高考物理大一轮复习机械能配套教案

五 机械能
第1节 功 功率
一、功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移． 2．公式
W ＝Fl cos α，适用于恒力做功，其中α为F 、l 方向间夹角，l 为物体对地的位移．
3．功的正负判断
夹角
功的正负
α<90° 力对物体做正功
α>90° 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功 α＝90° 力对物体不做功
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值． 2．物理意义：描述做功的快慢． 3．公式
(1)P ＝W t
，P 为时间t 内的平均功率． (2)P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角) ①v 为平均速度，则P 为平均功率． ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率． 4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
[自我诊断]
1．判断正误
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．(×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．(√)
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功．(×)
(4)力始终垂直物体的运动方向，则该力对物体不做功．(√)
(5)摩擦力对物体一定做负功．(×)
(6)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比．(√)
(7)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力．(√)
2．(多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s，如图所示，物体m相对斜面静止．则下列说法正确的是( )
A．重力对物体m做正功
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．支持力对物体m做正功
解析：选BCD.物体的受力及位移如图所示，支持力F N与位移x的夹角α<90°，故支持力做正功，D正确；重力垂直位移，故重力不做功，A错误；摩擦力F f与x夹角β>90°，故摩擦力做负功，C正确；合力为零，合力不做功，B正确．
3．如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F的作用下，向右移动相等的位移x，关于F对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正确的是( )
A．W1>W2>W3B．W1＝W2>W3
C．W1＝W2＝W3D．W1<W2<W3
解析：选C.由功的公式可得，这三种情况下做的功分别为W1＝Fx cos α、W2＝Fx cos α、W3＝－Fx cos α，又因为功的正、负不表示大小，所以C正确．
4．在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果
将水平拉力增加为4F ，使同一物体从静止开始移动x ，则平均功率为( )
A ．2P
B ．4P
C ．6P
D ．8P
解析：选D.设第一次运动时间为t ，则其平均功率表达式为P ＝Fx t
；第二次加速度为第
一次的4倍，由x ＝12at 2 可知时间为t 2，其平均功率为4Fx t 2
＝8Fx
t
＝8P ，D 正确．
考点一 功的正负判断和计算
考向1：功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F 与v
的方向夹角来判断．当0≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功．
(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
1．(多选)如图所示，重物P 放在一长木板OA 上，将长木板绕O 端转过一个小角度的过程中，重物P 相对于木板始终保持静止．关于木板对重物P 的摩擦力和支持力做功的情况是( )
A ．摩擦力对重物不做功
B ．摩擦力对重物做负功
C ．支持力对重物不做功
D ．支持力对重物做正功
解析：选AD.由做功的条件可知：只要有力，并且物体在力的方向上通过位移，则力对物体做功．由受力分析知，支持力F N 做正功，摩擦力F f 不做功，选项A 、D 正确．
2. (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P 匀速带至高处，在此过程中，下列说法中正确的是( )
A ．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合力对物体做正功
解析：选AC.物体P匀速向上运动过程中，受静摩擦力作用，方向沿皮带向上，对物体做正功，支持力垂直于皮带，做功为零，物体所受的合力为零，做功也为零，故A、C正确，B、D错误．
考向2：恒力做功的计算
(1)单个力做的功：直接用W＝Fl cos α计算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功．
3．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L
解析：选AD.由做功的定义可知选项A正确；对人进行受力分析，人受重力以及车对人的力，合力的大小为ma，方向水平向左，故车对人的作用力大小应为ma2＋mg2，选项C错误；上述过程重力不做功，合力对人做的功为maL，所以车对人做的功为maL，由相互作用力及人、车的位移相同可确定，人对车做的功为－maL，选项B错误；对人由牛顿第二定律知，在水平方向上有F f－F＝ma，摩擦力做的功为(F＋ma)L，选项D正确．4．(2017·湖北武汉模拟)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A．W1＝W2＝W3B．W1<W2<W3
C ．W 1<W 3<W 2
D ．W 1＝W 2<W 3
解析：选B.力F 做的功等于每段恒力F 与该段滑块运动的位移数值的乘积，滑块的位移即v ­t 图象中图象与坐标轴围成的面积，第1 s 内，位移大小为一个小三角形面积S ；第2 s 内，位移大小也为一个小三角形面积S ；第3 s 内，位移大小为两个小三角形面积2S ，故W 1＝S ，W 2＝3S ，W 3＝4S ，所以W 1<W 2<W 3，B 正确．
