测量方程的新概念

测量方程的新概念
史锦顺
中国电子科技集团公司第27研究所郑州 450005
摘要探讨测量学的基础学问：测量方程与误差分析。

提出区分测得值法则，说明基于物理公式与计值公式建立测量方程的方法。

规范误差分析的程序。

给出一些常见测量项目的分析实例。

关键词区分测得值法则测量方程误差分析
测量是人类的一项基本实践活动。

生产领域，时时运作；交易场合，无处不在。

测量是科学研究的基础，是工程控制的前提。

计量是带有法制性的测量。

计量的基础是体现测量单位的基准与各级标准，计量的作用是通过监督测量工具的合格性以及测量行为的规范性来统领测量活动。

测量学是有关测量与计量的知识与学问，是近代科学的基础学科之一。

随着测量水平的提高，20世纪60年代发现方差统计中的发散困难，于是出现了阿仑方差。

阿仑方差在推动经典测量学理论发展上起了重要作用，但它本身表达有错，须改正。

各种测量仪器水平的提高，使大量测量成为统计测量（测量误差远小于量值本身的变化），经典理论不适应这一情况，测量学面临发展的客观要求。

于是出现了“不确定度”理论。

这个理论一出现，引起很大争论。

国际计量委员会在第1次表决时，18个委员竟有16票反对。

但第2年却通过了。

这个随后被ISO（国际标准化组织）等7个国际学术组织推荐的“不确定度”理论，否定作为测量学基础的真值、误差、准确度等基本概念，这就从根本上否定了测量学。

“不确定度”理论抛弃经典测量理论的合理内核，轻率地否定人类长期积累的关于测量的基本知识，偏离了科学发展的正确轨道。

“不确定度”理论只讲分散性，不讲准确性，泛滥起一股浮夸风。

测量学要完善自身，建立起严格的理论体系，才能抵御风波。

笔者的系列论文，论述测量与计量领域的一些基本问题，志在概念创新，理论创新。

尊重实践，正视变化，注重哲理性与逻辑性，既发扬经典测量学的求实传统，又辨证地清理、发展一些基本概念，从而弥补了经典测量理论的不足。

对国际计量学术界现正宣扬的“不确定度”理论，提出批评意见。

欢迎讨论。

测量学是一门基础学科，应用十分广泛。

许多项目，成绩卓著，如原子频标，已有数人获得诺贝尔奖。

然而，作为测量学基础的、又是最常用的测量方程，却一直处于混淆状态。

现行分析方法的主要问题是：照搬物理公式，未反映出测量与计量的特点；变量与常量混淆；分析结果常与事实相违。

本文依据测量与计量的特点，提出区分测得值法则。

贯彻这个法则，在最通用的一些领域，给出新的测量方程。

以新测量方程为基础，形成两套分析误差的规范化程序：（1）微分法：比较计值公式与物理公式，建立测量方程；分辨变量、常量；求微分、偏差、相对差。

（2）小量法：比较计值公式与物理公式，建立测量方程，写出测得值函数的相对值形式；分辨变量、常量，将变量展成常量加小量；近似计算，求得相对差。

1 区分测得值法则
测量是人们定量认识事物的一种手段。

测量的具体操作是将待测量与已知量相比较，以确定待测量与选定单位的比值。

这个比值与所选单位结合起来，构成测得值。

物理学研究物理量的规律，物理公式表达物理量间的关系。

物理公式超脱测量误差。

测量学的任务在于研究测得值。

研究如何取得测得值（测量方法），如何使测得值接近实际值（精度设计），给出测得值与实际值偏差程度（误差分析）。

要研究测得值的规律，就必须将测得值同实际值区分开。

还要使测量中所用量的标称值同实际值相区分；使认定值同实际值相区分。

区分测得值是本文提出的关于测量理论的一条基本法则。

贯彻这一法则，各种测量公式便从物理公式的原形中脱胎、独立出来，成为测量的专用公式，称为计值公式，即测量公式。

测量理论研究的核心内容是测得值与被测量的关系。

比较计值公式与物理公式，建立测量方程，得出测得值函数。

分辨常量、变量，求微分、差分，于是便顺理成章地形成误差分析的程序。

这样做，理顺了误差分析的逻辑关系，使测量理论立足于明晰的物理概念与严格的数学分析的基础之上。

2 新测量方程
2.1 频率计测量方程
以高稳定的频率源为基础的精确的频率测量，在现代高精度测量中占重要地位。

计数式频率计是最基本最常用的测频仪器。

现行教科书上给出的计数式频率计的公式为：
T
N f =
n r
m T N
f =f
NT T
N f n r m =r n
n r m dN NT Tf
dT NT f N df += (1)
式中N 为计数值，T 为闸门时间。

