高等数学B第七章

讲授内容§7.1空间直角坐标系§7.2向量代数
教学目的与要求：
1、理解空间直角坐标系、向量、向量的模、方向角、方向余弦及向量的投
影、数量积、向量积的概念。

2、掌握向量的线性运算及数量积、向量积的运算，掌握两向量平行、垂直
的充要条件。

3、熟练掌握两点间的距离公式，及数量积、向量积的坐标表达式，会求向
量的模、方向角、方向余弦。

教学重难点：
重点—向量的线性运算，数量积、向量积的运算，向量的方向余弦。

难点—向量在轴上的投影。

教学方法：讲授法
教学建议：
向量的方向余弦在以后经常用到，应该让学生熟练掌握。

配合图形讲解。

学时：4学时
教学过程
一、空间直角坐标系
坐标轴: x轴(横轴),y轴(纵轴), z轴(竖轴)以O为原点,两两垂直.三轴的单位向量依次为i, j, k.构成空间直角坐标系Oxyz或[O,i,j,k],正向符
合右手规则.
坐标面: 任意两条坐标轴确定的平面. xOy平面; xOz平面; yOz平面.
卦限: 坐标平面将空间划分的每一个部分称为一个卦限.
二、空间两点间的距离
设M1（x 1,y 1,z 1）、M2（x 2,y 2,z 2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d ，我们过M 1，M 2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M 1，M 2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有
图7-4
｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2
＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.
由于
｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜, ｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜, ｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,
所以d ＝｜M 1M 2｜＝
2
12212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距
离公式.
特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为
d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。

