【精品解析】山东省莱芜市2012届高三数学上学期期末检测 文(教师版)

【精品解析】山东省莱芜市2012届高三数学上学期期末检测
【试题总体说明】本套试题几乎涉及到高中数学所有章节内容，试题覆盖面广，知识跨度较大，题目新颖，难度不大，内容紧扣大纲，很好地体现了新课标的要求，因而可较好地考查学生对已经复习过的内容掌握情况，是一轮复习中难得的一套好题。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}4|{},30|{2
≥∈=<<∈=x R x B x R x A ，则B A ⋂=
A.
{}
02|<≤-x x B.
{}
32|<<x x C.
{}32|<≤x x
D.{}322|<≤-≤x x x 或 答案：C
解析：以求得{|03}A x x =<<，{|22}B x x x =≤-≥或,所以B A ⋂={}32|<≤x x .
2.复数i
i
-12等于 A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1
答案：B 解析：
i i
-12=
2(1)1(1)(1)
i i i i i +=-+-+.
3.阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31， 则判断框中应填的是
A.4<n
B.5<n
C.6<n
D.7<n
答案： B
解析：本程序框图的功能是计算2
3
1222++++，因为输出的
数据为31，故在判断框内填5<n .
4.已知向量m n ⋅的夹角为
6
π
，且|m |3,|n |2,|m n |==-= A.1 B.2 C.3 D.4 答案： A
解析：
22
2
|m n|m2m n n32241
-=-+=-⨯=，∴|m n|1
-=.
5.若点M（y
x,）是平面区域
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
y
x
y
x
2
2
2
内任意一点，点A（-1，2），则z OM OA
=⋅的最小值为
A.0
B.2
4- C.2-2 D.4
答案： A
解析：做出
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
y
x
y
x
2
2
2
对应的平面区域，易得当点M与原点不重合时，OM与OA的夹角是锐角，故点M与原点重合时，z OM OA
=⋅的最小值为0.
6.已知函数)
(x
f
y=是奇函数，当0
>
x时，,
lg
)
(x
x
f=则))
100
1
(
(f
f的值等于
A.
2
lg
1
2
lg
1
.-
B C.2
lg D.-2
lg
7.若
3
1
)
tan(-
=
-α
π，则
α
α
α
α
2
cos
cos
sin
2
2
cos
+
的值为
A.
3
8
B.
5
8
C.
15
8
D.
7
8
-
答案： C
解析：由
3
1
)
tan(-
=
-α
π得
1
tan
3
α=，
α
α
α
α
2
cos
cos
sin
2
2
cos
+
=
222
2
1
1
cos sin1tan8
9
2
2sin cos cos2tan115
1
3
ααα
αααα
-
--
===
+++
.
8.正三角形一个顶点是抛物线)0
(
2
2>
=p
py
x的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
答案： C
解析：由抛物线得对称性可知，另两个顶点一组在焦点的下方，一组在焦点的上方，故有两组.
9.若直线1-=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且
120=∠POQ （其中Q 为原点），
则K 的值为
A.3,3-
B.3,4-
C.3，-1
D.1，-1 答案： A
解析：由题意可得，圆心到直线的距离为1
2，∴12=k =
10.已知数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{}
n
b a 前10项的和等于
A.511
B.512
C.1023
D.1033
解析：2(1)11n a n n =+-⨯=+。

11
122n n bn --=⨯=，依题意得
11242n n M a a a a -=+++
+=1(11)(21)(21)21n n n -++++
++=-+，
101021011033M =+-=.
12.若点O 和点F 分别为椭圆15
92
2=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅的最小值为
A.
4
11
B.3
C.8
D.15
答案： A
解析：设P(x,y),由题意得F （-2,0） ，所以
222244911
OP FP (x 2,y)(x,y)x 2x y x 2x 5(x )(3x 3)9944
⋅=+=++=
++=++-<<，∴最小值为4
11
.
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共计16分。

13.若椭圆)0(12
22>=+a y a
x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点，则a= . 答案：2
解析：由双曲线12
22=-y x 的焦点坐标为±（），所以2314a =+=，a=2.
14.设等差数列{}n a 的公差.4,01d a d =≠若k a 是1a 与k a 2的等比中项，则k= . 答案：3
解析：因为.4,01d a d =≠，且k a 是1a 与k a 2的等比中项，
所以212k k a a a =⋅，即22(3)4(23)k d d k d +=+，∴2
230k k --=，解得3k =.
15.已知曲线1)(2
3+++=bx ax x x f 在点（)1(,1f ）处的切线斜率为3，且3
2=
x 是)(x f y =的极值点，则a+b= .
答案：-2
解析：由1)(23+++=bx ax x x f 可知，/2
()32f x x ax b =++，
/(1)323f a b =++=…………①
/2222
()3()20333
f a b =+⨯+=………………②， 解①②得2,4a b ==-，∴2a b +=-. 16.关于)4
2sin(3)(π
+
=x x f 有以下命题：
①若,0)()(21==x f x f 则)(21Z k k x x ∈=-π； ②)(x f 图象与)4
2cos(3)(π
-
=x x g 图象相同；
③)(x f 在区间]8
3,87[π
π--
上是减函数； ④)(x f 图象关于点)0,8
(π
-
对称。

