人教版数学初三二次函数预习专题一

人教版数学初三二次函数预
习专题一
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二次函数 班级 姓名
一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应， 那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数； 形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。

二、自主学习：
1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .
支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。

4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流：
（1）二次项系数a 为什么不等于0？
答： 。

（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？
答： .
例1：函数y=ax ²+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数
(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
例2: 关于x 的函数
m
m x
m y -+=2)1(是二次函数, 求m 的值.
四、跟踪练习
1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤21
3y x x
=-+；
⑥()2
21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。

（只填序号） 2.2
(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．
3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时， 该物体所经过的路程为 。

4.二次函数23y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
五．达标测评案：
1．下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数,则( ) ＝1 ＝±1 ≠1
≠－1
3.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s ＝5t 2＋2t,则当t ＝4秒时, 该物体所经过的路程为（ ） 米
米
米
米
4.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
5．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式.
6、n 支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛.写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式.
7、若函数()
m
m
x m y --=2
12为二次函数，求m 的值.
8.已知二次函数y=x ²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
二次函数2y ax =的图象
一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。

2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二、自主学习
（一）画二次函数y ＝x 2的图象． 列表：
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗为什么连线中我们应该注意什么
答： 2.归纳：
① 由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路
线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； ②抛物线2x y =是轴对称图形，对称轴是 ； ③2x y =的图象开口_______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。

抛物线2x y =的顶点坐标是 ； 它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势； 即x <0时，y 随x 的增大而 ，x >0时，y 随x 的增大而 。

（二）例1、在图（4）中，画出函数2
2
1x y =
，2x y =，22x y =的图象． 解：列表： x
... －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 (22)
1x y =
…
…
归纳：抛物线2
2
1x y =，2x y =，22x y =的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；
二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
x
…
－2 －1 0 1 2 … 22x y = …
…
例2 请在图（4）中画出函数22
1
x y -=，2x y -=，22x y -=的图象．
列表：
归纳：抛物线22
1
x y
-=，2x y -=，22x y -=的的图象的形状都是 ；顶点都是_____；对称轴都
是______；
二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 三、合作交流： 归纳：
抛物线2ax y =的性质
是______． a ＜
当x ＝____时，y 有最_______值，是______．
2.当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。

3．在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？
答： .由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。

4．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越______；
当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越________；因此，a 越大，抛物线的开口越________。

四、课堂训练 1．函数2
7
3x y =
的图象顶点是______，对称轴是_____，开口向___，当x ＝_____时，有最____值是_________．
2. 函数26x y -=的图象顶点是______，对称轴是_____，开口向___，当x ＝___时，有最_____值是_________．
3. 二次函数()23x m y -=的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y ＝mx 2
2
-m
有最高点，则m ＝___________．
5. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如右图所示，则k 的取值范围为___________． 5题图 6．若二次函数2ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 7．如图，抛物线① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2
比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．__________________________________
8．点A （2
1
，b ）是抛物线2x y =上的一点，则b= ；
过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是 。

9．如图，A 、B 分别为2ax y =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6，
则该抛物线的表达式为 . 10. 当m= 时，抛物线m
m
x m y --=2
)1(开口向下．
11.二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）． 9题图 （1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
二次函数k ax y +=2的图象（一）
一、知识链接：直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。

练：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。

解：
由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？
猜想： . 二、自主学习
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象．
2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；
把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y . 3．抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状__________．开口大小相同。

三、知识梳理：
（一）抛物线k ax y +=2特点：
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是 。

（二）抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y ax = 平移得到的。

（填上下或左右）
二次函数图象的平移规律：上 下 。

（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。

四、跟踪练习：
1.抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________． 2．抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状______， 当x = 时，y 有最 值是 .
3．由抛物线352-=x y 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ， 是把原抛物线向 平移 个单位得到的。

4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线2x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析
式 ．
5. 抛物线142+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为___________________．
6.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）. ⑴求该函数的表达式；
⑵若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值。

五．达标测评案： 1.填表
函数 草图
开口方向
顶点
对称轴
最值 对称轴右侧的增减性 y ＝3x 2
y ＝－3x 2＋1 y ＝－4x 2－5
2.将二次函数y ＝2x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________.
3.写出一个顶点坐标为(0,3),开口方向与抛物线y ＝－x 2方向相反,形状相同的抛物线解析式 .
4.抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1
3 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的. 6.抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________,与x 轴的交点坐标为_________.
二次函数y ＝a(x-h)2的图象（二）
一、知识链接：
1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。

2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。

二、自主学习
画出二次函数2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象；先列表：
x
…
－
4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
… 2)1(+=x y …
…
归纳：（1）2)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ， 顶点坐标是 。