三、向量概念
向量:
既有大小又有方向的量.
向量在数学上的表示:
有向线段AB 表示以A 为起点，B 为终点的向量. 其中
| AB | 表示向量的大小; 有向线段的方向表示向量方向
或者表示为: a 、b 、c 或者 a
、b 、c 等.
自由向量: 与起点无关的向量.
向量
a =b
⇔
大小相等、方向相同.
向量的模: 向量的大小. 单位向量:
模等于1的向量.
逆向量： 与向量a 模相等而方向相反的向量称为a 的逆向量，记为-a 零向量:
模等于0的向量,记作0,或者0,起点与终点重合,方向任意.
向量a ∥b : 两个非零向量的方向相同或相反.零向量与任意向量平行. 两向量共线: 两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上; k 个向量共面: k 个向量起点放在同一点时,起点和终点在同一平面上.
四、向量的线性运算
1.向量的加法
设有向量a 与b ,任取一点A ,作AB =a ,再以B 为终点,作BC =b ,连接AC ,则AC =c ,
称为a 与b 的和,记作c =a +b .
三角形法则
平行四边形法则
加法的运算规律
i.交换律a+b=b+a
ii.结合律(a+b)+c= a+(b+c)
(结合律示意图) (s=a1+a2+a3+a4+a5示意图) 2.向量的减法
a的负向量: 与a的模相同,方向相反的向量.记作–a.
a－b ∆a+(- b)
任给向量AB及点O,有:
AB=AO+OB=OB-OA.
三角形原理:
| a+b |≤| a |+| b |; | a – b |≤| a |+| b |;
3.向量与数的乘法
向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量,
其模为: |λa|=λ|a|,
其方向为: 当λ>0时与a相同,
当λ<0时与a相反.
运算规律:
a)结合律: λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a.
b)分配律: (λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+μb.
向量的线性运算: 向量相加及数乘向量
4.两向量平行的充分必要条件
定理:设向量a≠0,则向量b∥a ⇔∃| λ∈R: 使b=λa.
证明:充分性显然
(必要性) 设b∥a.
取|λ|=|b|/|a|,且规定:
b与a同向时,λ>0; b与a反向时,λ<0.
则有: b=λa.
唯一性设b=λa ,b=μa ,则(λ－μ)a=0 ⇒|λ－μ||a|=0
因|a|≠0, ⇒λ=μ
5.向量a的单位向量e a:
e a=a/|a|.
6.数轴Ox上的点P,向量OP与实数x的关系:
数轴Ox: 原点O ,单位向量i.
点P↔向量OP=x i↔实数x.
点P的坐标为x⇔OP =x i.
例1.在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA, MB, MC, MD,这里M是平行四边形对角线的交点.
解:MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2; MC=-MA=(a+b)/2;
MB=(1/2)DB=(a-b)/2; MD=-MB=(b-a)/2
向量的坐标分解式:
给定向量r,对应点M,使OM=r.
则r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR
设OP=x i; OQ=y j; OR=z k.
则r =OM=x i+y j+z k. 称为r的坐标分解式.
空间点M,向量r = OM与有序数组(x,y,z)的关系:
M ↔ r =OM=x i+y j+z k ↔ (x,y,z)
称(x,y,z)为点M的坐标.记为M(x,y,z).
向经:向量OM称为点M关于原点O的向经.
点与此点的向经有相同的坐标. (x,y,z)既表示点M,又表示向量OM.
坐标轴及坐标面上的点的坐标特征:
x轴: (x,0,0); y轴:(0,y,0); z轴: (0,0,z).
xoy面: (x,y,0); yoz面: (0,y,z); xoz面: (x,0,z).
原点: (0,0,0).
五、利用坐标作向量的运算
设a =(a x,a y,a z),b=(b x,b y,b z) a =a x i+a y j+a z k , b = b x i+b y j+b z k, 则a+b =( a x+ b x)i+(a y+b y)j+(a z+b z)k
a-b =( a x-b x)i+(a y-b y)j+(a z-b z)k
λa =(λa x)i+(λa y)j+(λa z)k
向量平行充分必要条件:
设: a=(a x,a y,a z)≠0, b=(b x,b y,b z)
b ∥a ⇔ b=λa ⇔ (b x ,b y ,b z )= (a x ,a y ,a z )⇔
z
z y
y x
x a b a b a b =
=
例2.
已知点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2)和实数λ≠-1,在直线AB 上求点M,使AM =λMB .
解: AM=OM-OA , M B=OB-OM , OM-OA=λ(OB-OM )
⇒ OM=λ
+11(OA+λOB )=λ
+11[(x 1,y 1,z 1)+λ(x 2,y 2,z 2)]
⇒ OM=(
λ
λ++121x x ,
λ
λ++121y y ,
λ
λ++121z z )
⇒ 此为点M 的坐标.
此为定比分点公式.
当λ=1时,为中点公式.
六、 向量的模、方向角、投影
1.向量的模
设向量r =(x ,y ,z ),作OM =r ,则
r =OM =OP+OQ+OR
| r |=|OM |=2||2||2||OR OQ OP ++
OP =x i ,
OQ =y j ,
OR =z k
|OP |=|x|, |OQ |=|y |, |OR |=|z |
例3.
求证:以M 1(4,3,1)、M 2(7,1,2)、M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解: |M 1M 2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;
|M 1M 3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6; |M 2M 3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6 例4.
在z 轴上求与两点A (-4,1,7)、B (3,5,-2)等距离的点.
解: 设所求点的坐标为
(0,0,z ), 则有:
|MA |2=|MB |2
⇒
(0+4)2+(0-1)2+(z -7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z )2, ⇒
z=19=4/9
所求点为:(0,0,14/9) 例5.
求点A (a ,b ,c )关于(1)各坐标轴;(2)各坐标面;(3)坐标原点的对称点的坐标.
解: (1) 关于x 轴:
(a ,-b ,-c ); 关于y 轴: (-a ,b ,-c ); 关于z 轴:
(-a ,-b ,c ); (2) 关于xoy 面:
(a ,b ,-c ); 关于xoz 面: (a ,-b ,c ); 关于yoz 面: (-a ,b ,c ); (3) 关于坐标原点: (-a ,-b ,-c )
