山东省日照实验高中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文、理)试题

2014—2015学年度第一学期期中考试
高二数学试题（文、理合卷）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(理科学生做) 给出命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a=b ，c=d ，则a+c=b+d ”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有
A. 0个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 1.（文科学生做）等差数列{}n a 中，32a =，则该数列的前5项的和为
A ．10
B ．16
C ．20
D ．32
2.在△ABC 中，BC =8，B =60°，C =75°，则AC 等于
A ．24
B ．34
C ．64
D ．
3
32
3. 在△ABC 中，BC =5，B =120°，AB=3，则△ABC 的周长等于
A. 7
B.
58 C.
49 D. 15
4. 已知：10b -<<，a <0，那么下列不等式成立的是
A ．2ab ab a >>
B ．a ab ab >>2
C ．2ab a ab >>
D ．a ab ab >>2
5. （理科学生做）设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的
A ．充分条件，但不是必要条件；
B ．必要条件，但不是充分条件；
C ．充分且必要条件；
D ．既不充分又不必要条件.
5.(文科学生做) 已知关于x 的不等式2
(1)0b x ax -+≤；的解集为[]1,0-，则a b +的值
为
A ．－2
B ．－l
C ．1
D ．3
6. 数列2，4，8，14，x ，32，…中的x 等于
(A)19 (B)20 (C)21 (D)22 7. (理科学生做)如果命题“()p q ⌝∨”为假命题，则
A ．,p q 均为真命题
B ．,p q 均为假命题
C ．,p q 中至少有一个是真命题
D ．,p q 中至多有一个是真命题 7.（文科学生做）三个正数a ，b ，c 成等比数列，若a+b+c=1，则b 的取值范围为
A.(0，
31 C.hslx3y3h 1
3
，1 8. 满足2,6,45==
=a C A
的△ABC 的个数为m ，则a m 的值为
A ．4
B ．2
C ．1
D ．不确定
9. 在等比数列{}n a 中，12a =，若数列{1}n a +也是等比数列,则{}n a 的前n 项和n S 等于
A ．22
1
-+n
B ．3n
C ．2n
D ．3n
－1
10. 若关于x 的不等式2
4
(1)5k x k +≤+的解集是M ，则对任意实数k ，总有 A ．2∈M ，0∉M B ．2∉M ，0∉M C ．2∈M ，0∈M D ．2∉M ，0∈M 11.已知平面区域D 由以A(1，3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m 等于
A. －2
B. －1
C. 1
D.4
12. 在f m n m n f m n N ()()*
，中，、、，∈，且对任何m n ，都有： （i ）f ()111，=； （ii ）(1)()3f m n f m n +=+，，； （iii ）f m f m ()()+=1121，，，给出以下三个结论：
（1）(1
5)13f =，；（2）f ()5116，=； （3）f ()5626，= 其中正确的个数为
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
2014—2015学年度第一学期期中考试
高二数学试题（文、理合卷）
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13.数列7，77，777，7777，…，它的通项公式为
14.在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分
别填上
和 。

15. 在数列{}n a 中，10a =，22a =，且*
21(1)()n n n a a n N +-=+-∈，则100s =
16.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。

随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使
得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1
k
(k ∈N *)。

已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的4
7
，请从这个实事中提炼
出一个不等式组是
三. 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17 (本小题满分12分)
在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC
ABC的面积S.
18 (本小题满分12分)
解不等式：2
1
1(0)x ax x a a
+<+≠
19 (本小题满分12分)
已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为2，且2，a n ，S n 成等差数列。

