二阶变系数线性微分方程的特解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
二阶变系数齐次微分方程通解的求法
假设 2 （ * %） &" ( （ + %） & (（ , %）5 $ ， ， 即 " %& . " （ % ( !） & ( ( 5 $， （ & . "） （ &% . " ）5 $ 6 因为 & 为常数， 所以 & # " ， 由此得方程的一个特解 !! # #"% ，
% 再设 !" # $ （ %） #特解， 则
! ( ( ） &( "
参考文献
+ 张清芳， 库在强0 用观察法求某些二阶系数齐次方程的通解 ［ ,］ ， 高等数学研究， "’’- ， . （&） ： /0 —/. ［!］
-----------------------------------------（ 上接第 !. 页） + 所以原方程组的通解为： " & 2 0 & $ ! $ &20 $ " - 2 0 $ " "20 (!! ("! (&! (!! ("! (&! 1 %（ !! !" ） # ’ # ’ ’ % ! ’ (!" ("" (&" (!" ("" (&" ’ % 2 0 ’ ! -20 ’ ’ ’ ’ ! " % & ("! $ ("" & 2 0 % & (&! $ (&" $ & 2 0 % & (!! $ (!" " 2 0 $ - (!! % " (!" $ " $ - ("! % " ("" - 2 0 $ -& (&! % " (&" (!! ("! (&! - 2 0 % (!" ("" % 2 0 % (&" (!" ("" (&"
二阶变系数线性微分方程的一种新解法
— —
一
， ）
（ 当方 程 存 在 不 同的 两 实根 ｒ １ ≠ｒ ２ ） （ 当方 程 存 在 相 同的 两 实根 ｒ １ ＝ ）
（ ５ ）
（ １ ＋ ｃ ）
Ｐ － ７ ． １ ２ ／ － （ ｃ １ Ｃ Ｏ Ｓ ／ ３ ｘ ＋ ｃ ， ｓ ｉ ｎ ／ ３ ｘ ）
，
后， 方程 （ ６ ） 将 变 形 为如 下 的 一 阶微 分 方程
） ＋ ／ ， （ ｘ ） 显然， 要 使 方程 （ ７ ） 成 为 变量 分 离的 充要 条 件 是 ｐ （ ） ， ｑ ）满 足 条 件 组 ：
“ ’ 坝 咖 ！ ＋
Ｚ Ｌ ｘ ２ 搿） ＿ （ ）
１
积 分之 ， 得
“ （ ） ：
其 中， △： ， ， １４ ｑ ， Ｃ 为任 意 常数 ．
将（ ３ ） 带入 ｐ （ ｔ ） ｄ ｔ ４ ～ － ． ￣ － 一阶常 系数齐次微分方程（ １ ） 的通解为 ：
（ △＞ ０ ）
一
Ｐ ２ ’ （ Ｃ ｌ ＋ Ｃ ２ Ｘ ）
了 求 解 二 阶 变 系数 线 性 微 分 方 程 的
，
一
个新解法
：
分 离 变 量 法 ：给 出 了 二
阶 变 系数 线 性 方 程 通 过 变 换 化 为 常 系 数 方 程 新 的 条 件 得 到 了 变 系 数 二 阶 线 性 微 分 方 程 的
一
些新的 可 积 判据 和 可 积 类型
．
微 分 方 程 ； 变换 ； 分 离 变 量 ； 通 解 关键 词 】 【 10 0 4 0 17 5 【 A 【 中图分 类 号 】 文献标识码 】 文 章编 号 】 【
二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程解的结构()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -⎰⎰=⎰。
容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。
这符合线性方程解的结构规律。
例1 求解一阶常微分方程'21y y -=解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为2222()1d 12x x x x y x Ce e e xCe -=+⋅=-⎰‘其中C 是任意常数。
A.2 二阶线性常微分方程将具有以下形式的方程"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。
称"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程.A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