例6.
已知两点A (4,0,5)和点B (7,1,3),求与AB 方向相同的单位向量.
解: AB=OB-OA =(7,1,3)-(4,0,5)= (3,1,-2)
⇒ |AB |=222)2(13-++=14
⇒ e AB =|
|AB AB =14
1(3,1,-2)
2.方向角与方向余弦
两向量的夹角:
设有非零向量a ,b ,任取一点O,作OA =a ,OB =b ,
称不超过π的角φ=∠AOB 为向量a ,b 的夹角.记为(a ^b )或(b ^a
).
向量的方向角:
非零向量r=OM 与三条坐标轴的夹角α, β ,γ (0≤α,β,γ≤π)称为向量r 的方向角.
向量的方向余弦
设r =(x ,y , z )由图可知,OP =x i , ⇒cos α=|
|OM x =|
|r x ;
同理:cos β=
|
|r y ; cos γ=
|
|r z
⇒ (cos α,cos β,cos γ)=(
||r x
,
||r y
,
|
|r z
)=
|
|1r ( x ,y , z )=
|
|r r =e r .
cos α,cos β,cos γ叫做r 的方向余弦.
|r |=
222z y x ++
⇒ cos α=
2
22z
y x x ++;cos β=2
2
2
z y x y ++;cos γ=
2
2
2
z y x z ++
性质: 例7.
已知两点M 1(2,2,2)和M 2(1,3,0),求向量M 1M 2的模、
方向余弦和方向角.
解: M 1M 2=(1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-2).
|M 1M 2|=2
2
2
)2(1)1(-++-=2 cos α=-1/2, cos β=1/2, c os γ=-2/2 α=2π/3,
β=π/3,
γ=3π/4
例8.
设点A 位于第Ⅰ卦限,向经OA 与x 轴,y 轴的夹角依次为π/3和π/4,且|OA |=6,求点A 的坐标.
解: α=π/3; β=π/4
由cos 2
α+cos 2
β+cos 2
γ=1 ⇒ cos 2
γ=1/4 又点A 在第Ⅰ卦限,
⇒ cos γ=1/2.
OA =|OA |e OA =6 (2
1,
21
2
1
)=(3,32,3) 此为点A 的坐标.
3.向量在轴上的投影
设点O 及单位向量e 确定轴u (相当于坐标轴).
给定向量r ,作r=OM ,过点M 作与轴u 垂直的平面交轴u 于点M ′, (点M ′称为点M 在轴u 上的投影)
向量OM ′称为向量r 在轴u 上的投影,记为prj u r (或(r )u .
由此向量a 在坐标系Oxyz 中的坐标a x ,a y ,a z 为a 在三条坐标轴上的投影.即有:
⇒ a x =Prj x a , a y = Prj y a , a z = Prj z a , 或 a x =(a )x , a y =(a )y ,
a z =(a )z
向量投影的性质:
向量的投影具有于向量坐标相同的性质: 性质1： (a )u =|a |cos φ [或 Prj u a =|a |cos φ ]
其中φ为a 与轴u 的夹角.
性质2:
(a+b )u =(a )u +(b )u [或 Prj u (a +b )=Prj u a +Prj u b ] Prj u (a 1+a 2+…+a n )=Prj u a 1+Prj u a 2+…+ Prj u a n .
性质3:
(λa )u =λ(a )u
[或 Prj u (λa )=λPrj u a ]
例9.
设向量a =(4,－3,2),又轴u 的正向与三条坐标轴的正向构成相等锐角,试求(1)向量a 在u 轴上的投影;(2)向量a 与u 轴的夹角θ.
解:设e u 的方向余弦为cos α,cos β,cos γ.则由题义有:0<α=β=γ<π/2. 由cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1,得: cos α=cos β=cos γ=3/3.
e u =3/3i +3/3j +3/3k . a =4i -3j +2k .
Prj u a = Prj u (4i )+ Prj u (-3j )+ Prj u (2k )=4Prj u i -3Prj u j + 2Prj u k
=4•3/3-3•3/3+2•3/3=3. 由于Prj u a =|a |cos θ=29cos θ=3,
⇒ θ=arccos 3/29.
例10. 设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA ,且|OA |=a ,求OA 在OM 上的
投影Prj OM OA . 解: 设 φ=∠MOA ,
则 φ=|
|||OM OA =3
1
a
⇒Prj OM OA=|OA|•cosφ=
3
七、两向量的数量积
1.向量a,b的数量积: a•b ∆|a||b|cosθ. [θ=(a^b)]
当a≠0时, |b|cosθ=|b|cos(a^b)= |b|Prj a b
⇒a•b=|a|Prj a b(a≠0),
同理a•b=|b|Prj b a(b≠0)
性质:
(1)a•a=|a|2
(2)a•b=0 ⇔a⊥b
2.运算规律
(1)交换律: a•b = b•a
(2)分配律: (a+b)•c= a•c+b•c
(3)结合律: (λa)•b=λ(a•b)=a•(λb)
(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b) 证明:(1) a•b = |a||b|cosθ;b•a = |a||b|cosθ ;
⇒a•b = b•a
(2) 当c=0时,显然成立.
当c≠0时,
(a+b)•c=|c|Prj c(a+b)=|c|(Prj c a+Prj c b)=|c|Prj c a+|c|Prj c b=a•c+b•c
(3) 当b=0时,结论成立.
当b≠0时,
(λa )•b =|b |Prj b (λa )= |b |•λPrj b a =λ|b |Prj b a =λ(a •b )=a •(λb ).
(λa )•(μb )=λ[a •(μb )]= λ[μ(a •b )]= λμ(a •b )
例11. 试用向量证明三角形的余弦定理. 证明:设在△ABC 中,
∠B C A =θ,
|BC |=a , |CA |=b , |AB |=c
记 CB =a , CA =b , AB =c . ⇒
c =a -b
⇒ c 2
=|c |2
=c •c =(a -b )•(a -b )=a •a +b •b -2a •b ⇒ c 2=|a |2+|b |2-2|a ||b |cos θ=a 2+b 2-2ab cos θ
3. 数量积的坐标表达式
设 a =a x i +a y j +a z k ,
b = b x i +b y j +b z k
则
a •
b =(a x i +a y j +a z k )•( b x i +b y j +b z k )= a x b x + a y b y +a z b z 从而 cos θ=b
a b a ∙=
2z
2y 2x 2z
2y
2x
z z y y x x b
b b a
a a
b a b a b a ++++++
例12. 已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB . 解:作MA ,MB , ∠AMB 为MA 与MB 的夹角 ⇒ MA =(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0); MB =(2,1,2)-(1,1,1)=(1,0,1)