考点二 变力功的计算
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
[典例1] 如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB ，槽道由半径分别为R
2和R
的两个半圆构成，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿滑槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A ．0
B ．FR C.3
2
πFR D ．2πFR
解析 虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位
移内可以看成恒力，小球的路程为πR ＋πR 2，则拉力做的功为3
2
πFR ，故C 正确．
答案 C
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W ＝Fl cos α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．
[典例2] 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，图中AB ＝BC ，则( )
A ．W 1＞W 2
B ．W 1＜W 2
C ．W 1＝W 2
D ．无法确定W 1和W 2的大小关系
解析 绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F 对绳子做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F ·Δl ，Δl 为绳拉滑块过程中力F 的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 正确．
答案 A
方法三 利用F ­x 图象求变力的功
在F ­x 图象中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
[典例3] 如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时F 做的总功为( )
A ．0
B ．1
2F m x 0 C.π
4
F m x 0 D.π4
x 2
解析 F 为变力，根据F ­x 图象包围的面积在数值上等于F 做的总功来计算．图线为半圆，由图线可知在数值上F m ＝12x 0，故W ＝12π·F 2
m ＝12π·F m ·12x 0＝π4
F m x 0.
答案 C
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F ＝
F 1＋F 2
2
的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、末态所受
到的力，然后用公式W ＝Fl cos α求此力所做的功．
[典例4] 把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k .问此钉子全部进入木板需要打击几次？
解析 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．
钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
F ＝
0＋kl 2＝kl
2
钉子克服阻力做的功为：
W F ＝Fl ＝12
kl 2
设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量： E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl 2
2E 0
答案 kl 2
2E 0
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功．使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法．
[典例5] 如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g .质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.1
4mgR B.13mgR C.1
2
mgR D.π4
mgR
解析 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，
所以有F N －mg ＝m v 2
R
，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，
根据动能定理可得mgR －W f ＝12mv 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功1
2
mgR ，C 正确．
答案 C
考点三 功率的计算
1．平均功率的计算 (1)利用P ＝W
t
.
(2)利用P ＝Fv cos α，其中v 为物体运动的平均速度． 2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P ＝Fv cos α，其中v 为t 时刻物体的瞬时速度． (2)利用公式P ＝Fv F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度． (3)利用公式P ＝F v v ，其中F v 为物体受的外力F 在速度v 方向上的分力． 3．计算功率的3个注意
(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F 与v 不同向，可用力F 乘以F 方向的分速度，或速度v 乘以速度方向的分力求解．
1．一个质量为m 的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上．现把其中一个水平方向的力从F 突然增大到3F ，并保持其他力不变，则从这时开始到t 秒末，该力的瞬时功率是( )
A.3F 2
t m
B ．4F 2
t m
C.6F 2
t
m
D.9F 2
t
m
解析：选C.物块受到的合力为2F ，根据牛顿第二定律有2F ＝ma ，在合力作用下，物块做初速度为零的匀加速直线运动，速度v ＝at ，该力大小为3F ，则该力的瞬时功率P ＝3Fv ，解以上各式得P ＝6F 2
t
m
，C 正确．
2．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104
kg ，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105