定理A.2 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。
定理1 说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。
为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。
定义A.1设函数12(),(),,()n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个不全为零的常数12,,n k k k ，，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=在区间I 上恒成立，则称函数12(),(),,()n y x y x y x 在区间上线性相关，否则称为线性无关。
例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。
二阶变系数齐次微分方程
. .毕业论文题目二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法院系滨江学院专业信息与计算科学学生 xxx XX学号 xxxXX指导教师 XXX职称教授二Ｏ一二年五月二十日目录摘要 ...................................................................... 3 引言 . (3)1、 用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的解 (3)1.1已知方程的一个特解求通解 (3)2、 化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的解 (5)2.1求满足定理1的恰当方程的通解 ......................................... 5 2.2求满足定理2的恰当方程的通解 (6)3、 化为RICCAIT 方程求二阶变系数齐次线性微分方程的解 (6)3.1若方程系数满足()'()p x q x =情况 ....................................... 8 3.2若方程系数满足()()1p x q x +=-情况 ................................... 9 3.3若方程系数满足()()1p x q x -=情况 (10)结束语 ................................................................... 11 参考文献 . (11)二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法xx大学xx专业， 210044摘要：二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置。
现在对于常系数的线性微分方程的解法研究已经比较完备。
但对于变系数线性微分方程如何求解，却没有通用的方法，因此探求二阶变系数微分方程的解法就很有必要。
本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的解法问题，通过利用常数变易法，和系数在满足特定条件下，化为恰当方程和riccati方程来求解二阶变系数齐次微分方程的解法，直接通过具体例题解决具有满足相同条件关系的二阶变系数齐次微分方程的解，从而进一步加深对二阶变系数齐次线性微分方程的解法的理解。
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法二阶变系数线性齐次微分方程的求解方法有多种，其中常用的有拉普拉斯变换、迭代、改型四阶 Runge-Kutta 法等。
1、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换可以用于求解二阶变系数线性齐次微分方程。
该方法被称为拉普拉斯变换是由波扎西在1820年提出的，其原理是使用一种变换把微分方程变换成容易求解的线性方程组。