MA •MB =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1; |MA |=2;
|MB |=2
cos ∠AMB =2
1 ⇒ ∠AMB=π/3.
例13. 已知a ,b ,c ,两两垂直,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求s =a +b +c 的长度与它和a ,b ,c 的
夹角.
解: |s |2
=s • s =(a +b +c )•(a +b +c )
=a •a +b •b +c •c +2a •b +2b •c +2a •c 由于:a •a =|a |2=1,
b •b =|b |2=4,
c •c =|c |2=9;
a •
b =b •
c =a •c =0 ⇒ |s |2=14,
⇒ |s |=14 cos(s •a )=a
s a s ∙=
14
a
c)b (a ∙++=14
a a ∙=1/14.
⇒ (s ^a )=arcos(1/14); 同理:(s ^b )= (s ^c ) =accos(1/14)
例14. 设a ,b ,c 为单位向量,且满足a +b +c =0,求a •b +b •c +c •a . 解: (a +b +c )• a =a 2+b •a +c •a =1+a •b +c •a ;
(a +b +c )• b =a •b +b 2+c •b =1+a •b +b •c ; (a +b +c )• c =a •c +b •c +c 2=1+c •a +b •c ; 三式相加:
⇒ 3+2[a •b +b •c +c •a ]= (a +b +c )• (a +b +c )=0 ⇒ a •b +b •c +c •a =-3/2.
例15. 利用向量证明不等式:
2
32
22
1a a a ++•2
32
22
1b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3|
其中a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3为任意常数,并指出等号成立的条件. 证明:设
a =( a 1,a 2,a 3),
b =( b 1,b 2,b 3) cos(a ^b )= b
a b a ∙=
23
222123
22
21
3
32211b
b b a
a a
b a b a b a ++++++
⇒
23222
1a a a ++•2
32
22
1b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3|
等号“=”成立 ⇔ a //b
例16. 有一个△ABC 和一个圆,三角形边长BC =a ,CA =b ,AB =c ,圆的中心为A ,半
径为r .引圆的直径PQ ,试求当BP •CQ 取得最大、最小时PQ 的方向,并用a ,b ,c ,r 表示BP •CQ 的最大值、最小值.
解:
AQ =-AP , |AP |=|AQ |=r ,
AB•AC=|AB||AC|cos A=bc[(b2+c2-a2)/2bc]=( b2+c2-a2)/2
⇒BP•CQ =(AP－AB)•(AQ－AC)
=(AP－AB)•(－AP－AC)
=－|AP|2+(AB－AC)•AP+AB•AC
=( b2+c2-a2)/2－r2+CB•AP
=( b2+c2-a2)/2－r2+BC•PA
⇒当BC•PA最大(小)时,BP•CQ最大(小).
⇒当BC•PA同向即PQ与BC同向时,
BC•PA最大,其最大值是ar.
⇒当BC•PA反向即PQ与BC反向时,
BC•PA最小,其最小值是-ar.
⇒PQ与BC同向时, max{ BP•CQ}=( b2+c2-a2)/2-r2+ar;
PQ与BC反向时, min{ BP•CQ}=( b2+c2-a2)/2-r2-ar
八、两向量的向量积
1. 定义: a×b = c, c称为a与b的向量积.其中,
iii.|c|=|a||b|sinθ, θ=(a^b)
iv.c的方向垂直于a,b所决定的平面,其指向按右手从a转向b确
定.
性质:由定义可得:
(1)a×a=0
(2)a∥b⇔a×b=0
几何意义: | a ×b |为以a ,b 为边的平行四边形的面积. 2.运算律:
v. a ×b = - b ×a vi. 分配律: (a ＋b )×c =a ×c +b ×c
c ×(a ＋b )=c ×a +c ×b vii.
结合律:
(λa )×b =a ×(λb )=λ(a ×b )
3. 向量积的坐标表达式
设 a = a x i +a y j +a z k , b = b x i +b y j +b z k 则
a ×
b =(a x i +a y j +a z k )×( b x i +b y j +b z k )
=(a y b z - a z b y )i +(a z b x -a x b z )j + (a x b y -a y b x )k
a ×
b =
z
y
z y b b a a i -
z
x
z x b b a a j +
y
x
y x b b a a k =z
y
x
z y x
b b b a a a k j i
例17. 设a =(2,1,-1),b =(1,-1,2),计算 a ×b .
解: a ×b =2
1
1
112
--k j i
=2
1
11--i -
2
1
12-j +
1
1
12-k =i -5j -3k.
例18. 已知△ABC 的顶点分别是A (1,2,3)、B (3,4,5)和C (2,4,7),求△ABC 的面积.
解: S ∆ABC =2
1|AB |•|AC |•sin ∠A=2
1|AB ⨯AC |
AB =(3,4,5)-(1,2,3)=(2,2,2,), AC =(2,4,7)-(1,2,3)=(1,2,4).
S ΔABC =
2
1|AB ⨯AC |=4
2
1
222
k j i
=4
2
22i -
4
1
22j +
4
1
21k =4i -6j +2k.
例19. 利用向量积证明三角形的正弦定理.
证明：如图S △abc =1/2|a ×b |=1/2|b ×c |=1/2|c ×a |
⇒ |a ||b |sin C =|b ||c |sin A =|c ||a |sin B
例20. 已知M 1(1,-1,2), M 2(3,3,1), M 3(3,1,3),求与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的单位
向量.
解: M 1M 2=(3,3,1)-(1,-1,2)=(2,4,-1),
M 2M 3=(3,1,3)-(3,3,1)=(0,-2,2);
与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的一个向量为:
a =M 1M 2⨯M 2M 3=2
2
142
--k j i
=2
2
14--i -
2
12-j +
2
42-k
=6i -4j -4k .
|a|=222)4()4(6-+-+=217
⇒ a =±17
1(3i -2j -2k )
作业：
P 42 7，9，13（1）（3），P 43 28，31
教学后记：
复习思考题：
向量的数量积和向量积在运算及运算规律方面的区别
讲授内容§7.3 平面与直线
教学目的与要求：
1、掌握平面的点法式、一般式、截距式方程,会根据相应条件求平面的方程。