其中正确的命题是 。

答案：②③④
解析：①不正确，∵12,x x 可关于对称轴对称；
∵)42cos(3)(π
-
=x x g =333sin[(2)]3sin(2)3sin[(2)]2444x x x πππππ--=-+=--+ =3sin(2)4x π+，故②正确；当x ∈]83,87[ππ--，32[,]442
x πππ
+∈--，∴)(x f 在区
间]83,87[ππ--上是减函数，故③正确；当8x π=-时，204
x π+=，∴④正确.
三、解答题：本大题共6个小题。

满分74分。

解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

由（1）得01
2>-x x ，解得01<<-x 或1>x ； ……………………7分 由（2）得012<--x x x ，解得251-<x 或2
5
10+<<x ； …………10分 ∴原不等式的解集是)2
5
1,1()251,
1(+⋃--. ………………12分 解析说明：由关于x 的不等式1<x
a 的解集是{}0|<x x 求得a 的范围是1a >，从而将
0)1
(log <-x
x a 转化为一般的分式不等式组求解.
18.（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,5
4
cos ==b B . （1）当6
π
=
A 时，求a 的值；
(2)当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值。

解析说明：（1）由正弦定理直接求得a 的值；（2）由余弦定理及三角形面积公式，配方得到关于a c +的方程，解之即可得a c +的值.
19.（本小题满分12分）
设椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
x a y 的上焦点是1F ，过点P （3，4）和1F 作直线P 1F 交
椭圆于A 、B 两点，已知A(3
4
,
31). (1)求椭圆E 的方程；
(2)设点C 是椭圆E 上到直线P 1F 距离最远的点，求C 点的坐标。

答案： 解析：（1）由A （3
4
,
31）和P （3，4）可求直线1PF 的方程为：y=x+1………………1分 令x=0，得y=1,即c=1 …………………………2分 椭圆E 的焦点为)1,0(1F 、)1,0(2-F ，由椭圆的定义可知
22)13
4
()31()134()31(||||2222221=+++-+=+=AF AF a ……………4分
∴1,2==b a …………………………5分
椭圆E 的方程为12
22
=+x y …………………………6分
20.（本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，⋯⋯=--==,2,1),1(,2
1
21n n n a n S a n n （1）证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+n S n n 1是等差数列，并求n S ； (2)设3n
S b n
n =
，求证：121n b b b ++⋯⋯+<. 解析：证明：（I)由)1(2--=n n a n S n n 知，
当2≥n 时：)1()(12---=-n n S S n S n n n ， …………………………1分 即)1()1(122-=---n n S n S n n n ， ∴
11
11=--+-n n S n n
S n n ，对2≥n 成立。

…………………………3分 又
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+∴=+n S n n S 1,11111是首项为1，公差为1的等差数列。

1)1(11
⋅-+=+n S n
n n ……………………5分
∴1
2
+=n n S n ……………………6分
（2）1
11)1(13+-=+==
n n n n n S b n n …………………… 8分 ∴1
1
1312121121+-
⋯+-+-=+⋯⋯++n n b b b n =11
1
1<+-
n …………………… 12分
∴f(x)在（0，
k 21）是增函数，在（k
21，+∞）是减函数。

……………………7分 综上，当0≤k 时，f(x)的单调增区间是（0，+∞）；
当K>0时，f(x)的单调增区间是（0，k 21），单调减区间是（k
21
，+∞）.……8分
（2）由x x x f ln )(3+<恒成立，可得023
>+kx x 恒成立，),0(+∞∈x .
即32x kx ->，∴3
2x k ->恒成立。

………………………10分 ∵20x -〈
∵0,02≥≥k k ………………………11分
∴K 的取值范围是［0，+∞） 解析说明：（1）由函数的导数与函数的单调性之间的关系求解，注意函数的定义域.（2）
将k 分离出来，通过求函数1ln )(-=x
x
x g 的最大值求解. 22.（本小题满分14分）
已知抛物线x y 42
=的焦点为F
（1）若直线l 过点M （4，0），且F 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；
（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与X 轴垂直，若线段AB 中点的横坐标为2.求证：线段AB 的垂直平分线恰过定点。

0)42(222=+-+b x bk x k ， …………………………9分
2
2124k
bk
x x -=
+， 因为AB 中点的横坐标为2，故
4242
=-k bk
整理得k
k b 2
22-=.
由AB 中点的坐标为（2，2k+b ）
得AB 垂直平分线的方程为：)2(1
)2(--
=+-x k
b k y （※）， ………12分
用心爱心专心11。