江苏省常州市武进市礼嘉中学高三数学理下学期期末试题含解析

江苏省常州市武进市礼嘉中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知各项均不为零的数列，定义向量.下列命题中真命题是
A.若总有成立，则数列是等比数列
B.若总有成立，则数列是等比数列
C.若总有成立，则数列是等差数列
D. 若总有成立，则数列是等差数列
参考答案：
D
由得，，即，所以，所以，故数列是等差数列，选D。

2. 已知函数，有下列四个命题：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）是单调函数；
③当x＞0时，函数f（x）＞0恒成立；
④当x＜0时，函数f（x）有一个零点，
其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B 【考点】3E：函数单调性的判断与证明；3K：函数奇偶性的判断．
【分析】①根据f（x）+f（﹣x）≠0，判断f（x）不是奇函数；
②根据x＞0时f（x）=x2﹣，利用导数判断x∈（0，+∞）时f（x）不是单调函数；
③由②知x=x0时f（x）在（0，+∞）上取得最小值，求证f（x0）＞0即可；
④由根的存在性定理得出f（x）在区间（﹣1，﹣）内有一个零点．
【解答】解：对于①，函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），
任取定义域内的x，有f（﹣x）=x2+，
且f（x）+f（﹣x）=2x2≠0，
∴f（x）不是奇函数，①错误；
对于②，函数f（x）=，
当x＞0时，f（x）=x2﹣，
f′（x）=2x﹣=，
令h（x）=2x3﹣1+lnx，则h（1）=1＞0，
h（）=ln＜0；
∴存在x0∈（，1），使h（x0）=0；
∴x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数；
x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，
∴②错误；
对于③，由②知，当x=x0时，f（x）在（0，+∞）上有最小值，
且2+lnx0﹣1=0，∴=﹣2，
则x=x0时，y=﹣=3﹣，
由＜x0＜1，得＜＜1，
∴＜3＜1，
则3﹣=＞0，
∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，③正确；
对于④，当x＜0时，f（x）=x2+，
且f（﹣1）=1＞0，f（﹣）=﹣e＜0，
∴函数f（x）在区间（﹣1，﹣）内有一个零点，④正确；
综上，正确的命题是③④．
故选：B．
3. 设集合，集合，若，则实数a的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
4. 如果下面程序框图运行的结果，那么判断框中应填入（）
A．B．C．D．参考答案：A
5. 若( )
A．B．
C．D．
参考答案：
A
略
6. 已知函数f（x）=x2+bsinx，其中b为常数．那么“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由题意可知函数的对称轴=0可求b的值．
【解答】解：若f（x）=x2+bsinx为偶函数，
则f（﹣x）=（﹣x）2+bsin（﹣x）=x2﹣bsinx=f（x）=x2+bsinx，
∴b=0
故选：C．
7. 过抛物线的焦点且与直线平行的直线方程是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
8. 盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为
A. B.
C.
D.
参考答案：
C 9. P 为曲线上任意一点，O 为坐标原点，则线段PO 的中点M 的轨迹方程是
A. B. C.
D.
参考答案：
A
法一：设
到
的距离为
，则
到
的距离为
. 因
到轴的距离为
，故
到轴的距离为
，
到直线
的距离为
. 由
到
的距离等于
到直线
的距离，可得的轨迹方程. 选A.
法二：根据点的坐标关系，使用相关点代入法，求得的轨迹方程
.
10. 已知
，
，
，则
三者的大小关系是
A.
B. C.
D.
参考答案：
D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
16.函数与的图象有n 个交点，其坐标依次为，，…，
，则
．
参考答案：
4
，两个函数对称中心均 为(0,1)； 画图可知共有四个交点，
且关于
对称，故
.
12. 在正四面体ABCD 中，M 是棱BD 上的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值为_____
参考答案：
【分析】
取
上的中点
，连
,在△
中,利用各边的大小关系得到答案.
【详解】取上的中点
，连
，
,则
为所求异面直线夹角或其补角。

设
在△中，,同理，则在△中，
.
【点睛】本题考查了异面直线夹角问题,其中将AB 通过平行转化为MN 是解题的关键.
13. 已知函数f （x ）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f （x+2）=f （x ），且当x∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x+1），则f （﹣2017）= ．
参考答案：
1
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】利用函数的奇偶性的定义以及函数的周期性化简，可得f（﹣2017）=f（1），代入已知解析式，求解即可得到答案．
【解答】解：由已知函数是偶函数，且x≥0时，都有f（x+2）=f（x），
当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），
所以f（﹣2017）=f=f（1）=log22=1．
故答案为：1．
14. 当且时，函数的图像恒过点,若点在直线上，
则的最小值为____ ____.
参考答案：
15. 数列{a n}满足，，则______.
参考答案：
【分析】
由已知得设，则是公比为的等比数列，求出其通项，再用累加法求出，即可得结果.
【详解】设，若则与矛盾，
是公比为的等比数列，
，
.
故答案为:
【点睛】本题考查等比数列的通项，以及累加法求通项，合理引进辅助数列是解题的关键，属于中档题.
16. 已知tan（α+β）=，tan（α+）=，则tan（β﹣
）=
．
参考答案：
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由三角函数的公式可得tan（β﹣）=tan=，代入已知数据化简可得．
【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（α+）=，
∴tan（β﹣）
=tan
=
==，
故答案为：．
【点评】本题考查两角差的正切公式，角的整体代入是解决问题的关键，属基础题．
17. 计算：．
参考答案：
9.2
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数不等式的解集为（1，3）. (Ⅰ）若方程有两个相等的实根，求的解析式；
(Ⅱ）若的最大值为正数，求实数a的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）∵不等式的解集为（1，3）
∴和是方程的两根
∴∴
又方程有两个相等的实根
∴△=
∴即
∴或（舍）
∴，
(Ⅱ）由（Ⅰ）知
∵，
∴的最大值为
∵的最大值为正数
∴
∴解得或
∴所求实数a的取值范围是
19. 在中，内角所对的边分别为.已知
，
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
参考答案：
（Ⅰ）（2）
（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB，∴-=sin2A-sin2B，
即cos2A-cos2B=sin2A-sin2B，即-2sin（A+B）sin（A-B）
=2?cos（A+B）sin（A-B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A-B）≠0，
∴tan（A+B）=-，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），
∴cosA==．
由正弦定理可得，即=，∴a=．
∴sinB=sin[（A+B）-A]=sin（A+B）cosA-cos（A+B）sinA=×-（-）×
=，∴△ABC的面积为?ac?sinB=×××=．
略
20. (本小题满分12分)
已知等差数列的公差d>0，其前n项和为成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和。

参考答案：
解：（1）因为，即，①
因为为等比数列，即
所以，化简得：②……2分
联立①和②得：，
……4分所以
……6分（2）因为……8分
所以
……12分
21. （本小题满分12分）设F1，F2分别是椭圆E： (0<b<1)的左，右焦点，过F1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|； (2)若直线的斜率为1，求b的值．
参考答案：
(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程为y＝x＋c，其中.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足
因为直线AB的斜率为1，
22. 某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品.根据经验知道，若每台机器产生的次品数P
（万件）与每台机器的日产量
之间满足关系：已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元.（利润=盈利—亏损）
（I）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润（万元）表示为的函数；
（II）当每台机器的日产量（万件）写为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
参考答案：
略。