2、掌握两平面夹角的概念与求法，掌握两平面平行、垂直的充分必要条件。

3、掌握点到平面的距离公式，会求点到平面的距离。

4、掌握空间直线的一般方程、对称式方程和参数方程
5、理解两直线夹角的概念，会求两直线的夹角。

6、掌握两直线平行垂直的充分必要条件。

7、理解直线与平面夹角的概念，掌握直线与平面垂直平行的充分必要条件
教学重难点：
1、根据条件求平面的方程。

2、会根据两平面平行，垂直的充分必要条件判断平面的平行、垂直。

3、两直线平行与垂直的充要条件，直线与平面平行与垂直的充分必要条件。

教学方法：讲授法
教学建议：
平面束方程的解题方法，在求平面、直线方程中有时很有意义，可多举例说明。

学时：2学时
教学过程
一、平面的点法式方程
1.法线向量: 与平面垂直的非零向量.
2.平面的点法式方程
设M0(x0,y0,z0)是平面П上的已知点,n=(A,B,C)是平面П的法线向量,
M (x ,y ,z )是平面П上的任一点.则有n •M 0 M =0. 由于 n =(A ,B ,C ) ; M 0M =( x －x 0,y －y 0,z －z 0)
即有此为 平面的点法式方程.
例1.
求过点(2,-3,0)且以n =(1,-2,3)为法线向量的平面方程.
解:代入方程得:
(x -2)-2(y +3)+3(z -0)=0 ⇒
x -2y +3z -8=0
例2.
求过三点M 1(2,-1,4)、M 2(-1,3,-2)、M 3(0,2,3)的平面方程.
解:由于n ∥M 1M 2×M 1M 3=1
3
2
643
----k
j i
=14i +9j -k 则所求平面方程为 ⇒ 14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0 ⇒
14x +9y -z -15=0
二、平面的一般方程
3. 平面的一般方程为
其中n =(A ,B ,C )为法向量
4. 各种特殊情形
a)
D =0,平面Ax +By +Cz =0经过原点;
b)A=0,平面By+Cz+D=0平行于x轴;
c)B=0,平面Ax+Cz+D=0平行于y轴;
d)C=0,平面Ax+By+D=0平行于z轴;
e)A=B=0,平面Cz+D=0平行于xoy平面;
f)A=C=0,平面By+D=0平行于xoz平面;
g)B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.
例3.求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.
解:平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0, ⇒A=0;
平面经过x轴,则平面经过原点, ⇒D=0;
故可设平面方程为: By+Cz=0,
又平面经过点(4,-3,-1), ⇒-3B-C=0,或C=-3B.
代入有y-3z=0.
例4.设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点,求此平面的方程.(其中a≠0,b≠0,c≠0)
解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0
代入P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c) 得
A=-D/a, B=-D/b, C=-D/c,
代入方程并消去D得平面方程:
此方程称为平面的截距式方程,
a,b,c依次称为平面在x,y,z轴上的截距.
三、两平面的夹角
5. 两平面的夹角:
两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).
设平面П1和П2的法线向量依次为:
n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)
则平面П1和П2的夹角θ为(n 1^n 2)和π-(n 1^n 2)中的锐角,
⇒ cos θ=|cos(n 1^n 2)|,
即有:
6. 两平面垂直、平行的充分必要条件
例5. 求两平面x -y +2z -6=0和2x +y +z -5=0的夹角.
解:
n 1=(1,-1,2) n 2=(2,1,1)
⇒ cos θ=
2
2
2
2
22
1
1
2
2
)1(1
|
121)1(21|++∙+-+⨯+⨯-+⨯=
2
1
⇒ θ=π/3
例6. 一平面通过两点M 1(1,1,1)和M 2(0,1,-1)且垂直于平面x +y +z =0,求它的方程.
解:设所求平面的一个法向量为 n ={A ,B ,C }. 由n ⊥M 1M 2=(-1,0,-2) ⇒ -A -2C =0 由n ⊥(1,1,1)
⇒ A +B +C =0 ⇒ A =-2C ,B =C ,
代入点法式方程:
A (x -1)+
B (y -1)+
C (z -1)=0
消去C 得所求方程为:
2x -y -z =0
7. 点到平面的距离
例7. 设P 0(x 0,y 0,z 0)是平面Ax +By +Cz +D =0外一点,求P 0到这平面的距离.
解:在平面上任取一点P 1(x 1,y 1,z 1),并作一法向量n ={A ,B ,C }. 则所求距离:d =│Prj n P 1P 0│. 又设e n 为与n 方向一致的单位向量, 则有:
Prj n P 1P 0= P 1P 0•e n
而
e n =(2
2
2
C
B A A ++,
2
2
2
C
B A B ++,
2
2
2
C
B A
C ++)
P 1P 0=(x 0－x 1,y 0－y 1,z 0－z 1)
由于: Ax 1+By 1+Cz 1+D =0, 所以:
Prj n P 1P 0=2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax +++++
即: 2
2
2
00C
B A D
Cz
By Ax d +++++=
例8.
求点(2,1,1)到平面x +y －z +1=0的距离
解: d =2
2
2
)
1(11|
1121121|-+++⨯-⨯+⨯=3
四、空间直线的方程
1、空间直线的一般方程
定义:方程组⎩⎨⎧=+++=+++0
222111D z C y B x A D z C y B x A 叫做空间直线的一般方程或面交式方
程
.
2、空间直线的对称式方程
1）．方向向量:与已知直线平行的非零向量. 2）．直线的对称式方程或点向式方程:
设
M 0(x 0,y 0,z 0)为直线L 上的已知点, M (x ,y ,z )为直线L 上的任一点. s =(m ,n ,p )为L 的方向向量.
由于 M 0M ∥s ,
即有:
此方程称为直线的对称式方程或点向式方程
直线L 的任一方向向量s 的坐标m ,n ,p 称为这直线的一组方向数,而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.
注:当m ,n ,p 中有一个为零时,如m =0,而n ,p ≠0时,则方程组为
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-p z z n
y y x x 0000 当m ,n ,p 中有两个为零时,如m =n =0,而p ≠0时,则方程组为
⎩⎨
⎧=-=-0
00y y x x 3、直线的参数方程
由t p
z z n
y y m
x x =-=-=-0
得:
称此方程组为直线的参数方程.
例9对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨
⎧=++-=+++0
43201z y x z y x
解:两平面的法向量分别为n 1={1,1,1}和n 2={2,1,-3},则
s = n 1×n 2=3
1
2
111
-k j i
令x =1,代入方程,求得直线上得一点: (1,0,-2) 对称式方程为:
3
21
4
1-+=-=-z y x
参数式方程为:
⎪⎩
⎪
⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241 五、两直线的夹角
