宁夏吴忠市吴忠中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题理

宁夏吴忠市吴忠中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1．设全集为R ，集合A ＝{x|0＜x ＜2}，B ＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )
A ．{x |0＜x ≤1}
B ．{x |0＜x ＜1}
C ．{x |1≤x ＜2}
D ．{x |0＜x ＜2} 2．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( )
A ．－12
B ．－13
C ．12
D ．13
3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2
＋(y －3)2
＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π6 4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ B ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，
则b ＝( )
A ．14
B ．6 C.14 D. 6
6．函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0<φ<π2
个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )
A ．4＋4 2
B ．42＋2
C ．8＋4 2 D.83
8．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π，则sin A 的值为( )
A.35
B.45
C.35或45
D.34
9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( ) A.
12 B ．－12 C.32
D ．－
3
2
10．在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2
＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.
215 B.715 C.35 D.1115
8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )
A.6
3 B.255
C.
155
D.
105
12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆使()f x 在[]
,a b 上的值域为,22a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()()
()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是
“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞
B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.) 13.已知向量
，
，则向量与夹角的余弦值为__________.
14．已知点(m,3)到直线x ＋y －4＝0的距离等于2，则m 的值为__________．
16．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,6
4
DAB BAC π
π
∠=∠=
，三棱锥的外接球的表面积为
4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）
A 3
B 3
C 3
D 3三、解答题:(解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤) 17．(10分)己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3a
c
＝
cos A ＋2
sin C
.
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ＝5，且△ABC 的面积为3，求a 的值．
18．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；
(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －3
2
cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．
20．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，
F 分别为AD ，PB 的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
21．(12分)某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)．把这些高度列成了如下的频数分布表：
组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 频数23141512 4
(2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)
(3)为了进一步获得研究资料，若从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40,50)组中的树苗A和[90,100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？
22．△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．
(1)求证：DF ∥平面ABC ； (2)求证：AF ⊥BD ；
(3)求平面BDF 与平面ABC 所成锐二面角的大小．
22. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，
2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．
（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； （2）求二面角A CE B --的余弦值．
吴忠中学2020——2021学年第一学期期中考试
高二年级理科数学试卷
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1．设全集为R ，集合A ＝{x|0＜x ＜2}，B ＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )
A ．{x |0＜x ≤1}
B ．{x |0＜x ＜1}
C ．{x |1≤x ＜2}
D ．{x |0＜x ＜2} 解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}． 2．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( )
A ．－12
B ．－13
C ．12
D ．13
解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.
法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.
3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2
＋(y －3)2
＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π6
解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22
－(3)2
＝1. 即d ＝
|2k |1＋k
2
＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π
6
.故选A. 4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ B ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝2
3，
则b ＝( )
A ．14
B ．6 C.14 D. 6
解析：选 D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×2
3
＝6，∴b ＝ 6.
6．函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )
A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
解析：选B 由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，
得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，
所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )
A ．4＋4 2
B ．42＋2
C ．8＋4 2 D.8
3
[解析]由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P ­ABCD ，如图所示，其中PA ⊥底面
ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且PA ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角
三角形的面积和，即S ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. 8．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π，则sin A 的值为( )
A.35
B.45
C.35或45
D.34 解析：选 B ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－
1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－2
10
， ∴sin A ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝4
5.
9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( ) A.
12 B ．－12 C.3
2
D ．－
3
2
(2)如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，
FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为1
2
，故选A.
10．在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2
＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.
215 B.715 C.35 D.1115
[解析] ∵f (x )＝－x 2
＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2
＋4m ≥0，∴m ≤－4或m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－(－6)]＋(9－0)
9－(－6)
＝
11
15，故选D. [答案] D
8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )
A.63
B.255
C.
155
D.
105
解析：在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ，连接BE .
⎭
⎪⎬⎪⎫C 1E ⊥B 1D 1，C 1E ⊥BB 1
⇒C 1E ⊥平面BDD 1B 1，
∴∠C 1BE 的正弦值就是所求角的正弦值． ∵BC 1＝22＋12
＝5，C 1E ＝2×222＝2，
∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25
＝105. 答案：D
12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆使()f x 在[]
,a b 上的值域为,22a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()()
()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是
“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞
B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】∵()()
()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“成功函数”，∴()f x 在其定义域内为增函数，()(
)
1
log 2
x
a f x a t x =+=，∴2x x a t a +=，20x
x a a t -+=，
令20x m c
=
>，∴20m m t -+=有两个不同的正数根，
∴1400
t t ->>⎧⎨⎩，解得10,4t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，故选B ．
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.) 13.已知向量，
，则向量与夹角的余弦值为__________.
【解析】由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为：
14．已知点(m,3)到直线x ＋y －4＝0的距离等于2，则m 的值为__________． 解析：由点到直线的距离得|m ＋3－4|
2＝ 2. 解得m ＝－1，或m ＝3. 答案：－1或3
15．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝
AC
sin B ，
即
6sin 60°＝AC
sin 45°
，解得AC ＝2.
答案：2
16．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形
成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,6
4
DAB BAC π
π
∠=∠=
，三棱锥的外接球的表面积为
4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）
A 3
B ．
36
C ．
324
D ．
348
【答案】B
【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =，因为
90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且
3,1,2AD BD AC BC ====C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最
大，此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， 所以1113
311332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=
△。

三、解答题:(解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤) 17．(10分)己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3a
c
＝
cos A ＋2
sin C
.