例如：考虑以下方程：$y\prime\prime +222ty\prime +529y=0$可以使用以下四步法将其转换为可以直接求解的形式：(1) 用拉普拉斯变量$z=y\prime$，等号右边变为：$z\prime+222tz+529y=0$(2)$y\prime=z$，两边同时乘以$e^{\int{222t}dt}$，此时等号两边的导数消去，得：$e^{\int{222t}dt}z+222te^{\int{222t}dt}y=0$，再变形得：$z+222te^{\int{-222t}dt}y=0$(3)将等号两边都乘以$e^{\int{-222t}dt}$，则有：$e^{\int{-222t}dt}z+222y=0$(4)等号两边同时除以$222$，则有：$\frac{e^{\int{-222t}dt}}{222}z+y=0$这样就可以将方程变换为可以直接求解的标准形式：$\frac{dz}{dt}+p(t)z+q(t)y=0$，这就是二阶变系数线性齐次微分方程的拉普拉斯变换所得到的结果。
2、迭代法迭代法是指通过某种规则迭代取不断精确的数据，从而求解问题的方法。
它指定了一系列迭代公式，用来在定义域上以增量方式估计近似解。
迭代法可以用来求解二阶变系数线性齐次微分方程，其基本原理是首先对方程进行拉弦展开（也叫做多项式拟合），然后分别求出每次迭代时的Y和V值，并用它们来更新下一次的Y和V 值，从而不断地进行反复的迭代操作，直到找到足够精确的解。
第二章常微分方程
an (n c)(n c 1)xnc (F0 F1x F2 x2 ) an (n c)xnc
n0
n0
(G0 G1x G2 x2 ) an xnc 0
n0
第二章常微分方程——二阶变系数方程
首项xc的系数为0——指标方程
c2 (F0 1)c G0 0
第n项xn+c的系数为0 ——递推公式
rAs
)
dy dt
y
(rA
rAs )
[Qr (T )
Qr (Ts )]
第二章常微分方程——线性稳定性分析
将反应项与移热项线性展开
dx dt
1
rA cA
s
x
rA T
s
y
dy dt
rA cA
s
x
1
rA T
s
dQr dT
s
y
特征根方程
2 tr 0
detA I 0
从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵
第二章常微分方程——一阶常系数方程组
通解 或
Y t e1t x 1 , e2t x 2 , ，ent x n
y t c1 x 1e1t c2 x 2e2t cn x nent
y=Yc 常数 c 由初始条件确定
y2
y c cc1
➢ 当c1－c2 为整数时，第二解为
y2
c
c
c2
y cc2
第二章常微分方程——二阶变系数方程
推导：设
y(x,c)
an不一定满足指标方程，将其代入
方程后有
x 2 d 2y dx 2
xF
(x
)
dy dx
G(x)y （c c1)(c c2)a0x c
二阶变系数线性微分方程的积分因子解法
若存在 二阶非零可微 函数 ｆ ｘ ，方程 （ （） ３）两端 同乘 ｆ ｘ 后可化 为 （）
（（）Ｊ＝ （）（） ， ） ， ｇ ，
则称 ｆ ｘ 为方程 （ ）的积分 因子 ． （） ３ 定理 １ 二阶非零可 微 函数 ｆ（） 方程 （ ）的积分 因子的充分必 要条件是 ｘ是 ４
一 ＝一 ２ ，一 ＝， ∽ ｌ Ｊ● ．ｘ ， （） 厂 一 一 （）
＝
（） ４
、】 （ ， ５）
此时可取， ： 』 （） ｅ
，
方程 （ ）的通解为 ｙ 一 ３ ：
Ｉｆ ）ｘｘｘＣ ＋２ ｛ （ （ ）＋， Ｃ ￣ ｘ ）ｄ ｘ ｇｄ
．
Ｊ ）
证明 必要性．若方程 （ ） ３ 存在积分因子＇ ，则有（（ ｙ ， ｇ ） 厂） （ ｆｘ ）＝ （ （ ，即ｙ （ ＋ ｙ ） ） ） ｙｘ ２ｙ（ ＋ ）
证 毕．
例 １ 解方程 ｙ 十２ 。， ＋２ ） ｅ＿． 一 ｘ ｙ＋（ ｘｙ： 一＾
解 ｐ ｐ（ ＾ ２ ’ ｇ 加 （ ｅ 一
取
，
』ｄ＝ ｘｘ ｅ ２
因为
＝
，
：ｅ ， ： ：Ｘ ＋Ｘ Ｐ（ ２ ２ ＝ ２ ） 所 以 ，（） １’是 原 方 程 的 积 分 因 子
第 ２ 卷 第 ６ ８ 期
２ ００８正
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ａ ｆＳ ｉｎ ｅｏ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ ｒ ｇ ｎ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ｌｏ ｃｅ ｃ ｆＴ ａ ｈ ｒ ｏ ｅｅａ ｄ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｎ ｔ ｔ