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）（理科学生做）若n
n
n n n a b c a b =
=,log 2，求数列{c n }的前n 项和T n . （Ⅲ）（文科学生做）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和T n .
20 (本小题满分12分)
通常用c b a 、、分别表示△ABC 的三个内角C B A ，，外接圆半径.
(1) 如图，在以O 为圆心、直径为8的⊙O 中，BC 和
BA 是⊙O 的弦，其中BC ＝4， 45=∠ABC ，求弦AB 的长；
(2) 在△ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224R b a <+；
21 (本小题满分12分)
经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为2710(0)3900
v
y v v v =
>++
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
22 (本小题满分14分)
已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=，（,)x y R ∈且1(1)2
f =. （1）若*
n N ∈时，求()f n 的表达式；
（2）(理科学生做)设*
(),()n a f n n N =∈，求证：121n a a a ++
<.
（3）设*(1)
()()
n nf n b n N f n +=∈，12n n s b b b =++
+，求
12
111n
s s s +++
2014—2015学年度第一学期期中考试
高二数学（文、理合卷）答案及评分标准
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 7[101]9
n
n a =
- 14 . 6，4
15. 2550 16 2441774441777k
k k ⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩
三. 解答题：本大题共6小题，共74分. 17解：设,,AB c BC a CA b ===,则5a c ==
由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=
（2分）
得2261525cos120b b =+-⨯⋅ 化简得2
5360b b +-= （4分）
49b b ∴==-或（舍去，因为b>0）
（6分）
A bc S ABC sin 21⋅=
∴∆ （8分） 120sin 352
1
⨯⨯⨯== （12分） 18解：由211(0)x ax x a a +<+≠整理得：2
1()10x a x a
-++<，
即1
()()0x a x a --<， （2分）
（1）当1a a >时，即210a a ->，即1a >或10a -<<时，1
x a a << （6分） （2）当1a a <时，即210a a -<，即01a <<或1a <-时，1
a x a
<< （10分） （3）1a a
=
时，即1a =±时，2
(1)0x -<，无解 （11分） 综上所述：当1a >或10a -<<时，解集为｛x ｜1
x a a
<<｝
当01a <<或1a <-时，解集为｛x ｜1a x a
<<｝，1a =±时，解集空集 （12分） 19．解（Ⅰ）由题意知22n n a s =+，0n a > 12a = （1分）
当n ≥2时，22n n s a =-，1122n n s a --=-，
两式相减得 122n n n a a a -=- 整理得：21
=-n n
a a （4分）
∴数列{n a }是以2为首项，2为公比的等比数列。

∴n n n n a a 222211
1=⨯=⋅=-- （6分）
（Ⅱ）（理科）由（Ⅰ）知n
n a 2=，∴b n =n ， n n n
c 2=
（7分） n n n
T 28342
21
++++= ， …………①
12163
82
41
21
++++=n n n
T ， …………②
①－②得
122116181412121
+-++++=n n n n
T ， （10分） ∴1221121
+--=n n n n
T ， （11分） ∴222n n n
T +=-， （12分）
（Ⅲ）（文科）由（Ⅰ）知n n a 2=，∴b n =n 2n
（7分）
23222322n n T n =+⋅+⋅++⋅， …………①
2
3412222 3.2(1)222n n n T n +=+⋅++-⋅+⋅， …………②
①－②得
22122322n
n n T n +-=++++-⋅， （10分）
∴11
222n n n T n ++-=--⋅， （11分）
∴1
(1)22n n T n +=-⋅+， （12分）
20.解 (1) △ABC 的外接圆半径为4，在△ABC 中，
41sin 282
BC A R ===，∴ 30A = （A ＝150°不合题意）（3∴sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+ sin cos cos sin )A B A B =+
=
1222⨯+
（5分） ∴
AB
＝2sin 84
R C =⨯= （6分） （2）证明：法1：由余弦定理得
222
cos 2a b c C ab
+-=，∵C 为钝角 ∴cos 0C < ，∴222a b c +< （9分） 又由正弦定理得2sin 2c R C R =<，∴22
4c R <，∴2224R b a <+ （12分） 法2：∵ R
b B R a A 2sin ,2sin ==
，由于C ∠是钝角，B A ∠∠、都是锐角，得 2222421cos ,421cos b R R B a R R A -=-=，（8分） cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+ 0444122222<⎪⎭⎫ ⎝⎛---=
b R a R ab R ， （10分） ∴ ()()22222244a b R a R b <--，
()
04162224>+-∴b a R R ，即2224R b a <+. （ 12分） 21解：由题意有
27107107109003900633v y v v v v
=
=≤=++++ （3分） 当且仅当900v v
=，即30v =时上式等号成立， 此时max 71011.363
y =≈（千辆/小时） （6分） （2）由条件得2710103900v v v >++，整理得2689000v v -+<， （8分） 即(50)(18)0v v --< ，∴1850v << （11分）
故当30v =千米/小时时车流量最大，且最大车流量为11.3千辆/小时
若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在1850v <<所表示的范围内. （12分）
22解：∵()f x 满足()()()f x y f x f y +=， 1(1)2f =
，∴(1)()(1)f n f n f += 即(1)1(1)()2
f n f f n +== （理2分，文3分） ∴()f n 为首项为
12，公比为12
的等比数列， ∴1111()()()222
n n f n -== （理4分，文6分） （2）（理科）∵1()2n f n =，∴12
n n a =， 1211(1)12211212n n n a a a -+++==-- （6分）1< （8分） （3）∵(1)1()2f n f n +=，∴(1)()2
n nf n n b f n +==，（理9分，文7分） ∴1211422(1)n n n s b b b n n n +=++
+=⋅=+，（理10分，文9分） ∴14114()(1)1n s n n n n ==-++ （理12分，文11分） ∴
121111111144(1)22311n n s s s n n n +++=-+-++-=++ （14分）。