N ；弹射器有效作用长度为100 m ，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A ．弹射器的推力大小为1.1×106
N B ．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108
J C ．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107
W D ．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s 2
解析：选ABD.对舰载机应用运动学公式v 2
－0＝2ax ，代入数据得加速度a ＝32 m/s 2
，D
正确；设总推力为F ，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F －20%F ＝ma ，得F ＝1.2×106
N ，而发动机的推力为1.0×105
N ，则弹射器的推力为F 推＝(1.2×106
－1.0×105
)N ＝1.1×106
N ，A 正确；弹射器对舰载机所做的功为W ＝F 推·l ＝1.1×108
J ，B 正确；弹射过程所用的时间
为t ＝v a ＝8032 s ＝2.5 s ，平均功率P ＝W t ＝1.1×1082.5
W ＝4.4×107W ，C 错误．
3. 如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A 沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B 做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A ．重力的平均功率P A >P
B B ．重力的平均功率P A ＝P B
C ．重力的瞬时功率P A ＝P B
D ．重力的瞬时功率P A <P B
解析：选D.根据功的定义可知重力对两物体做功相同即W A ＝W B ，自由落体时满足h ＝
12
gt 2B ，
沿斜面下滑时满足h
sin θ＝12gt 2A sin θ，其中θ为斜面倾角，故t A >t B ，由P ＝W
t
知P A <P B
，A 、B 错；由匀变速直线运动公式可知落地时两物体的速度大小相同，方向不同，重力的
瞬时功率P A ＝mgv sin θ，P B ＝mgv ，显然P A <P B ，故C 错，D 对．
求解功率时应注意的“三个”问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率
考点四 机车启动问题
考向1：以恒定功率启动 (1)运动过程分析
(2)运动过程的速度­时间图象
1. 一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小F f 恒定不变．下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )
解析：选A.由P ­t 图象知：0～t 1内汽车以恒定功率P 1行驶，t 1～t 2内汽车以恒定功率
P 2行驶．设汽车所受牵引力为F ，则由P ＝Fv 得，当v 增加时，F 减小，由a ＝F －F f
m
知a 减
小，又因速度不可能突变，所以选项B 、C 、D 错误，A 正确．
2．(2017·山东济南模拟)(多选)汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为
P ，牵引力为F 0，t 1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继
续行驶，到t 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力F 随时间t 、速度v 随时间t 变化的图象是( )
解析：选AD.到t 1时刻功率立即减小一半，但速度减小有一个过程，不能直接变为原来的一半，所以牵引力立即变为原来的一半，根据公式P ＝Fv ，之后保持该功率继续行驶，速度减小，牵引力增大，根据a ＝
F f －F
m
，摩擦力恒定，所以加速度逐渐减小，即v ­t 图象的斜率减小，当加速度为零时，做匀速直线运动，故选项A 、D 正确．
考向2：以恒定加速度启动
(1)运动过程分析
(2)运动过程的速度－时间图象如图所示．
3．一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )
A ．汽车的速度与时间成正比
B ．汽车的位移与时间成正比
C ．汽车做变加速直线运动
D ．汽车发动机做的功与时间成正比
解析：选A.由F －F f ＝ma 可知，因汽车牵引力F 保持恒定，故汽车做匀加速直线运动，C 错误；由v ＝at 可知，A 正确；而x ＝12at 2，故B 错误；由W F ＝F ·x ＝F ·12at 2
可知，D 错
误．
4．(2017·浙江舟山模拟)质量为1.0×103
kg 的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N ，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104
W ，开始时以a ＝1 m/s 2
的加速度做匀加速运动(g ＝10 m/s 2
)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t 1； (2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m ，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？
解析：(1)由牛顿第二定律得
F －mg sin 30°－F f ＝ma
设匀加速过程的末速度为v ，则有P ＝Fv
v ＝at 1
解得t 1＝7 s
(2)当达到最大速度v m 时，a ＝0，则有
P ＝(mg sin 30°＋F f )v m
解得v m ＝8 m/s
(3)汽车匀加速运动的位移x 1＝12at 2
1
在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt 2－(mg sin 30°＋F f )x 2＝1
2mv 2m －12
mv 2
又有x ＝x 1＋x 2 解得t 2＝15 s
故汽车运动的总时间为t ＝t 1＋t 2＝22 s 答案：(1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
解决机车启动问题的4个注意
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．
(2)在机车功率P ＝Fv 中，F 是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P ＝F f v m .