Ｖ０ ． ８ Ｎｏ ６ １２ ．
ｌ １月
Ｎｏ ． ｖ
类似 引理 ，定理 １ 的讨论可得 出定理 ２ ．
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.docx
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。
因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。
我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。
(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。
则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。
二阶变系数线性微分方程与其对应的Riccati方程可积的等价性及应用
Ｙ— ｅ ） Ｉ Ｉ ＂ － （ｅ ｆ ｉ 口如
口 ） （ ｚ＋ ６ ．） （ ｚ （） ３
‘
为 （ ） （ ） 对 应 的 Ｒ ｃａｉ 程 ； 之 ， 称 二 １或 ２ 所 ｉ ｔ方 ｃ 反 也 阶 变系 数线 性微 分方 程 （ ） １ 或齐 次方 程 （ ） Ｒ ｃ ２为 ｉ —
２ ３
（） 得证 ． ３可
解
该 Ｒ ｃａｉ 程 对 应 的 二 阶变 系 数 线 性 ｉｃｔ方
２ 应 用
齐 次方 程是
Ｙ ＋ ｙ － 十 —■ 一 Ｙ 一 ０ － ， 一 ， ’
中 图分 类 号 － ７ Ｏ１ ５ 文献标识码 ： Ａ
Ｏ 引 言
在 纯粹 数 学 和应 用 数 学 中， 工 程 技 术 及力 在 学 、 理学 中极 为重 要 的 二 阶 变 系数 线 性 微 分方 物
程
＋ 日 ） ＋ ｂ ｘ） 一 （ ， （ Ｙ （ ｙ ｚ） ＋ 口（ ＋ ６ ） 一 ０， ｚ） （ Ｙ （） １ （） ２
微分方程 与其对应 的 Ｒ ｃａｉ ｉ ｔ方程 可积是 等价的 ， 给 出了二 阶变系数线性 微分方程在 其对应的 Ｒ ｃａｉ ｃ 并 ｉｃｔ方程
有 特 解 下 的 求解 公 式 ．
关 键 词 ： 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 ； ｉ ａｉ 程 ； 解 ； 化 二 Ｒｃ ｔ方 ｃ 特 转
Ｒ ｃａｉ ｉｃｔ 方程 的 特 解 给 出 了一 些 特 殊 二 阶 变 系数 线 性微 分方 程 通解 ， 这说 明二 阶变 系 数 线 性微 分
ｅＪｘｚｚ（ ） ｚ（ ） 口ｚ （ ） （ ） ， －ｚ）［ ｚ 一 ｚ ＋ （ ） ｚ 一６ｚ ］ （ｄ
由于 一 （ 是 （ ） ） ３ 的解 ， 以 所
一类二阶线性变系数微分方程通解的解法
何运用此通解公式 . 关键词
二阶线性常系数微分方程在微分方程理论中占 有重要位置, 关于它的通解结构, 有十分完美的结论. 但求解二阶线性变系数微分方程却无一般方法. 在实 际上总存在着不可克服的困难 , 即使就是二阶线性变 系数微分方程 f ( x ) y + p ( x ) y + q( x ) y = g( x ) ( 1) ( 其中 f ( x ) , p ( x ) , q( x ) , g( x ) 为连续函数 ) 也不一 定能求出通解. 因此 , 二阶线性变系数微分方程的求 解成为微分方程研究的热点问题之一 . 文 [ 1 - 3 ] 探 讨了二阶线性变系数微分方程 ( 1) 当 f ( x ) r 2 + p ( x ) r + q( x ) = 0 ( 其中 r 为常数 ) 时的通解求法 . 作为文 [ 1 - 3] 的推 广, 本文探求方程( 1 ) 当 f (x )r (x) + f (x) r ( x) + p( x) r( x) + q( x) = 0 ( 其中 r ( x ) 为连续可微函数 ) 时的通解解法. 首先来求方程( 1) 对应齐次微分方程 f ( x ) y + p ( x ) y + q( x ) y = 0 的通解. 由二阶线性微分方程通解结构定理可知 , 欲求方 程( 2 ) 的通解 , 关键是求方程 ( 2) 的两个线性无关的 特解 . 方程 ( 2) 与 二阶线性常系 数微分方程结 构类 似, 不同的是方程 ( 2 ) 是变系数, 二阶线性常系数微 分方程是常系数 , 而常系数是变系数的特例. 按照类 比的方法 , 猜想方程 ( 2) 具有特解
