精品解析：2018-2019学年人教版 九年级上册第九章圆单元测试题(解析版)

2018-2019学年度上学期9月月考卷
初三数学
第I卷（选择题）
一、选择题（共10题，每小题4分）
1. 如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC=40°，则∠CDB的度数为（）
学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
【答案】B
【解析】
试题分析：连接AD，根据圆周角定理求出∠ADC=∠AOC=20°．∵CD⊥AB，
∴，∴∠CDB=∠ADC=20°．故选B．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
2.如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB 的长是（）
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 2cm
【答案】C
【解析】
试题分析：连接OA，∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，∴AB=2AM，
∵CD=5cm，∴OD=OA=CD=×5=cm，∵OM：OD=3：5，∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM=，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C．
【考点】垂径定理；勾股定理．
3.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）
A. 44°
B. 54°
C. 72°
D. 53°
【答案】B
【解析】
试题分析：根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，根据∠E=36°可得∠B=54°，根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=54°.
考点：（1）、平行四边形的性质；（2）、圆的基本性质.
4. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，D是优弧BC上一点，∠A=30°，则∠D为（）
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 45°
【答案】B
【解析】
试题分析：欲求∠D，因为∠D=∠AOB，所以只要求出∠AOB即可解决问题．
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
∴∠D=∠AOB=30°．
故选B．
考点：切线的性质．
5.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）
A. 3、
B. 、π
C. 3、
D. 3、2π
【答案】D
【解析】
试题解析：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴∠COM=30°，
∵OC=6，
∴OM=6cos30°=3，
∴=2π
故选D．
考点：1.正多边形和圆；2.弧长的计算．
6.如图，P是⊙O外一动点，PA、PB、CD是⊙O的三条切线，C、D分别在PA、PB上，连接OC、OD．设∠P为x°，∠COD为y°，则y随x的函数关系图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题解析：设CD与⊙O相切于点E，连结OA、OB、OE，如图，
∵PA、PB、CD是⊙O的三条切线，
∵CA=CE，DE=DB，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴OC平分∠AOE，OD平分∠BOE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠COD=∠2+∠3=∠AOB，
∵∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣x°，
∴y=90°﹣x（0＜x＜180°）．
故选B．
考点：动点问题的函数图象．
7.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是( )
A. 18﹣9π
B. 18﹣3π
C. 9﹣
D. 18﹣3π
【答案】A
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=6×=3，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3-=18-9π．
故选A．
考点：1.菱形的性质；2.扇形面积的计算．
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
【答案】A
【解析】
试题分析：连接OB、OC，根据圆内接正方形的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果. 连接OB、OC
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形
∴∠BOC=90°
∴∠BPC=45°
故选A.
考点：圆内接正方形的性质，圆周角定理
点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.
9.如图，在平面直角坐标系中，直线经过点(6，0)、(0，6)，⊙的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：联结、，由切线的定义可知，故.要求的最小值，只需
求的最小值，而根据、坐标，可知取最小值时有，此时，代入即可求得. 考点：圆切线的性质.
10. 平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的起始位置如图1所示，边AB在x轴上，现将正六边形沿x轴正方向无滑动滚动，第一次滚动后，边BC落在x轴上（如图2）；第二次滚动后，边CD落在x轴上，如此继续下去．则第2016次滚动后，落在x轴上的是（）
A. 边DE
B. 边EF
C. 边FA
D. 边AB
【答案】D
【解析】
试题分析：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；∴2016÷6=336，
∵第一次滚动后，边BC落在x轴上（如图2）；第二次滚动后，边CD落在x轴上，如此继续下去，第六次滚动后，边AB落在x轴上，∴第2016次滚动后，落在x轴上的是：边AB．
故选D．
考点：正多边形和圆；坐标与图形性质；旋转的性质．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共4小题，每题3分）
11.三翼式旋转门在圆柱形的空间内旋转，旋转内的三片旋转翼把空间等分成三个部分，如图1，旋转门的俯视图是直径的2米的圆，图2显示了某一时刻旋转翼的位置，则弧AB的长是米．（结果保留π）
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意，可得，
∴的长=（m），
故答案为：．
考点：弧长的计算
12.如图，AC切⊙O于点C，AB过圆心O交⊙O于点B、D，且AC=BC，若⊙O的半径为2，图中阴影部分的面积为_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OC，由AC切⊙O于点C，可得OC⊥AC，然后设∠A=x°，由AB=AC以及圆周角定理，可得∠B=x°，∠AOC=2x°；再连接CD，易得△OCD是等边三角形．继而可由S阴影=S△ACO-S扇形ODC求得答案．【详解】连接OC．
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC．
∴∠ACO=90°，
设∠A=x°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=x°．
∴∠AOC=∠OCB+∠B=2x°．
在Rt△ACO中，
∵∠A+∠AOC=90°，
∴x+2x=90．
∴x=30．
即∠A=30°．
连接DC．
在Rt△ACO中，∠AOC=90°-∠A=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形．
∴CD=OD=2，∠AOC=60°．
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，BD=4．
由勾股定理得BC=2．
∴AC=BC=2．
∴S△ACO=AC•OC=2，
S扇形ODC=π•22=π，
∴S阴影=S△ACO-S扇形ODC=2-π．
故答案为：.