(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W ＝Pt 计算，不能用W ＝Fl 计算(因为F 为变力)．
(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W ＝Fl 计算，不能用W ＝Pt 计算(因为功率P 是变化的)．
课时规范训练 [基础巩固题组]
1. 如图所示，木块B 上表面是水平的，当木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A ．A 所受的合外力对A 不做功
B ．B 对A 的弹力做正功
C ．B 对A 的摩擦力做正功
D ．A 对B 做正功
解析：选C.AB 一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为g sin θ.由于A 速度增大，由动能定理，A 所受的合外力对A 做功，B 对A 的摩擦力做正功，B 对A 的弹力做负
功，选项A 、B 错误C 、正确．A 对B 不做功，选项D 错误．
2. (多选)如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A ．重力做功为mgL
B ．绳的拉力做功为0
C ．空气阻力F 阻做功为－mgL
D ．空气阻力F 阻做功为－1
2
F 阻πL
解析：选ABD.小球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B 正确；空气阻力F 阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力
F 阻做功为－F 阻·12
πL ，C 错误，D 正确．
3．(多选) 如图所示，B 物体在拉力F 的作用下向左运动，在运动过程中，A 、B 之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A ．A 、
B 都克服摩擦力做功 B ．摩擦力对A 不做功
C ．摩擦力对B 做负功
D ．摩擦力对A 、B 都不做功
解析：选BC.对A 、B 受力分析如图所示，物体A 在F f2作用下没有位移，所以摩擦力对
A 不做功，故
B 正确；对物体B ，F f1与位移夹角为180°，做负功，故
C 正确，A 、
D 错误．
4. 如图所示，用与水平方向成θ角的力F ，拉着质量为m 的物体沿水平地面匀速前进位移s ，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F 做的功为( )
A ．mgs
B ．μmgs
C.
μmgs
cos θ＋μsin θ
D.
μmgs
1＋μtan θ
解析：选D.物体受力平衡，有F sin θ＋F N ＝mg ，F cos θ－μF N ＝0，在此过程中F
做的功W ＝Fs cos θ＝μ mgs
1＋μtan θ
，D 正确．
5．如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F 将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F 做的功为( )
A ．FL cos θ
B ．FL sin θ
C ．FL (1－cos θ)
D ．mgL (1－cos θ)
解析：选D.用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解，由动能定理得W F
－mgL (1－cos θ)＝0，解得W F ＝mgL (1－cos θ)，D 正确．
6. 如图所示，质量为m 的小球以初速度v 0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A ．mgv 0tan θ B.
mgv 0
tan θ
C.
mgv 0
sin θ
D ．mgv 0cos θ
解析：选B.小球落在斜面上时重力的瞬时功率为P ＝mgv y ，而v y tan θ＝v 0，所以P ＝
mgv 0
tan θ
，B 正确． 7. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为
h ，则小球从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是( )
A ．mgh －12
mv 2
B.12
mv 2
－mgh
C ．－mgh
D ．－(mgh ＋12
mv 2
)
解析：选A.小球从A 点运动到C 点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于
支持力与位移始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得W G ＋W F ＝0－12mv 2
，重力
做功为W G ＝－mgh ，则弹簧的弹力对小球做功为W F ＝mgh －12
mv 2
，所以正确选项为A.
[综合应用题组]
8．质量为m 的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P ，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v ，那么当汽车的车速为v
3时，
汽车的瞬时加速度的大小为( )
A.P mv
B.2P mv
C.
3P
mv
D.