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
微分方程的分类及解法
微分方程的分类及解法微分方程是数学中的一种重要的概念，在科学中有着广泛的应用。
其解法的复杂性和微分方程本身的类型有关。
本文将详细介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程一般按照方程中出现各种变量的次数和阶数的不同而进行分类。
具体来说，微分方程可以分为以下几类。
1.常微分方程常微分方程是指方程中仅包含一个自变量（通常为时间t）的微分方程，其一般形式为dy/dt = f(y,t)。
常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
2.偏微分方程偏微分方程是指方程中包含多个自变量（如时间t、空间坐标x、y、z等）的微分方程。
偏微分方程的方程式比较复杂，通常只有数学专业的高年级学生才会接触到。
3.线性微分方程当方程的形式满足一次齐次线性的时候，称为线性微分方程。
即方程中出现的未知函数及其导数都是一次的，如y'' + y' + y = 0。
这种方程类型的解法相对较为简单。
4.非线性微分方程一般来说，非线性微分方程解析解比较难求。
出现非线性情况往往会极大的增加微分方程的难度。
例如，y'' + sin y = 0，和y'' +y^2 = 0这两个方程都是非线性方程。
二、微分方程的解法对于不同类型的微分方程，解法也有所不同。
本段将详细介绍几种微分方程的具体解法。
1.分离变量法分离变量法是处理一阶常微分方程最为常用的方法，也可用于一些高阶常微分方程。
当方程可以表示为dy/dt = f(y)的形式时，我们可以将一般方程分离成含有y的部分和含有t的部分，然后将两部分同时积分，在约定的边界条件下得到解。
2.常系数线性微分方程常系数线性微分方程形如y'' + ay' + by = 0，这里的a,b为常数。
这种微分方程的通解可以通过求出特征方程的两个根r1和r2，然后根据r1和r2的情况进行分类求解。
若r1和r2都是实数或都是虚数，则y = c1e^(r1x) + c2e^(r2x)。
一类二阶变系数线性微分方程的解法
＝ｅ 一 （ ｆ
伽 ｄ ｔ ＋Ｃ ）
（ ５ ）
把 （ ５）式 代 人 到 （ ３）式 求 解 得
ｙ＝ ｅ 【 ｆ 州 （ ｆ ） ｄ ＋ Ｃ ） 】 ｅ ｄ ＋ Ｃ ： 】
其 中 ｃ 、 ｃ ：为 任 意 常 数 ． 推论 １ 定 理 １中 若 （ ｔ ）＝ Ｆ（ ￡ ） 且 满 足 定 理 中的 条 件 ， 则方 程 （ １ ）有 通 解
解方程 ｙ 一 ５ ｔ ｙ’＋ （ ４ ｔ ２— ２） ｙ＝ｔ ｅ ｔ ２ ｌ ｎ ｔ ￡ ）＝ Ｉ ｎ ， 令 Ｆ（ ）＝ ‘ ￡ ＝ 一２ ，
例 ２
解 ： 根 据 题 意 知 ｐ（ ）： ５ ｔ ． ｑ （ ￡ ）＝ ４ ￡ 一 ２
由 推 论 ｉ的 通 解 公 式 可 得
解 Ｊ ．
１ 定 理证 明及 推论
０定 理 １ 二 阶变 系数 线 性 微 分 方 程 （ １）， 对 于 系 数 ｐ（ ￡ ） 、 口 （ ） 若 满 足
』 ｐ ‘ ：Ｆ ￡ ） ＋ ‘ ￡
【 ｇ（ ｔ ）＝ Ｆ （ ￡ ）＋ Ｆ（ ￡ ） （ ）
（ ２ ）
（ 荆州理工 职业学 院 基础课部 ， 湖北 荆州 ４ ３ ４ ０ ０ ０ ）
［ 摘
要］ 二阶变系数线性微分方程在微分方程 中占有重要位置 ， 但 二阶变 系数线性微分方程却没有一般的初等解 法 ，
文中给出了在 系数 满足一定条件下微分方程的初等解法． ［ 关键词 ］ 微分方程 ； 变系数 ； 通解
１ ４
ｄ ＋ ｃ ： 】
例 １
解方程 ｙ ， ，＋
一
＝￡
解 ： 根 据 题 意 知 ｐ（ ｔ ）＝ 了 １
、
ｑ （ ￡ ） ＝ 一
二阶变系数线性微分方程的通解公式
二阶变系数线性微分方程的通解公式
王景艳;叶扩会
【期刊名称】《科学咨询》
【年(卷),期】2024()8
【摘要】二阶变系数线性微分方程的解法是微分方程求解的一个难点,本文主要探究二阶变系数齐次和非齐次线性微分方程的通解公式。