由于没有区分测得值和实际值，用以分析，常常出错。

此式明显标示，频率与闸门时间成反比。

由此，若内标频率偏低，则闸门时间长，则频率值小；其实，恰恰相反：内标频率偏低，必有闸门时间值偏大，必定频率测得值偏大。

式(1)是物理公式，不便直接用于分析测量问题；以往硬这样做，难免出错。

有些作者看到了这一点，用取绝对值的办法来避免正负号的矛盾，这不能算错，但绕开矛盾，实际上也掩盖了矛盾。

要做几种区分：区分频率的测得值与实际值；区分闸门时间的标称值与实际值；区分N 的显示值与实际值。

计数式频率计的计值公式（测量公式）为：
(2)
式中f m 是测得值（被测频率的实际值是f ），T n 是闸门时间的标称值(闸门实际时间是T )，N r 是计数器的指示值。

N r 区别于由fT 乘积决定的周期N 。

前者有±1误差。

T n 通常为1秒，或1秒的10±N 倍。

分析测得值，就是分析测得值同实际值的差别，就是将测得值同实际值相比较。

比较的方法之一是二者相除。

实际值做除数，即做标准。

计值公式(2)除以物理公式(1)，得测量方程：
(3)
注意，我们研究的是测量问题（可设想是在用几台仪器同时测量同一物理量），被测频率的客观值f 是常量，闸门时间标称值T n 是常量，客观存在的数N 是常量；闸门时间实际值T 是变量，读数N r 是变量，测得值f m 是变量。

易见测量方程表达的关系，就是测得值函数。

A 微分
(4)
r
n n r m N NT Tf T NT f N f ∆+∆=∆r
r
m N N T T f ∆+
∆=
δB f K
T 1
=B
B f f T T
∆-=∆r B m N f f δδδ+-=P
L πφ
2= B 偏差
(5)
C 相对差
(6)
因闸门时间由内标（频率为fB ）分频而来，有
(7)
（7）式代入（6）式，得
(8)
2.2 测微器测量方程
螺旋测微器是长度测量中常用的量具。

书上表达如下。

(9)
式中 L ：测微螺杆的移动距离(mm)； p ：测微螺杆的螺距(mm)； φ：测微螺杆的旋转角度(rad)。

通常，测微螺杆的螺距为0.5mm ，而微分筒圆周斜面上刻有50个分度，因此当微分筒旋转一周时，测微螺杆轴向位移0.5mm ，微分筒旋转一个分度(1/50转)，测微螺杆移动0.01mm ，
P
L
π
φ2=P
L 50φ
=n
r m P L 50φ
=L
p P L n r m φφ=dP
P L P d P L P dL n r r n m 2φφφφ-=故常用千分尺的最小分度值是0.01mm 。

现行这种表示法，没有区分测得值与实际值。

按式（9）分析，测得值L 与螺距P 成正比。

这是不对的。

实际情况是，螺距偏大，测得值偏小 。

这类似于以下事实：一根钢棍用尺量，尺大则测得值偏小，尺小则测得值偏大。

新概念测量方程表述如下： 1）物理公式
（弧度） (10)
圆周既已等分50分度，φ用刻度时，(10)式可表为：
(11)
2）计值公式
(12)
式中P n 为螺距的标称值，φr 为格数示值，L m 为长度测得值。

3）测量方程
计值公式(12)除以物理公式（11），得测量方程：
(13)
4）微变关系
变量 L m ：测得值；φr ：转角读数值；P ：螺距实际值。

A 微分
(14)
B 偏差
P
P L P P L P L n r r n m ∆-∆=∆2φφφφP P
L L r r m m ∆-
∆=∆φφP L r m δδφδ-=Nv V =n
r m v N V =V
v N v N V n r m =dv
Nv V v N dN Nv V v dV n r r n m 2-=v
Nv
V
v N N Nv V v V n r r n m ∆-∆=∆2
(15)
C 相对差
(16)
(17)
2.3 容积测量方程 1）物理公式
(18)
式中v 是容积量具的实际容积。