图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。

2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。

（2）2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点， 即x = 时，y 有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。

2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。

三、知识梳理
（一）抛物线2)(h x a y -=特点：
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。

（二）抛物线2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2y ax = 平移得到的。

（填上下或左右）结合学案可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。

（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。

总结知识点：
四、课堂训练
1．抛物线()2
23y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，
y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

2. 抛物线22(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，
y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

3. 抛物线221y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5. 抛物线24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 6．将抛物线()2
123
y x =-
-向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线()2
42y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________． 8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22y x =-都相同的二次函数解析式_______________．
五．达标测评案：
2.抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________,与x 轴的交点坐标为________.
3.把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.
4.将抛物线y ＝－1
3 (x －1)x 2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.
5.抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口___________;顶点坐标为____________;对称轴是_________; 当x ＞－3时,y______________;当x ＝－3时,y 有_______值是_________.
二次函数()k h x a y +-=2的图象（三）
一、知识链接：
1.将二次函数2-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 .
2.将抛物线2y x =-的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 . 二、自主学习
在右图中做出()2
12y x =--的图象： 观察：1. 抛物线()212y x =--开口向 ； 顶点坐标是 ；对称轴是直线 .
2. 抛物线()2
12y x =--和2y x =的形状 ，位置 . （填“相同”或“不同”）
3. 抛物线()212y x =--是由2y x =如何平移得到的？
答： 三、合作交流
平移前后的两条抛物线a 值变化吗为什么 答： 。

四、知识梳理
（一）抛物线2()+y a x h k =-的特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。

（二）抛物线2()+y a x h k =-与2y ax =形状 ，位置不同，2()+y a x h k =-是由2y ax =平移得到的。

二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。

（三）平移前后的两条抛物线a 值 。

五、跟踪训练
1.二次函数2)1(212+-=
x y 的图象可由22
1
x y =的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 2.抛物线()2
1653
y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ， 当x ＝ 时，y 有最 值为 。

3.填表：
4.函数()2
231y x =--的图象可由函数2
2y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，
再沿y 轴向 平移 个单位得到。

5.若把函数()2
523y x =-+的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。

6. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线2
12
y x =相同的解析式为（ ） A ．()2
1232
y x =-+ B ．()21232y x =+- C ．()21232y x =++ D ．()2
1232
y x =-++
7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线22y x =相同，对称轴和抛物线()2
2y x =-相同，且顶点纵坐标为0，
求此抛物线的解析式.
达标测评案
＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同,而____________不同. 2.顶点坐标为(－2,3),开口方向和大小与抛物线y ＝1
2 x 2相同的解析式为( )
＝1
2 (x －2)2＋3
＝12 (x ＋2)2－3 ＝12 (x ＋2)2＋3 ＝－1
2 (x ＋2)2＋3
3.二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________.
4.将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线解析式为_____.
5.若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上,且x ＝1时,y ＝－3,求的值.
6.若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A(3,5),则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为（ ）。

7.将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得抛物线表达式______________.
二次函数()k h x a y +-=2的图象应用（四）
一、知识链接：
1.抛物线22(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时， y 有最 值为 。

当x 时，y 随x 的增大而增大.
2. 抛物线22(+1)3y x =--是由22y x =-如何平移得到的？答： 二、自主学习
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？ 分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。

x
y
D B A O
C 2.如图,人民公园计划建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端装一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心为3 m ，求水管的长．
二、跟踪练习：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米.AO= 3米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. (1) 直接写出点A 及抛物线顶点P 的坐标； (2) 求出这条抛物线的函数解析式；
三、能力拓展
1.如图抛物线()2
14y x =--与x 轴交于A,B 两点，交y 轴于点D ，抛物线的顶点为点C （1）求△ABD 的面积. （2）求△ABC 的面积.
（3）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为4时，求所有符合条件的点P 的坐标. （4）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为8时，求所有符合条件的点P 的坐标. （4）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为10时，求所有符合条件的点P 的坐标.
2.如图，在平面直角坐标系中，圆M 经过原点O ，且与轴、轴分别相交于两
点．
（1）求出直线AB 的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，
求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得
若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数2y ax bx c =++的图象
一、知识链接：
1.抛物线()2
231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。

2. 二次函数解析式2()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。

二、自主学习：
（一）、问题：（1）你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1）吗？
解：
222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①222+-=x x y ②522
12
++=x x y ③c bx ax y ++=2
（5）归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： ，
因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；对称轴是 ，
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。