首先,介绍Riccati方程,把里卡蒂方程和二阶变系数线性微分方程联系起来,得到二阶变系数非齐次线性微分方程通解公式一和二阶变系数齐次线性微分方程的通解公式一;然后,以二阶变系数齐次线性微分方程的一个特解,通过变量变换和刘维尔公式,得到相应二阶变系数齐次线性微分方程的通解公式二和自身的通解公式二。
【总页数】5页(P56-60)
【作者】王景艳;叶扩会
【作者单位】保山学院大数据学院
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.再论二阶变系数线性常微分方程通解公式
2.二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式
3.二阶变系数线性微分方程的通解公式
4.特殊类型二阶变系数非齐次线性微分方程通解公式
5.特殊类型二阶变系数齐次线性微分方程通解公式
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一类二阶常系数微分方程的特解
一类二阶常系数微分方程的特解1、一类二阶常系数微分方程的特解一类二阶常系数微分方程的特解是指由一类二阶常系数微分方程的解析法得到的特殊类型的解，通常可以分析到更深的概念处。
二阶常系数微分方程是指可以描述特殊动态变化的二阶非齐次线性微分方程，包括：幂函数微分方程、初值问题微分方程和常系数微分方程。
其解决办法一般采取相应的初值解法或者是求解特解。
一类二阶常系数微分方程的特解，是通过解析方法求解二阶常系数微分方程的一种特殊类型的解。
主要有两种方法：一是通过三角函数的求解法；二是用变形方法求解。
三角函数的求解法主要是通过判别式的求解，只要判别式的解满足条件，就可以求出它的原函数的特解；而变形方法则是利用具体函数变换来求解方程，结合特定方程组相对应的变量转换，找到有解函数，得出特解。
另外，从数学思想的角度来看，微分方程的解可以分成一般解和特解，特解也可以分为线性特解和非线性特解，可以分别针对不同的理论进行求解。
因此，一类二阶常系数微分方程的特解的求解，可以通过三角函数的求解法和变形求解法来求得，而且，该特解又可以分成线性特解和非线性特解。
具体求解方法，需要结合方程函数特点，结合不同的理论，结合变量转换来完成。
总之，一类二阶常系数微分方程的特解，是一种非常有效且应用较广的解法，有助于更多的深入研究。
只要结合相应条件，分析方程特性，运用有效的求解方法，就可以比较快速地求得该特解。
2、求解连分式求法连分式求法是一种求解微积分方程的常见方法，用于求解复合型积分，其中连分式求解过程通常是分离变量，然后再单独求解。
根据连分式求解方法，首先可以将整个积分拆分成若干个独立子问题，将变量从积分符号中分离出来，因此可以采用分步进行计算。
接下来，用单变量积分，把积分拆解成一组单变量积分，其中积分的下限可以是正数，也可以是负值；同时注意积分项中变量的次数，保证每次运用到的函数本身是连续不断的。
最后，运用积分函数把积分法拆解的结果组合起来，把若干个积分的结果按正确的其他变量代入，然后就可以完成整个积分操作，求得所需结果。
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二阶变系数线性微分方程的特解张金战( 陇南师范高等专科学校, 甘肃成县 742500)摘要: 在已知二阶变系数齐次微分方程的一个非零特解的条件下, 可以得到该齐次微分方程和与它对应的非齐次微分方程的通解, 本文给出了在二阶变系数齐次微分方程的系数满足一定条件下的特解形式.关键词: 线性微分方程; 特解; 通解中图分类号: O 175.1 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9020( 2007) 02- 014- 02 1 、引言对于方程( 2) 的特解的确定, 有以下结论: 2二阶变系数线性微分方程是指定理 1 若存在实数 a,使 a+ap(x)+q(x)=0, 则方程( 2) 有特 ax解 y=e. 1y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) ( 1) 2axax2ax 证明 : 设 a+ap(x)+q(x)=0, 将 y=e,y'=ae, y"=ae代入方 111y"+p(x)y'+q(x)y=0 ( 2) 2axaxaxax 2程( 2) 的左端得 : ae+aep (x)+eq (x)=e[a+ap (x)+q (x)]=0, 即其中p( x) ,q(x),f(x)都是关于 x 的连续函数, 方程( 1) 称为 ax y=e是方程( 2) 的特解. 1二阶变系数非齐次线性微分方程, 方程( 2) 称为方程( 1) 对应 x推论1 若 q(x)+p(x)+1=0,则方程( 2) 有特解 y=e. 1的齐次微分方程. 