1、线的夹角:两直线方向向量的夹角.(通常为锐角)
2、设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1=(m 1,n 1,p 1),s 2=(m 2,n 2,p 2), 则其夹角为φ=(s 1^s 2)中的锐角.且有
4、 两直线相互垂直和平行的充分必要条件
例10. 求直线L 1: 131
4
1
x y z -+==-和L 2: 22
2
1
x y z +==--的夹角.
解: s 1=(1,-4,1), s 2=(2,-2,-1)
⇒ cos φ=
2
1
⇒ φ=π/4.
六、直线与平面的夹角
1.线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时,直线与平面的夹角是指直线和它在平面上的投影直线的夹角 φ.(0≤φ＜π/2）
当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为π/2.
设直线L 的方向向量为s =(m ,n ,p ),平面Π的法向量n =(A ,B ,C ), 其夹角为φ，则 φ=|π/2-(s ^n )| 因此,
sin φ=|cos(s ٨n )|
且有
2.直线与平面相互垂直和平行的充分必要条件
例11. 求过点(1,-2,4)且与平面2x -3y +z -4=0垂直的直线的方程.
解: 所求直线的方向向量为: s =(2,-3,1)
直线过点(1,-2,4)
直线方程为: 2
1-x =3
2-+y =1
4-z
七、 平面束解题方法（补充内容，选讲）
平面束:通过定直线的所有平面.
设直线 L 为
⎩⎨
⎧=+++=+++00
2
2221111D z C y B x A D z C y B x A 其中系数A 1,B 1,C 1和A 2,B 2,C 2不成比例,
则过L 的平面束方程为
例12. 求直线10
10x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩
在平面x +y +z =0上的投影直线方程.
解:设经过直线L :
⎩
⎨
⎧=++-=--+010
1z y x z y x 的平面束方程为 (x +y -z -1)+λ(x -y +z +1)=0, 即:
(1+λ)x +(1-λ)y +(-1+λ)z +(-1+λ)=0
由于此平面与已知平面垂直,所以:
(1+λ)+(1-λ)+(-1+λ)=0 即有
λ=-1
代入平面束方程得投影平面的方程为
y -z -1=0
从而得投影直线l 的方程:
⎩⎨
⎧=++=--0
1z y x z y
八、 杂例
例13. 求与平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线方程. 解:
s =n 1×n 2=5
1
2
401
---k
j i =-(4i +3j +k ) 则所求直线方程为:
1
53
24
3-=-=+z y x
例14. 求直线
2341
1
2
x y z ---=
=
与平面2x +y +z -6=0的交点.
解: 直线的参数方程为: x =2+t , y =3+t , z =4+2t , 将其代入平面方程:
⇒
t =-1.
将其代入直线方程得:
交点坐标为:
(1,2,2).
例15. 求过点(2,1,3)且与直线113
2
1
x y z +-==-垂直相交的直线方程.
解:(法一)过点(2,1,3)作平面垂直于已知直线,则此平面的方程为
3(x -2)+2(y -1)-(z -3)=0
求已知直线与该平面的交点,将直线的参数方程
x =-1+3t ,y =1+2t ,z =-t
代入平面方程得t =3/7
从而得交点(2/7,13/7,-3/7)于是所求直线的方向向量为
s =(2/7-2,13/7-1,-3/7-3)=－6/7(2,-1,4)
故所求直线的方程为:
4
31
12
2-=--=-z y x
(法二)设所求直线的参数方程为x =mt +2,y =nt +1,z =pt +3, 由于所求直线与已知直线垂直,从而有:(m ,n ,p )⊥(3,2,-1),
⇒
3m +2n -p =0
又由于所求直线与已知直线相交,故由两直线的参数方程有
x =3t -1=mt +2, y =2t +1=nt +1, z =-t =pt +3
⇒
(m -3)t =-3,(n -2)t =0,(p +1)=-3
显然t ≠0,从而解得:
m =-4,n =2,p =-8,t =3/7
故有所求直线的参数方程为: x =-4t +2,y =2t +1,z =-8t +3
或者所求直线的方程为: 4
31
12
2-=--=-z y x .
例16. 求与已知直线L 1:
3512
3
1
x y z +--=
=
及L 2:
1
4
75
10z y x =
+=
-相交且和直
线L 3:
1
37
18
2-=
-=
+z y x 平行的直线L .
解(法一):将L 1与L 2都化为参数方程:
L 1:
⎩
⎪
⎨⎧=+=-=1
115332t z t y t x ; L 2:
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=22274105t z t y t x 由于L 与L 1和L 2都相交且与L 3平行,则两交点对应坐标的差应与L 3的方向数成比例,即有:
1
7
)
74()53(8
)
105()32(2
12121t t t t t t -=--+=+--
⇒
⎩⎨
⎧=--=-123413
362
121t t t t 解得t 1=－25/2,
由此得L 和L 1的交点为:
x 1=-28,y 1=-65/2,z 1=-25/2
故所求直线的方程为: 1
2
/257
2
/658
28+=+=+z y x
解(法二)设直线经过点(a ,b ,c ),下面求点(a ,b ,c ) 由所求直线与L 3平行有:
x =8t +a ,y =7t +b ,z =t +c ;
由所求直线与L 1相交,即有t 1,满足
8t 1+a =2t 1-3,7t 1+b =3t 1+5,t 1+c =t 1, ⇒ 6t 1=-3-a ,4t 1=5-b ,c =0.
⇒
2a -3b =-21,c =0
(1)
又由所求直线与L 2相交,即有t 2,满足:
8t 1+a =5t 2+10,7t 2+b =4t 2-7,t 2+c =t 2, ⇒ 3t 2=10-a ,3t 2= -7-b ,c =0.
⇒
a -
b =17,
c =0
(2)
由(1),(2)
⇒ a =72,b =55,c =0
故所求直线的方程为:
x=8t+72,y=7t+55,z=t.
例17. 求过直线
3220
260
x y
x y z
-+=
⎧
⎨
--+=
⎩
且与点(1,2,1)的距离为1 的平面方程.
解:设过此直线的平面束方程为:(3x-2y+2)+λ(x-2y-z+6)=0 ⇒(3+λ)x-(2+2λ)y-λz+(2+6λ)=0,
由点到平面的距离公式
d
= =1
⇒λ=－2,或λ=－3,
故所求平面的方程为
x+2y+2z-10=0, 或4y+3z-16=0.
例18.求两直线L1:
1
011
x y z
-
==和L2:
2
1
2
+
=
-
=
z
y
x
的公垂线L的方程.
解:公垂线的方向向量:
s=s1×s2=(0,1,1)×(2,-1,0)=(1,2,-2)
过L与L1的平面法向量为:
n1=s×s1=(1,2,-2)×(0,1,1)=(4,-1,1)
在直线L1上取点(1,0,0),则过L与L1的平面方程为:4x-y+z-4=0 过L与L2的平面法向量为:
n2=s×s2=(1,2,-2)×(2,-1,0)=(2,4,5)
在直线L2上取点(0,0,-2)
则过L与L2的平面方程为:2x+4y+5z+10=0
于是公垂线的方程为:
⎩⎨
⎧=+++=-+-0
105420
44z y x z y x 作业：
P 44 36，39（1）（3）（5），46，49，50
教学后记：
复习思考题：
平面及直线方程的各种表达式之间的互化。