2）计值公式
(19) 式中v n 是容积量具的标称容积。

3）测量方程
(20)
4）微变关系
变量 V m ：容积测得值； v ：容积量具的实际容积；计数值N r 。

A 微分
(21)
B 偏差
(22)
v
N V r m δδδ-=mgL
MgL M =L
L m M M =r
M n m L L m M =M
m L L
m M r n m =dm
L
m M L m dL m L M m dM r n r n m 2-=m
L
m M
L m L mL M m M r n r n m ∆-∆=∆2 C 相对差
(23) 2.4 杆秤测量方程 1）物理公式
(24)
式中M 表被测物体重量（重量即质量），m 表砣质量，L M 是物臂长，L 为砣臂长。

砣臂长从零点起算。

零点是物重为零时的平衡点。

g 为测量处的重力加速度。

g 与称重结果无关。

2）计值公式
(25)
式中M m 为物体重量测得值，m n 为砣质量标称值，L r 为砣臂长读数值。

3）测量方程
(26)
4）微变关系
变量 M m ：物体重量测得值； L r ：杆秤砣臂长读数值；m ：秤砣的实际质量。

A ）微分
(27)
B ）偏差
(28)
m
L M r m δδδ-=3
2
1R R R R x =n n
n
xm R R R R 321=
C ）相对差
(29) 2.5 电桥测量方程
R 1 R 2
G
R x R 3
图 1.1
1）物理公式
满足电桥平衡条件的值是电阻的实际值。

(30)
2）计值公式
测量求值时用的是电阻的标称值（或认定值）。

(31) 3）测量方程
x
n n n xm R R R R R R R R 321321=3
232132123213113221321dR R R R R
R R R dR R R R R R R dR R R R R R R R dR n x n n n x n n n x n n xm -+-=3
232132123213113221321R R R R R
R R R R R R R R R R R R R R R R R R R n x n n n x n n n x n n xm ∆-∆+∆-=∆3
21R R R R xm δδδδ-+-= (32)
4）微变关系
变量：被测电阻测得值R m ，桥臂电阻实际值R 1、R 2、R 3。

A 微分
(33)
B 偏差
(34)
C 相对差
(35)
3 基于测量公式的小量分析法
微积分是十分重要的数学理论。

用微分来处理误差问题，是微分学的重要应用；进行误差分析，常要作微分。

这里提出小量计算法，作为一种独立的处理误差问题的方法。

小量计算法可避免使用微分公式；小量计算法还有比微分方法好的地方：作法与结果的物理意义更明晰，逼着人去区分测得值，区分变量和常量。

3.1 小量计算公式
微积分是物理学家牛顿发明的。

这个方法帮助牛顿建立了物理学史上的伟业。

但微积分学的严格理论是莱布尼兹建立的，他用的是极限理论。

在处理误差问题的特定条件下，还可以另辟途径，用小量法。

小量法不仅简便，还可以促进建立测量方程，促进分辨变量和常量，避免出现由于对微分法理解不当而产生的错误。

∆
+=+=∆+=∆+111A A
A
A A A δ()()()()()()21213322111311311211211∆+∆+=∆+∆+∆
-=∆-∆+=∆+∆-=∆-∆
+=∆+()()()()()()2
121213
233232
22211133113311211211∆∆+∆+∆+=∆+∆+∆-∆+∆-=∆-∆+∆+∆+=∆+∆+∆-=∆-∆+∆+=∆+()()111=∆-∆+∆+=⎪⎭
⎫
⎝⎛∆+1212
()()1
11=∆-∆+∆-=⎪⎭
⎫
⎝⎛∆-1212
∆-=∆
+111
∆+=∆
-111
2
11∆+
=∆+2
11∆-
=∆-这种错误的典型例子是对多卜勒测速误差的分析。

在正常情况下，与量值本身相比，误差量总是小量。

我们将通常的量值加误差的绝对形式写成相对形式：
式中将相对误差δA 记为Δ，必有Δ＜＜1。

例如，Δ＜0.01。

考察到Δ量级，Δ的2次方以及高次方项可略（同理，两个或两个以上不同Δ相乘项可略）。

公式 全写
公式 理由
∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+1313∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-1313
3113
∆+=∆+3113∆-=∆-n r m NT T N f f =()()n n r m NT T T N N f f f ∆+∆+=∆+T
N f r m δδδ++=+11T
N f r m δδδ+=
这些易懂的小量公式，最常用。

倘遇到其他运算方式或函数形式，可查数学手册，泰勒展开式略去2次方以上项即可。

3.2 小量法处理误差问题的程序
首先写出物理公式，再写出计值公式，将计值公式除以物理公式，便得到测量方程。

由测量方程写出测得值函数的相对值表达形式。

分辨变量与常量，将变量展成常量加小量；近似计算（忽略二阶小量），得相对误差量。

4 小量法处理误差问题实例
4.1小量法处理记数式频率计误差
1）测量方程的相对值形式
将计值公式（2）除以物理公式（1），得频率计的相对值形式的测量方程：
(45)
2）微变关系
变量 测得值f m ；读数N r ；实际闸门时间T 。

