第1课时 菱形的性质
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(-1,0),∠BCD=120°,则点 D 的坐标为( D )
A.(2,2)
B.( ,2)
C.(3, ) D.(2, )
11.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=4,EF为过点O的一条直线,则图中
5
阴影部分的面积为
.
12.在菱形ABCD中,点Q为边AB上一点,点F为BC边上一点,连接DQ,DF和QF.
∴△ALQ≌△BFQ.∴AQ=BQ.
(2)如图(2)所示,在(1)的条件下,∠BAD=120°,对角线AC,BD相交于点P,以点P为顶点作∠MPN=
60°,PM与AB交于点M,PN与AD交于点N.求证:DN+QM=AB.
证明:(2)如图②所示,连接 QP,∵菱形 ABCD,
∴∠BAP=∠DAP,PA=PC,AC⊥BD,∴∠APB=∠APD=90°.
第六章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时
菱形的性质
1.(2021锦江期中)如图所示,已知菱形ABCD的周长为16,∠A=60°,则BD的长为( B )
A.3
B.4
C.6
D.8
2.如图所示,在菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1等于(
A.30°
B.25°
C.20°
D.15°
D
)
2
3.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm,则菱形的面积是 176 cm.
∴△PQM≌△PAN.∴QM=AN.
∵AB=AD=DN+AN,∴AB=DN+QM.
13.(拓展探究题)(1)如图(1)所示,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,AD=CD,点E,F分别在边AB,BC
上,
ED=FD,证明:∠ADE=∠CDF;
(2)如图(2)所示,在菱形ABCD中,∠A=120°,点E,F分别在边AB,BC上,ED=FD.若∠EDF=30°,则
∴△ABE≌△CBF.∴AE=CF.
6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G.求证
:
∠
∠DGF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠ADG=∠CDG.
∵AE=CF,∴DE=DF.
又∵DG=DG,∴△DEG≌△DFG,
∴∠DGE=∠DGF.
∠CDF=
°.
(1)证明:在Rt△AED和Rt△CFD中,
∵ED=FD,AD=CD,
∴Rt△AED≌Rt△CFD.
∴∠ADE=∠CDF.
(2)15
D
G
E
=
7.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,
得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时,点A与点B′之间的距离为(
A.6
B.8
C.10
)C
D.12
8.如图所示,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若
(1)如图(1)所示,若∠ADQ=∠FDQ,∠FQD=90°.求证:AQ=BQ;
证明:(1)如图①所示,分别延长FQ,DA交于点L,∵∠ADQ=∠FDQ,DQ=DQ,∠FQD=∠LQD=90°,
∴△FQD≌△LQD.∴FQ=LQ.
∵菱形ABCD,∴LD∥BF.
∴∠ALQ=∠BFQ,∠LAQ=∠FBQ.
B
∠DAC=33°,则∠OBC的度数为(
)
A.33°
B.57°
C.59°
D.66°
9.如图所示,在菱形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,且 CE=CD,连接 DE.若 AB=5,AC=8,则
的值为( B )
A.Fra bibliotekB.
C.
D.
10.(2021 烟台)如图所示,在直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 A,B,C 在坐标轴上,若点 B 的坐标为
∵∠BAD=120°,∴∠BAP=∠DAP=60°.
∴∠ABP=30°.∴PA= AB.∵AQ=BQ= AB,∴△APQ 是等边三角形.
∴PQ=AQ= AB.∴PA=PQ.∴△APQ 是等边三角形.
∴∠APQ=∠PQA=60°.∵∠MPN=60°,∴∠APQ=∠MPN=60°.
∴∠QPM=∠APN.∵∠PQM=∠PAN=60°,
4.如图所示,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则∠BAE的度数为 115°
.
5.如图所示,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F.求证:AE=CF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BA=BC,∠A=∠C.
∵BE⊥AD,BF⊥CD,
∴∠BEA=∠BFC=90°.
A.(2,2)
B.( ,2)
C.(3, ) D.(2, )
11.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=4,EF为过点O的一条直线,则图中
5
阴影部分的面积为
.
12.在菱形ABCD中,点Q为边AB上一点,点F为BC边上一点,连接DQ,DF和QF.
∴△ALQ≌△BFQ.∴AQ=BQ.
(2)如图(2)所示,在(1)的条件下,∠BAD=120°,对角线AC,BD相交于点P,以点P为顶点作∠MPN=
60°,PM与AB交于点M,PN与AD交于点N.求证:DN+QM=AB.
证明:(2)如图②所示,连接 QP,∵菱形 ABCD,
∴∠BAP=∠DAP,PA=PC,AC⊥BD,∴∠APB=∠APD=90°.
第六章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时
菱形的性质
1.(2021锦江期中)如图所示,已知菱形ABCD的周长为16,∠A=60°,则BD的长为( B )
A.3
B.4
C.6
D.8
2.如图所示,在菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1等于(
A.30°
B.25°
C.20°
D.15°
D
)
2
3.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm,则菱形的面积是 176 cm.
∴△PQM≌△PAN.∴QM=AN.
∵AB=AD=DN+AN,∴AB=DN+QM.
13.(拓展探究题)(1)如图(1)所示,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,AD=CD,点E,F分别在边AB,BC
上,
ED=FD,证明:∠ADE=∠CDF;
(2)如图(2)所示,在菱形ABCD中,∠A=120°,点E,F分别在边AB,BC上,ED=FD.若∠EDF=30°,则
∴△ABE≌△CBF.∴AE=CF.
6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G.求证
:
∠
∠DGF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠ADG=∠CDG.
∵AE=CF,∴DE=DF.
又∵DG=DG,∴△DEG≌△DFG,
∴∠DGE=∠DGF.
∠CDF=
°.
(1)证明:在Rt△AED和Rt△CFD中,
∵ED=FD,AD=CD,
∴Rt△AED≌Rt△CFD.
∴∠ADE=∠CDF.
(2)15
D
G
E
=
7.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,
得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时,点A与点B′之间的距离为(
A.6
B.8
C.10
)C
D.12
8.如图所示,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若
(1)如图(1)所示,若∠ADQ=∠FDQ,∠FQD=90°.求证:AQ=BQ;
证明:(1)如图①所示,分别延长FQ,DA交于点L,∵∠ADQ=∠FDQ,DQ=DQ,∠FQD=∠LQD=90°,
∴△FQD≌△LQD.∴FQ=LQ.
∵菱形ABCD,∴LD∥BF.
∴∠ALQ=∠BFQ,∠LAQ=∠FBQ.
B
∠DAC=33°,则∠OBC的度数为(
)
A.33°
B.57°
C.59°
D.66°
9.如图所示,在菱形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,且 CE=CD,连接 DE.若 AB=5,AC=8,则
的值为( B )
A.Fra bibliotekB.
C.
D.
10.(2021 烟台)如图所示,在直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 A,B,C 在坐标轴上,若点 B 的坐标为
∵∠BAD=120°,∴∠BAP=∠DAP=60°.
∴∠ABP=30°.∴PA= AB.∵AQ=BQ= AB,∴△APQ 是等边三角形.
∴PQ=AQ= AB.∴PA=PQ.∴△APQ 是等边三角形.
∴∠APQ=∠PQA=60°.∵∠MPN=60°,∴∠APQ=∠MPN=60°.
∴∠QPM=∠APN.∵∠PQM=∠PAN=60°,
4.如图所示,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则∠BAE的度数为 115°
.
5.如图所示,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F.求证:AE=CF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BA=BC,∠A=∠C.
∵BE⊥AD,BF⊥CD,
∴∠BEA=∠BFC=90°.