讲授内容§7.4 曲面与空间曲线
教学目的与要求：
1、理解曲面与曲面方程间的关系，会用轨迹法求曲面的方程。

2、掌握由平面曲线绕坐标轴旋转形成旋转曲面的方程的方法。

3、理解柱面的概念，并会求柱面的方程。

4、理解用截痕法，伸缩变形法讨论曲面形状的方法。

5、掌握九种二次曲面的方程和大致形状。

6、掌握空间曲线的一般形式，参数方程形式。

7、会根据一般方程、讨论其所表示的曲线。

8、理解空间曲线在坐标面上的投影的概念。

9、会求特殊空间曲线在坐标面上的投影的形状和方程。

教学重难点：
重点——旋转曲面、柱面方程的求法。

根据方程讨论曲线的形状。

难点——二次曲面的方程和大致形状。

求空间曲线在坐标面上的投影。

教学方法：讲授法
教学建议：
为使学生掌握二次曲面的方程和形状，讲清由平面曲线先经过旋转再伸缩变形的基本思想
学时：2学时
教学过程
一、曲面方程的概念
1.曲面方程的定义:如果曲面S与三元方程
F(x,y,z)=0 (1)
满足
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),
那么,方程(1)叫做曲面S的方程;而曲面S叫做方程(1)的图形.
a)建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面方程.
解:设点M(x,y,z)是球面上的任意一点,则|M0M|=R,
⇒(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2
b)设有点A(1,2,3)和B(2,－1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.
解:设点M(x,y,z)在平分面上,则|AM|=|BM|,
⇒(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2.
⇒2x-6y+2z-7=0.
c)方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面.
解: 将方程配方: ⇒(x-1)2+(y+2)2+z2=5.
表示球心在(1,-2,0),半径为5的球.
由此空间解析几何中关于曲面的讨论,有下列两个基本问题
例4 已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;
例5 已知坐标x,y,和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.
例1、例2为问题(1),例3为问题(2).
二、旋转曲面
2.旋转曲面：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.
这条定直线叫做旋转曲面的轴.
设在yoz 面上有一已知曲线C ,它的方程为f (y ,z )=0,将其绕z 轴旋转一周,得到一曲面,其方程求法如下:
设M 1(0,y 1,z 1)为曲线C 上的任一点,则有f (y 1,z 1)=0
(2)
当曲线C 绕z 轴旋转时,点M 1也绕z 轴旋转到另一点M (x ,y ,z ), 此时z =z 1保持不变,且点M 到旋转轴的距离d =22y x +=|y 1| 将 z =z 1, y 1=±2
2
y
x
+ 代入(2)中,
⇒
f (±22y x +,z )=0
这就是所求曲面的方程.
同理,曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (y ,±22z x +)=0
类似地有:曲线C : f (x ,y )=0
绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±
2
2
z
y
+)=0
绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22z x +, y )=0 曲线 C :
f (x ,z )=0
绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±
2
2
z
y
+)=0
绕z 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22y x +,z )=0
例6.
直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角(0<α<π/2)叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O ,旋转轴为z 轴,半顶角为α的圆锥面的方程.
解:在yoz 平面上,直线L 的方程为:z =y cot α,⇒ 旋转曲面的方程为:
z =±
2
2
y
x
+cot α 或者 z 2=a 2(x 2+y 2), 其中,a =cot α 例8．将xoz 坐标面上的双曲线2
22
2c
z a
x -
=1分别绕x 轴和z 轴旋转一周,求所生成的
旋转曲面的方程.
解:绕x 轴旋转生成的旋转双叶双曲面: 2
2
22
2c
z y a
x +-
=1
绕z 轴旋转生成旋转单叶双曲面: 2
222
2
c
z a
y x -+=1
三、柱面
3.柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹.
定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线.
a)方程x2+y2=R2表示的曲面叫做圆柱面
解: 准线是xoy平面上的圆x2+y2=R2,母线是平行于z轴的直线.
b)方程y2=2x表示的曲面叫做抛物柱面
解:准线是xoy平面上的抛物线y2=2x,母线是平行于z轴的直线.
一般地,在空间直角坐标系下,
F(x,y)=0: 母线平行于z轴的柱面,
其准线是xoy面上的曲线C: F(x,y)=0.
F(x,z)=0: 母线平行于y轴的柱面,
其准线是xoz面上的曲线C: F(x,z)=0.
F(y,z)=0: 母线平行于x轴的柱面,
其准线是yoz面上的曲线C: F(y,z)=0.
平面为柱面.
例如: 平面x -z =0表示:
母线平行于y 轴,准线为xoz 平面上的直线:x -z =0.
四、二次曲面
二次曲面:
三元二次方程F (x ,y ,z )=0所表示的曲面.
平面叫做一次曲面
二次曲面共九种.
利用截痕法可以了解二次曲面的形状.
1. 椭球锥面: 2
2
22
2z b
y a
x =+
以平面z=t 截曲面: 当t=0时,得一点(0,0,0).
当t ≠0时,得平面z=t 上得椭圆:
2
22
2)
()
(bt y
at x
+
=1;
当|t|从大到小变为0时,椭圆从大到小收宿为一点,其图形为:
平面z =t 于曲面F (x ,y ,z )=0的交线称为截痕.
通过截痕的变化了解曲面形状的方法称为截痕法. 下面用伸缩变形法讨论曲面的形状 平面xoy 上的图形的伸缩变形:
将平面上的点M (x ,y )变为点M ′(x ,λy ),此时点M (x ,y )的轨迹C 变为点M ′(x ,λy )的轨迹C ′,称将图形C 沿y 轴方向伸缩λ倍变成图形C ′. 下面讨论C 于C ′的方程关系:
设C 的方程为F (x ,y )=0,点M (x 1,y 1)∈C ,将M (x ,y )变为M ′(x 2,y 2),
此时
x 2=x 1,y 2=λy 1⇒ x 1=x 2, y 1=
λ
1
y 2
由
M (x 1,y 1)∈C ⇒ F (x 1,y 1)=0 ⇒ F (x 2,
λ
1
y 2)=0
因此M ′(x 2,y 2)的轨迹C ′的方程为: F (x ,
λ
1
y )=0.
例如将圆x 2+y 2
=1沿y 轴方向伸缩
a
b 倍,则圆的方程变为:
2
22
2b
y a
x +
=1,
即图形由圆变为椭圆.
将圆锥面22
2a
y x +=z 2
沿y 轴方向伸缩
a
b 倍,则
圆锥面变为椭圆锥面:
2
2
22
2z b
y a
x =+
2. 椭球面:
2
22
22
2c
z b
y a
x +
+
=1
将xoz 平面上的椭圆
2
22
2c
z a
x +
=1绕z 轴旋转得
旋转椭球面:
2
2
2a
y x ++
2
2c
z =1,
再将旋转椭球面沿y 轴方向伸缩
a
b 倍,得
椭球面:
2
22
22
2c
z b
y a
x +
+
=1
当a =b =c 时,椭球面为球面: x 2
+y 2+z 2=a 2
.
3. 单叶双曲面: 2
22
22
2c
z b
y a
x -
+=1
将xoz 平面上的双曲线
2
22
2c
z a
x -
=1绕z 轴旋转得
旋转单叶双曲面:
2
2
2a
y x +-
2
2c
z =1
再将旋转单叶双曲面沿y 轴方向伸缩
a
b 倍,得
单叶双曲面:
2
22
22
2c
z b
y a
x -
+
=1
4. 双叶双曲面: 2
22
22
2c
z b
y a
x -
-=1
将xoz 平面上的双曲线
2
22
2c
z a
x -
=1绕x 轴旋转得
旋转双叶双曲面:
2
2a
x -
2
2
2c
z y +=1
再将旋转双叶双曲面沿y 轴方向伸缩
c
b 倍,得
双叶双曲面:
2
22
22
2c
z b
y a
x -
-
=1
5. 椭圆抛物面: 2
22
2b
y a
x +=z
将xoz 平面上的抛物线
2
2a
x =z 绕z 轴旋转得
旋转抛物面:
2
2
2a
y x +=1
再将旋转抛物面沿y 轴方向伸缩
a
b 倍,得
椭圆抛物面:
2
22
2b
y a
x +
=z .
6. 双曲抛物面: (马鞍面)
2
22
2b
y a
x -=z
用截痕法分析:
用平面x =t 截曲,截痕l 为平面x=t 上的抛物线:
-2
2b
y =z -
2
2a
t
此抛物线开口朝下,顶点坐标为:
x =t , y =0, z =2
2a
t
当t 变化时,l 的形状不变,位置平移,而顶点的轨迹为平面y =0上的抛物线L :
z =2
2a
t
因此,双曲抛物面为以l 为母线,以L 为准线,母线的顶点在准线L 上作平行
移动得到的曲面.
7. 椭圆柱面：
2
22
2b
y a
x +=1
8. 双曲柱面：
2
22
2b
y a
x -
=1
9. 抛物柱面：x 2
=ay .
椭圆柱面
双曲柱面
抛物柱面
五、 空间曲线的一般方程
定义:
称C ⎩
⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 为空间曲线C 的一般方程.
例7.
讨论方程组⎩⎨⎧=+=+6
321
22z x y x 表示的曲线.
i.
讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-
--=22
2222)2
()2(a y a x y x a z 表示的曲线
.
六 、空间曲线的参数方程
定义:称方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧===)()()
(t z z t y y t x x 为空间曲线的参数方程.
ii.
如果空间一点M 在圆柱面x 2+y 2=a 2上以角速度ω绕z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(ω,v 都是参数),那么点M 构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.
解:取时间t 为参数.设当t =0时,动点位于x 轴上的一点A (a ,0,0).经过时间t ,动点
运动到M (x ,y ,z ,),记M 在xoy 面上的投影为M ′,M ′的坐标为x ,y ,0.由于动点M 在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转,所以
∠AO M ′=ωt .
从而x =|O M ′|cos ∠AO M ′=a cos ωt ,
y =|O M ′|s i n ∠AO M ′=a s i n ωt ,
又由于动点以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升,所以:
z = M ′M =vt .
故所求螺旋线的参数方程为
⎪⎩
⎪
⎨⎧===vt z t a y t a x ωωsin cos
螺旋线的性质：当θ从θ0变到θ0+α,z 由b θ0变到b θ0+b α,即当O M ′转过角α时,M 上升了高度b α.
特别当OM ′转过一周时,M 上升固定高度h =2πb .此高度称为螺距.
七、 空间曲线在坐标面上的投影
1. 定义设空间曲线C 的一般方程为
⎩
⎨
⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F ， 消去z 后得方程：H (x,y )=0
称此方程为曲面C 关于xoy 面的投影柱面,投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线,简称投影. 即空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线方程为：
⎩
⎨
⎧==00
),(z y x H 同理,空间曲线C 在yoz 面与xoz 面上的投影曲线方程分别为
00),(⎩
⎨
⎧==x z y R 和
⎩
⎨
⎧==00
),T(y z x iii.
已知两球面的方程为x 2+y 2+z 2=1和x 2+(y －1)2+(z －1)2=1,求它们的交线
C 在xoy 面上的投影方程.
解：消去z 后,得柱面方程x 2+2y 2－2y =0,于是两球面的交线在xoy 面上的投影方程是：
⎩
⎨
⎧==-+002222z y y x iv. 设立体由上半球面z =224y x --和锥面z =)(322y x +
所围成,求它在xoy 面上的投影.
解：上半球面和锥面的交线C ：⎪⎩⎪⎨
⎧+=
--=
)
(342
2
2
2
y x z y
x z
消去z 后,得投影曲线的方程为:
⎩⎨
⎧==+0
122z y x
从而所求立体在xoy 面上的投影为: x 2+y 2≤1.
作业：P45 58(3)(5),59(3)(5),60(2)(3), P4663，64，65 教学后记：
复习思考题：
=⋅表示什么图形？
z x y
讲授内容 第七章习题课
教学目的与要求：
1. 熟练掌握向量的各种运算。