4P
mv
解析：选B.当汽车匀速行驶时，有f ＝F ＝P v ，根据P ＝F ′v 3，得F ′＝3P
v ，由牛顿第二
定律得a ＝F ′－f m ＝3P
v －
P
v m ＝2P
mv
，故B 正确，A 、C 、D 错误．
9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A ．物体加速度大小为2 m/s 2
B ．F 的大小为21 N
C ．4 s 末F 的功率大小为42 W
D ．4 s 内F 做功的平均功率为42 W
解析：选C.由图乙可知，物体的加速度a ＝0.5 m/s 2
，由2F －mg ＝ma 可得：F ＝10.5 N ，A 、B 均错误；4 s 末力F 的作用点的速度大小为v F ＝2×2 m/s＝4 m/s ，故4 s 末拉力F 做功的功率为P ＝F ·v F ＝42 W ，C 正确；4 s 内物体上升的高度h ＝4 m ，力F 的作用点的位移
l ＝2h ＝8 m ，拉力F 所做的功W ＝F ·l ＝84 J,4 s 内拉力F 做功的平均功率P ＝W
t
＝21 W ，
D 错误．
10. 当前我国“高铁”事业发展迅猛．假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其v ­t 图象如图所示，已知在0～t 1时间内为过原点的倾斜直线，t 1时刻达到额定功率P ，此后保持功率P 不变，在t 3时刻达到最大速度v 3，以后匀速运动．下述判断正确的是( )
A ．从0至t 3时间内，列车一直匀加速直线运动
B ．t 2时刻的加速度大于t 1时刻的加速度
C ．在t 3时刻以后，机车的牵引力为零
D ．该列车所受的恒定阻力大小为P
v 3
解析：选D.0～t 1时间内，列车匀加速运动，t 1～t 3时间内，加速度变小，故A 、B 错；
t 3以后列车匀速运动，牵引力等于阻力，故C 错；匀速运动时f ＝F 牵＝P
v 3
，故D 正确．
11．有一种太阳能驱动的小车，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m 的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t 前进的距离为x ，且速度达到最大值v m .设这一过程中电动机的功率恒为P ，小车所受阻力恒为f ，那么这段时间内( )
A ．小车做匀加速运动
B ．小车受到的牵引力逐渐增大
C ．小车受到的合外力所做的功为Pt
D ．小车受到的牵引力做的功为fx ＋12
mv 2
m
解析：选D.小车在运动方向上受牵引力F 和阻力f ，因为v 增大，P 不变，由P ＝Fv ，F －f ＝ma ，得出F 逐渐减小，a 也逐渐减小，当v ＝v m 时，a ＝0，故A 、B 均错；合外力做的功W 外＝Pt －fx ，由动能定理得Pt －fx ＝12
mv 2
m ，故C 错误，D 正确．
12．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间图象和该拉力的功率与时间图象分别如图所示，下列说法正确的是( )
A ．0～6 s 内物体位移大小为36 m
B ．0～6 s 内拉力做的功为30 J
C ．合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等
D ．滑动摩擦力大小为5 N
解析：选C.由P ＝Fv ，对应v ­t 图象和P ­t 图象可得30＝F ·6,10＝f ·6，解得：F ＝5 N ，f ＝53 N ，D 错误；0～6 s 内物体的位移大小为(4＋6)×6×1
2 m ＝30 m ，A 错误；0～6 s
内拉力做功W ＝F ·x 1＋f ·x 2＝5×6×2×12 J ＋5
3×6×4 J＝70 J ，B 错误；由动能定理可知，
C 正确．
13．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m 的重物，当重物的速度为v 1时，起重机的功率达到最大值P ，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度
v 2匀速上升，物体上升的高度为h ，则整个过程中，下列说法正确的是( )
A ．钢绳的最大拉力为P
v 2
B ．钢绳的最大拉力为mg
C ．重物匀加速的末速度为P mg
D ．重物匀加速运动的加速度为
P
mv 1
－g 解析：选D.加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀速运动阶段钢绳的拉力为P v 2
，故A 错误；加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重力，故B 错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于
P
mg ，故C 错误；重物匀加速运动的末速度为v 1，此时的拉力为F ＝P
v 1
，由牛顿第二定律得：a ＝
F －mg
m
＝P
mv 1
－g ，故D 正确． 14．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )
A ．甲球用的时间比乙球长
B ．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C ．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D ．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
解析：选BD.设f ＝kR ，则由牛顿第二定律得F 合＝mg －f ＝ma ，而m ＝43
πR 3
·ρ，故a。