EX.
（0610）若随机事件A 与B 相互独立，而且===)(,5.0)(,4.0)(AB P B P A P 则（ ）. A ．0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.9
（0625）甲、乙两人独立地向同一目标射击，击中目标的概率分别为0.8与0.5。

两人各射击一次，求至少有一人击中目标的概率。

（0710）5人排成一行，甲、乙两人必须排在一起的概率=p （ ）. A ．
51 B ．52 C ．53 D ．5
4 （0725）袋中装有大小相同的12个球，其中5个白球和7个黑球，从中任取3个球，求这3个球中至少有1个黑球的概率。

（0810）已知事件A 与B 为相互独立事件，则P （AB ）=（ ）.
A ．P （A ）+P （
B ） B ．P （A ）-P （B ）
C ．P （A ）+P （B ）- P （A ）P （B ）
D ．P （A ）P （B ） （0825）一枚均匀硬币连续抛掷3次，求3次均为正面向上的概率。

答案分析：
（0510）选B.利用对立事件概率的关系，可知4.0)(1)(=-=A P A P
（0525）（Ⅰ）利用离散型随机变量分布列的规范性可知
3.015.02.0==++a a 得，
（Ⅱ）3.25.033.022.01=⨯+⨯+⨯=EX （0610）选A.利用事件相互独立的定义可知
2.0)()()(==B P A P AB P
（0625）至少有一人击中目标是指甲击中目标或乙击中目标，因此设A=｛甲击中目标｝，B=｛乙击中目标｝，C=｛至少有一人击中目标｝，则B A C ⋃=，利用概率的加法公式及事件的相互独立，得
9.0)()()()()()()()()(=-+=-+=⋃=B P A P B P A P AB P B P A P B A P C P （0710）选B.甲、乙两人排在一起看成一个人，再与另外3个人排列，共有4
4P 种排法。

注意到甲、乙两人位置互换也是符合题意的排列，所以.5
2P P
P P 55
2
2
44=•=
（0725）设A=｛至少有1个黑球｝，则=A ｛3个球全是白球｝，且221
)A (P 312
35==C C
则.22
21
2211)(1)(=-
=-=A P A P （0810）选D.根据事件相互独立的定义，可知选项D 正确. （0825）设.3212
1
)(，，，次正面向上｝，则｛第==
=i A P i A i i ，所以次正面向上｝，则有｛3213A A A A A ==
8
1
)()()()()(321321=
==A P A P A P A A A P A P .。