在已知方程( 2) 的一个非零特解的条件下, - x推论 2 若 q(x)- p(x)+1=0,则方程( 2) 有特解 y=e. 1文[1]给出了求方程( 2) 的通解的刘维尔公式, 文[2]、文[3]给出推论 3 若 q(x)=0,则方程( 2) 有特解 y=1. 1了方程( 1) 的一个通解公式.这样将求解方程( 1) 和( 2) 的问题 2 定理 2 若 k?1 且 k(k- 1)+kxp(x)+xq(x)=0,则方程( 2) 有特就转化成了找出方程( 2) 的一个非零特解的问题 , 但求方程 k解 y=x. 1( 2) 的特解没有一般方法, 通常用观察法, 多数情况下难以操 2kk- 1证明 : 设 k (k- 1)+kxp (x)+xq (x)=0, 将 y=x,y'=kx,y"=k111作.本文给出在方程( 2) 的系数满足一定条件下的特解形式, k-2 k- 2k-1kk-2 (k- 1)x代入方程( 2) 的左端得 : k(k- 1)x+kxp(x)+xq(x)=x从而解决方程( 1) 和( 2) 在某些条件下的求解问题. 2k [k(k- 1)+kxp(x)+xq(x)]=0,即 y=x是方程( 2) 的特解. 12 、主要结论推论 4 若 p(x)+xq(x)=0,则方程( 2) 有特解 y=x. 1[1] 引理 1若 y(x)是方程( 2) 的一个非零特解 , 则方程( 2) 122推论 5 若 xq(x)+2xp(x)+2=0,则方程( 2) 有特解 y=x. 1的通解为 2定理 3 若[p(x)+q(x)+1]x+kx[p(x)+2]+k(k- 1)=0, 则方程( 2) kx有特解 y=xe. 12kx证明 : 设 [p (x)+q (x)+1]x+kx [p (x)+2]+k (k- 1)=0 将y=xe, 1- p(x)dxkxk- 1xkxk- 1xk- 1xk- 2x !y'=xe+kxe,y"=xe+kxe+kxe+k (k- 1)xe代入方程( 2) 11 e y=cy+cydx1121 ! 2 的左端得: y 1kxk- 1xk-1 xk-2xkxk-1 xkxxe+kxe+kxe+k(k- 1)xe+(xe+kxe)p(x)+xeq(x)k- 2x2其中表示的一个原函数, 是任意常数p(x)dx p(x)c,c.12=xe{[p(x)+q(x)+1]x+kx[p(x)+2]+k(k-1 )}=0 ![2,3] 引理 2若 y(x)是方程( 2) 的一个非零特解, 则方程( 1) 1的通解为- p(x)dx- p(x)dx! ! p(x)dx! k x e e 即 y=x e 是方程( 2) 的特解.1( yf(x)e dx) dx] y=cy+cydx+y[1121 11! !!2 2 yy 11推论 6 若 [p (x)+q (x)+1]x+p( x)+2=0, 则方程( 2) 有特解xy=xe. 1其中表示的一个原函数, 是任意常数p(x)dx p(x)c,c.12 !收稿日期: 2007- 01- 21作者简介: 张金战( 1965— ) , 男, 甘肃礼县人, 陇南师范高等专科学校数学系讲师, 教育硕士。
14张金战: 二阶变系数线性微分方程的特解 Vol.12 No.2( 2007) 第 12 卷第 2 期( 2007)2- p(x)dx推论 7 若[p(x)+q(x)+1]x+2x[p(x)+2]+2=0, 则方程( 2) 有特 ! 即 y=e 是方程(2)的特解. 2x1解 y=xe. 13 应用举例 k- 122k-2 k- 2定理4 当 k>1 时, 若 q(x)+kxp(x)+kx+k(k- 1)x=0, 则例 1 求解微分方程(x- 1)y"- 2xy'+4y=1 k x 方程( 2) 有特解 y=e. 1 2x 4 1 2x 解将方程变形为: y"- y'+ y= ,则 p(x)=- , k x- 1 x- 1 x- 1 x- 1 k- 122k-2 k-2 x 证明: 设 k>1,且q(x)+kxp(x)+kx+k(k- 1)x=0, 将 y=e, 1 k k k 4 1 4 4x k-1 x k-2 x 22k-2 x 由于 , 