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ＝5，且△ABC 的面积为3，求a 的值． 解 (1)由正弦定理得，3sin A sin C ＝cos A ＋2
sin C
，
∵sin C ≠0，
∴3sin A －cos A ＝2，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝1.
∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π
6，
∴A －π6＝π2，∴A ＝2π
3
.
(2)由S △ABC ＝3可得S ＝1
2
bc sin A ＝ 3.
∴bc ＝4， ∵b ＋c ＝5，
∴由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝(b ＋c )2
－bc ＝21， ∴a ＝21.
18．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， 所以|PA |＝210. 所以(a ＋1)2
＋b 2
＝40.②
由①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝6
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2，
所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，
所以圆P 的方程为(x ＋3)2
＋(y －6)2
＝40或(x －5)2
＋(y ＋2)2
＝40.
19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；
(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －3
2
cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．
解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得
2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，
又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.
在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝1
2
，
又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
3.
(2)因为B ＝π
3
，
所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π＋5π
12(k ∈Z)，
即当x ＝k π＋5π
12
(k ∈Z)时，f (x )取得最大值1.
20．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，
F 分别为AD ，PB 的中点．
(1)求证：PE ⊥BC ；
(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .
证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，
所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD . 所以PE ⊥BC .
(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD .所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，所以PD ⊥平面PAB .所以平面PAB ⊥平面PCD . 3)取PC 中点G ，连接FG ，DG .
因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝1
2
BC .
因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝1
2
BC .
所以DE ∥FG ，DE ＝FG .
所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .
又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .
21．(12分)某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)．把这些高度列成了如下的频数分布表：
(2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)
(3)为了进一步获得研究资料，若从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40,50)组中的树苗A 和[90,100]组中的树苗C 同时被移出的概率是多少？ 解 (1)由已知，高度在85厘米以上的树苗大约有6＋4＝10棵，则所求的概率大约为1050＝1
5
＝0.2.
(2)树苗的平均高度x ≈ 45×2＋55×3＋65×14＋75×15＋85×12＋95×450＝3690
50
＝73.8厘
米．
(3)依题意，记[40,50)组中的树苗分别为A 、B ，[90,100]组中的树苗分别为C 、D 、E 、F ，则所有的基本事件为
ACD 、ACE 、ACF 、ADE 、ADF 、AEF 、BCD 、BCE 、BCF 、BDE 、BDF 、BEF ，共12个．
满足A 、C 同时被移出的基本事件为ACD 、ACE 、ACF ，共3个，所以树苗A 和树苗C 同时被移出的概率P ＝3
12＝0.25.
22．△ABC 是正三角形，线段EA 和DC 都垂直于平面ABC .设EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，且F 为BE 的中点，如图．
(1)求证：DF ∥平面ABC ； (2)求证：AF ⊥BD ；
(3)求平面BDF 与平面ABC 所成锐二面角的大小．
解析：(1)证明：如图所示，取AB 的中点G ，连接CG ，FG . ∵EF ＝FB ，AG ＝GB ， ∴FG 綊1
2
EA .
又DC 綊1
2EA ，∴FG 綊DC .
∴四边形CDFG 为平行四边形， 故DF ∥CG .
∵DF ⊄平面ABC ，CG ⊂平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC .(4分)
(2)证明：∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥CG . 又△ABC 是正三角形， ∴CG ⊥AB . ∴CG ⊥平面AEB . ∴CG ⊥AF . 又∵DF ∥CG ， ∴DF ⊥AF .
又AE ＝AB ，F 为BE 中点， ∴AF ⊥BE .又BE ∩DF ＝F ， ∴AF ⊥平面BDE . ∴AF ⊥BD .(8分)
(3)延长ED 交AC 延长线于G ′，连接BG ′. 由CD ＝1
2AE ，CD ∥AE 知D 为EG ′中点，
∴FD ∥BG ′.
由CG ⊥平面ABE ，FD ∥CG ， ∴BG ′⊥平面ABE .
∴∠EBA 为所求二面角的平面角．(12分) 在等腰直角三角形AEB 中，易求∠ABE ＝45°.
22. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，
2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．
（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； （2）求二面角A CE B --的余弦值．
【解析】（Ⅰ）在t R BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点，所以1
12
FC BD ==. 因为,E F 是,AD BD 的中点，所以1
12
EF AB =
=，且2EC =， 所以222EF FC EC +=，所以EF FC ⊥. 又因为,//AB BD EF AB ⊥，所以EF BD ⊥， 又BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD ，
因为EF ⊂平面EFC ，所以平面EFC ⊥平面BCD ． （Ⅱ）方法一：取AC 中点M ，连ME ，则//ME CD ， 因为1
22
CE AD =
=，所以CD AC ⊥. 又因为CD BC ⊥，AC BC C ⋂=，所以CD ⊥平面ABC ， 所以ME ⊥平面ABC ．
因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角．故
22cos306AC MC EC ==⋅=，
所以2CD BC ==
.
过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥平面ACD ，且23
AB BC BN AC ⋅=
=
． 过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ，则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角． 因为2BE BC EC ===，所以22366
,BH BE HN BH BN =
==-=
， 所以1cos 3HN BHN BH ∠==，因此二面角A CE B --的余弦值为1
3
．。