用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。

①4322+-=x x y ②222++-=x x y ③x x y 42--=
（二）、用描点法画出122
12
-+=x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
（3）描点，并连线 （4）观察：
①图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；
②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小. ③该抛物线与y 轴交于点 。

④该抛物线与x 轴有 个交点.
三、合作交流
x
... (12212)
-+=
x x y
…
求出122
12
-+=
x x y 顶点的横坐标2-=x 后， 可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。

归纳：
y ＝ax 2
y ＝ax 2＋k y ＝a(x －h)2
y ＝a(x －h)2＋k
y ＝ax 2＋bx ＋c
开口方向
顶点 对称轴 最值
增减性(对称轴左侧)
四.知识点应用
1.求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点(含y ＝0时,则在函数值y ＝0时,x 的值是抛物线与x 轴交点的横坐标).
例1：求y ＝x 2－2x －3与x 轴交点坐标.
2.求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点(含x ＝0时,则y 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标). 例2：求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标.
3. 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响.
(1)a 决定:开口方向.形状 (2)c 决定与y 轴的交点为(0,c)
(3)b 与－b 2a 共同决定b 的正负性 (4)△＝b 2－4ac ⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点
与x x x 000
例3：如图,由图可得:a_______0,b_______0,c_______0,△______0 例4：已知二次函数y ＝x 2＋kx ＋9.
① 当k 为何值时,对称轴为y 轴；
②当k 为何值时,抛物线与x 轴有两个交点； ③当k 为何值时,抛物线与x 轴只有一个交点. 五．达标测评案：
1. 用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝1
2 x 2－2－1的顶点坐标. 2.二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1,－2),则b ＝________,c ＝_________.
3.已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6,当________时,y 随x 的增大而增大;当x ＝________时,y 有______值是_____.
4.二次函数y ＝－x 2＋mx 中,当x ＝3时,函数值最大,求其最大值.
5.求抛物线y ＝2x 2－7x －15与x 轴交点坐标__________,与y 轴的交点坐标为_______.
6.抛物线y ＝4x 2－2x ＋m 的顶点在x 轴上,则m ＝__________.
7.如图:由图可得: a_______0,b_______0,c_______0,△＝b 2－4ac______0
用待定系数法求二次函数的解析式
一、知识链接：
已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式. 解：
二、自主学习
1.一次函数b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。

解：
2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。

分析：如何设函数解析式顶点式还是一般式答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。

解：
三、知识梳理
（一）用待定系数法求二次函数的解析式步骤：
（1）设二次函数的解析式；
（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。

（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。

（二）二次函数解析式的的常见形式：
1．一般式：c bx ax y ++=2.已知抛物线上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
2．顶点式：()k h x a y +-=2
.已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3．交点式：()()21x x x x a y --=。

已知抛物线与轴交点的横坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

四、例题选讲
例1：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；
例2：（一题多解）二次函数的图象经过点（1，0），（2，0），（3，4），求函数的解析式。

针对训练
根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x 轴交于点（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）；
（4）已知二次函数图象的对称轴是x =-1，与y 轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10）．
五、能力拓展
例3：已知二次函数()n mx x m y +--=4222的图象的对称轴是x =2,且最高点在直线112+=x y 上,
求这个二次函数的表达式.
[变式练习]：将上例中其它条件不变,“最高点”改为“顶点”求二次函数解析式.
例4 ：已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x -1=0,抛物线与x 轴两交点的距离为4,
求这个二次函数的解析式.
[变式练习1]
已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x 轴的两个交点间距离是4.求这个二次函数的解析式.
[变式练习2]
已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴分别交于A(3,0),B 两点,与y 轴交于(0,3)点,对称轴是x =1, 求二次函数的解析式.
六、综合应用
1、已知抛物线c x ax y +-=22与它的对称轴相交于点A （1，-4），与y 轴交于C ，与x 轴正半轴交于B ．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线AC 交x 轴于D ，P 是线段AD 上一动点（P 点异于A ，D ），过P 作PE ∥x 轴交直线AB 于E ，
过E 作EF ⊥x 轴于F ，求当四边形OPEF 的面积等于
2
7时点P 的坐标．
2、 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.
（1） 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；
x
y C B A O （2） 求出这条抛物线的函数解析式；
（3） 若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
3、如图，直线33+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；
若不存在，请说明理由.
七．达标检测案：
1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(－2,－3),且图像过点(－3,－2),求这个二次函数的解析式.
3.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3),
求二次函数的顶点坐标.
4.如图,在△ABC 中,∠B ＝90°,AB ＝12mm,BC ＝24mm,动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动,如果分别从同时出发,那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围.
Q P C
B A。