由定q(x)= ,f(x)= .q(x)+2p(x)+4= - +4=0y'=kxe,y"=k(k- 1)xe+kxe代入方程( 2) 的左端得: 11 x- 1 x- 1 x- 1 x- 1 k k k k k-2 x 22k-2 x k-1 x x 2xk(k- 1)xe+kxe+kxep(x)+eq(x) 理 1 知, 方程所对应的齐次方程有非零特解y=e,再由引理 2 1得方程的通解为: k x k- 122k-2 k-2=e[q(x)+kxp(x)+kx+k(k- 1)x]=01 1 1 k 2x2 x 仍记为 y=ce +c(x - x+ )+ . (- cc)122 2即 y=e是方程(2)的特解. 1 2 4 2 2 2x 2推论 8 若 q(x)+2xp(x)+4x+2=0,则方程(2)有特解y=e. 例 2 求解微分方程 xy"+2xy'- 2y=x 1定理 5 若 p(x)cosx+q(x)sinx=sinx, 则方程( 2) 有特解 2 2 1 2 2 解将方程变形为:y"+ , 则 y'- = p(x)= ,q(x)=- ,2 2 y=sinx;若 p(x)sin x-q(x)cosx=- cosx, 则方程( 2) 有特解 y=cos x. x xx x x11证明: 设 p(x)cosx+q(x)sinx=sinx, 将 y=sinx, y'=cosx, 11 1 2 2 由于 , 由推论知, 方程所对应f(x)= .p(x)+xq(x)= - x=04 2 x x xy"=- sinx 代入方程( 2) 的左端得: 1的齐次方程有特解 y =x, 再由引理 2 得方程的通解为: -sinx+p(x)cosx+q(x)sinx=- sinx+sinx= 0.1即 y=sinx 是方程( 2) 的特解. 1c1 2 y=cx+ + xlnx. 12 x3 同理可证第二个结论.- p(x)dx参考文献: ! 定理 6 若 p'(x)- q(x)=0, 则方程( 2) 有特解 y=e . 1[1]东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京: 高等教育 - p(x)dx- p(x)dx !!出版社, 1982.132~134. 证明: 设 p'(x)- q(x)=0, 将 y=e , y'=- p(x)e , 11[2]李姝菲, 赵明.二阶线性微分方程解的讨论[J].吉林师范 - p(x)dx- p(x)dx! ! 学院学报,1998.19(1) .2y"=p(x)e - p'(x)e 代入方程(2)的左端得: 1[3]胡劲松等.一种二阶变系数线性微分方程的求解方法 - p(x)dx- p(x)dx- p(x)dx-p(x)dx !!!!22[J].重庆工商大学学报( 自然科学版) ,2005,22(3). p(x)e -p'(x)e - p(x)e +q(x)e- p(x)dx !=- e [p'(x)- q(x)]=0The special Solution to Or der2 Var ious Coefficient LinearDiffer ential EquationZHANG Jin-zhan(Department of Mathematics,Longnan Teachers College,Chengxian,Gansu 742500) Abstr act: On the basis of knowing a special solution of the various coefficient linear differential equation of order 2, We can find the general solution to the homogeneous differential equation and its responding non-homogeneous differential equation.This article gives the special solution at the requirement of certain order of the order 2 various coefficient linear differential eauation. Key wor d: Linear Differential Equation; General Solution; Special Solution.责任编辑: 蒲向明15。