【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
13. 如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是____________．
【答案】35．
【解析】
试题解析：连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∵∠BDC=110°，
∴∠BOC=360°-∠OCD-∠BDC-∠OBD=70°，
∴∠A=∠BOC=35°．
考点：1．切线的性质；2．圆周角定理．
14.如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA 为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是_______________.
【答案】，且0＜x＜180
【解析】
【分析】
由圆周角定理，可得∠BOP=2∠Q=2y°，又由邻补角的定义，可得x+2y=180，继而求得答案．
【详解】∵∠BOP=2∠Q=2y°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOP+∠BOP=180°，
∴x+2y=180，
∴y=90-x，且0＜x＜180．
故答案为：y=90-x，且0＜x＜180．
【点睛】此题综合运用了圆周角定理及其推论．
三、解答题（共5小题，共48分）
15.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（1）如图1，过点C作⊙O的切线，与AB延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的度数；
（2）如图2，D为弧AB上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接DC并延长，与AB的延长线交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．
【答案】（1）∠P =36°；（2）∠P=30°．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得
∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．
试题解析：（Ⅰ）如图，连接OC，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CAB=27°，
∴∠COB=2∠CAB=54°，
在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，
∴∠P=90°﹣∠COP=36°；
（Ⅱ）∵E为AC的中点，
∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，
在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，
得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，
∴∠ACD=∠AOD=40°，
∵∠ACD是△ACP的一个外角，
∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．
考点：切线的性质
视频
16.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3.
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
试题解析：（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；
（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB=，
在Rt△POD中，cos∠POD=，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．
视频
17.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由
（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线CD与⊙O相切；（2）⊙O的半径为1.5．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质
得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD的长，根据切割线定理得到=AD•DE，根据勾股定理得到CE的长，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．
试题解析：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，
∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；
（2）方法1：连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，
∴=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．
方法2：∵∠DCA=∠B，易得△ADC∽△ACB，∴，∴AB=3．
18. 如图，已知⊙O的半径为1，A,P,B,C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
（1）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积;
（2）试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）点P为的中点；．（2）CP=BP+AP.
【解析】
试题分析：（1）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得.
试题解析：（1）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图1，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵
∴S
=AB•（PE+CF），
四边形APBC
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S
=×2×=．
四边形APBC
（2）在PC上截取PD=AP，如图2，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP.
考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定与性质；3.等边三角形的判定与性质；4.垂径定理．
19.阅读理解
在⊙I中，弦AF与DE相交于点Q，则AQ•QF=DQ•QE．你可以利用这一性质解决问题．
问题解决
如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，高AO在y轴的正半轴上，点Q（0，1）是等边△ABC的重心，过点Q的直线分别交边AB、AC于点D、E，直线DE绕点Q转动，设∠OQD=α（60°＜α＜120°），△ADE的外接圆⊙I交y轴正半轴于点F，连接EF．
（1）填空：AB= ；
（2）在直线DE绕点Q转动的过程中，猜想：与的值是否相等？试说明理由．
（3）①求证：AQ2=AD•AE﹣DQ•QE；
②记AD=a，AE=b，DQ=m，QE=m（a、b、m、n均为正数），请直接写出mn的取值范围．
【答案】（1）2（2）相等（3）①见详解；②≤mn≤2.
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接BQ，由点Q（0，1）是等边△ABC的重心，得到AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠DAF=∠FAE，根据相似三角形的性质得到=，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；
（3）①由相似三角形的性质得到，根据线段的和差得到AD•AE=（AQ+QF）•AQ，化简即可得到结论；②如图2，过点E作ET⊥AB于T，解直角三角形得到ET=AE•sin60°=b，求得S△ADE=ab，当α=90°时，此时DE∥x轴，S△ADE最小，根据相似三角形的性质得到，得到，当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S△ADE最大，根据三角形的面积得到≤ab≤6，代入化简即可得到结论．
【详解】（1）如图1，连接BQ，∵点Q（0，1）是等边△ABC的重心，
∴AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，∴AO=3，∴AB=sin60°•AO=2；
故答案为：2；
（2）相等，
理由：∵AO为等边△ABC的高，∴AO平分∠BAC，∴∠DAF=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，
∴△ADQ∽△AFE，∴=，∵∠QEF=∠OAE，∠AFE=∠QFE，
∴△AFE∽△QEF，∴，∴=；
（3）①∵△ADQ∽△AFE，∴=，∴A D•AE=AF•AQ，即AD•AE=（AQ+QF）•AQ，
∴AD•AE=AQ2+AQ•QF，∵AQ•QF=DQ•QE，∴AD•AE=AQ2+DQ•QE，即AQ2=AD•AE﹣DQ•QE；
②如图2，过点E作ET⊥AB于T，在Rt△AET中，
∠EAT=60°，ET=AE•sin60°=b，S△ADE=AD•ET=AD•AE=AD•AE=ab，当α=90°时，此时DE∥x 轴，S△ADE最小，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，又
∵S△ABC=×（2）2=3，∴，
当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S△ADE最大，
∴S△ADE=S△ABC=×3=，∴≤ab≤，
∴≤ab≤，，由①证得：AQ2=AD•AE﹣DQ•QE，即22=ab﹣mn，
∴ab=mn+4，∴≤mn+4≤6，即≤mn≤2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，
圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，旋转的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．。