A 变量展开成常量加小量
B 相对差
(46)
B f K T 1=o B n f K T 1=B Bo
n f f T T =B Bo Bo n n f f f T T T ∆+=∆+B B
f f T δδδ-=+=+1111B
f T δδ-=r B m N f f δδδ+-=P P L L n r m φφ=
因闸门时间由内标频率（频率为f B ）分频而来，有
(47)
(48)
(48)式代入(46)式，得：
(49)
4.2 小量法处理测微器偏差
1）测量方程的相对值形式
计值公式(12)除以物理公式（11），得
(50)
2）微变关系
变量 φr ：转角读数值；P ：螺距实际值。

()()
P P P L L L n n r m ∆+∆+=∆+φφφP
L r m δδφδ-=Nv v N V V n r m =()()v v N v N N V V V n n r m ∆++=∆+()()v N V r m δδδ-+=+111v Nr V m δδδ-=L m M r n m = A 变量展开成常量加小量
B 相对差
(51)
4.3 小量法处理容积测量偏差
1）测量方程的相对值形式
计值公式（19）除以物理公式（18），得
(52)
2）微变关系
变量 V m ：容积测得值；v ：容积量具的实际容积；记数值N r 。

A 变量展开成常量加小量
B 相对差
(53)
4.4 小量法处理杆秤测量偏差
1）测量方程的相对值形式
计值公式（25）除以物理公式（24），得
()L m m L m M M M n r n m ∆+∆+=∆+()()
m L M r m δδδ-+=+111m
L M r m δδδ-=3
32211R R R R R R R R n n n x xm =333222111R R R R R R R R R R R R n n n n n n x xm x ∆+∆+∆+=∆+()()()
3211111R R R R xm δδδδ-+-=+321R R R R xm δδδδ-+-= (54)
2）微变关系
变量 M m ：重量测得值；L r ：杆秤砣臂长读数值；m ：秤砣的实际质量。

A 变量展开成常量加小量
B 相对差
(55)
4.5 小量法处理电桥测量偏差
1）测量方程的相对值形式
计值公式（31）除以物理公式（30），得
(56)
2）微变关系
A 变量展开成常量加小量
B 相对差
(57)
5 统计测量与量值区分
B
f K T 1=B Bo
n f f T T =B Bo Bo n n f f f T T T ∆+=∆+B B
f f T δδδ-=+=+1111o B n f K T 1= 以上讲的测量是指常规测量，也就是物理量变化远小于测量误差的情况。

实用测量还有一种重要情况：测量误差可略，而物理量变化较大。

这是统计测量。

统计测量分两步骤：先测量，再统计。

上述区分测得值法则推广到这种情况，说法要有所变化。

这里已无必要区分测得值与实际值。

区分的思想要贯彻在后半段：区分变量与常量。

统计测量，应区分实际值与标称值（或目标值），实际值是变量。

于是，区分测得值（从实际值与测得值中区分出测得值来）变成区分实际值（从实际值与标称值中区分出实际值）。

例如，前面在推导计数式频率计的测频方程的过程中，用到闸门时间T ，因闸门时间由内标（频率为fB ）分频而来，对函数T （它是实际值，它是分频系数K 、晶振内标频率f B 的函数，对特定频率计，K 为常数）求微分，写成相对差形式，即得表达式（7）。

这是找出变化关系，这里隐含着一层意思：变化是有比较标准的，那就是晶振频率标称值。

用小量法处理此问题，更符合统计测量的特征，能显明地体现标称值的作用。

再详细说明一下小量法的解题过程。

闸门时间的实际值公式为：
标称值公式为：
实际值对标称值的相对关系式：
实际值是变量，标称值是常量，将实际值展开成标称值加小变量
得到实际值变化的相对量关系：
B
f T δδ-=
用小量法处理此问题，体现出标称值（或目标值）的作用，更符合统计测量的特征。

附记 20多年前的一次讨论会上，当有人指摘我的时频正比观（计时量与钟频率成正比）时，北大王义遒教授（曾任北大常务副校长）在会上肯定了我的说法。

会后，他跟我说，你的理论可以推广。

比如一根钢棍用尺量，长度与尺长的关系就是这类问题。

经十多年琢磨，方领悟区分测得值这个要点，现作为法则提出，可普遍地推广到测量各个领域。