2. 熟练掌握平面及直线方程求法，掌握空间曲面与曲线的方程。

教学重难点：
重点—平面及直线方程， 难点—空间曲面与曲线方程 教学方法：讲授法 教学建议：
多结合图像讲解 学时：2学时 教学过程
一、本章知识小节（略） 二、例题选讲
1． 若向量满足||||a b a b -=+
，则必有（ ）
A ．0a = 或0b = B.||||a b = C.0a b -= D.0a b ⨯=
分析：由||||a b a b -=+ 知以,a b
为邻边作平行四边形的两对角线长度相等，
故为矩形，从而a b ⊥ ，从而可得0a b ⨯=
，故选（D ）。

2． 已知单位向量O A
与三坐标轴的夹角相等，B 是点(1,3,2)C -关于点(1,2,1)
M -的对称点，求OA OB ⨯
.
解：由αβγ==及222
cos cos cos 1αβγ++=可得
cos cos cos αβγ===±
则O A =±
设(,,)B x y z ，则M 是B C 的中点，据中点坐标公式得，
13z+21, 2, 12
2
2
x y +-+=-==
解得 3,7,0x y z =-==
则(3,7,0)B -，(3,7,0)O B =-
7,3,10)7j
OA OB ⨯=±
=±
-
3． 已知(3)(75)a b a b +⊥- ，(4)(72)a b a b -⊥-
，求 (,)a
b . 解：由已知可得
(3)(75)0716150(1)
(4)(72)073080(2)
a b a b a a a b b b a b a b a a a b b b ⎧⎧+-=+-=⎪⎪⇒⎨⎨--=-+=⎪⎪⎩⎩
（1）-（2）得， 4623a b b b = 即2b b a b = 代入（1）得，2a a a b =
则a b =
21222
||1cos(,)2||||||||
a a
b a b a b a b a a ====
(,)3
a
b π
∴=
4． 一直线l 平行与平面3260x y z +-+=，且与直线垂直，求直线l 的方向余弦.
解：平面法向量为0(3,2,1)n =-
，
直线
922
4
x y z -+=
=的方向向量为0(2,4,1)s =
.
显然直线l 与0n ，0s
垂直，则由3
21(6,5,8)2
4
1
i j k
-=-
将其单位化得：⎛
⎝
故直线l
的方向余弦为658cos cos cos a βγ-=
=
=
或
cos cos cos a βγ=-
=
=-
5． 求直线
111
2
3
x y z -+=
=
在平面250x y z ++-=上的投影直线的方程.
解：将直线方程化为一般式230330
x y x z --=⎧⎨
--=⎩，则直线的平面束方程为
(23)(33)0x y x z λ--+--=
与平面250x y z ++-=垂直，则有
23120λλ+--= 得，1λ=- 则可得到所求直线方程为
250
x y z x y z -+=⎧
⎨
++-=⎩
6． 设一平面垂直于平面0z =并通过从点(1,1,1)-到直线100
y z x -+=⎧⎨
=⎩
的垂线，并
求此平面的方程。