《二维形式的柯西不等式》学习任务单

《二维形式的柯西不等式》学习任务单
一、学习目标
1、理解二维形式的柯西不等式的代数形式和向量形式。

2、掌握二维形式的柯西不等式的证明方法。

3、能够运用二维形式的柯西不等式解决简单的最值问题和不等式证明问题。

二、学习重点
1、二维形式的柯西不等式的代数形式和向量形式。

2、二维形式的柯西不等式的证明。

三、学习难点
1、运用二维形式的柯西不等式解决实际问题。

2、理解柯西不等式取等号的条件。

四、知识回顾
1、基本不等式：对于任意两个正实数 a、b，有\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

2、向量的数量积：＼（＼vec{a} ＼cdot ＼vec{b} ＝｜＼
vec{a}｜｜＼vec{b}｜＼cos ＼theta\），其中\（＼theta\）为\（＼
vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的夹角。

五、新课引入
我们在解决一些不等式问题时，基本不等式有时不能满足需求，这
时候就需要更强大的工具——柯西不等式。

六、二维形式的柯西不等式的代数形式
若\（a\），＼（b\），＼（c\），＼（d\）都是实数，则\（（a^2 ＋
b^2)（c^2 ＋ d^2) ＼geq （ac ＋ bd)＾2\），当且仅当\（ad ＝ bc\）时，等号成立。

证明：
＼
＼begin{align}
＆（a^2 ＋ b^2)（c^2 ＋ d^2) （ac ＋ bd)＾2\＼
＝＆a^2c^2 ＋ a^2d^2 ＋ b^2c^2 ＋ b^2d^2 （a^2c^2 ＋ 2abcd ＋
b^2d^2)＼＼
＝＆a^2d^2 2abcd ＋ b^2c^2\＼
＝＆（ad bc)＾2
＼end{align}
＼
因为\（（ad bc)＾2 ＼geq 0\），所以\（（a^2 ＋ b^2)（c^2 ＋ d^2)
＼geq （ac ＋ bd)＾2\），当且仅当\（ad bc ＝ 0\），即\（ad ＝ bc\）时，等号成立。

七、二维形式的柯西不等式的向量形式
设\（＼vec{＼alpha} ＝（a, b)＼），＼（＼vec{＼beta} ＝（c, d)＼），则\（｜＼vec{＼alpha} ＼cdot ＼vec{＼beta}｜＼leq ｜＼vec{＼alpha}｜｜＼vec{＼beta}｜＼），当且仅当\（＼vec{＼alpha}＼）与\（＼vec{＼beta}＼）共线时，等号成立。

证明：
＼
＼begin{align}
＼vec{＼alpha} ＼cdot ＼vec{＼beta} ＆＝ ac ＋ bd\＼
｜＼vec{＼alpha}｜＆＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼＼
｜＼vec{＼beta}｜＆＝＼sqrt{c^2 ＋ d^2}＼＼
＼end{align}
＼
因为\（｜＼vec{＼alpha} ＼cdot ＼vec{＼beta}｜＝｜ac ＋ bd|＼），＼（｜＼vec{＼alpha}｜｜＼vec{＼beta}｜＝＼sqrt{（a^2 ＋ b^2)
（c^2 ＋ d^2)｝＼），所以由二维形式的柯西不等式的代数形式可得\（｜＼vec{＼alpha} ＼cdot ＼vec{＼beta}｜＼leq ｜＼vec{＼alpha}｜｜＼vec{＼beta}｜＼），当且仅当\（ad ＝ bc\），即\（＼vec{＼alpha}＼）与\（＼vec{＼beta}＼）共线时，等号成立。

八、柯西不等式的应用
1、证明不等式
例：已知\（a\），＼（b\）为实数，证明：＼（（a^4 ＋ b^4)（a^2 ＋ b^2) ＼geq （a^3 ＋ b^3)＾2\）
证明：
＼
＼begin{align}
＆（a^4 ＋ b^4)（a^2 ＋ b^2) （a^3 ＋ b^3)＾2\＼
＝＆（a^6 ＋ a^4b^2 ＋ a^2b^4 ＋ b^6) （a^6 ＋ 2a^3b^3 ＋ b^6)＼＼
＝＆a^4b^2 2a^3b^3 ＋ a^2b^4\＼
＝＆（a^2b ab^2)＾2\＼
＼end{align}
＼
因为\（（a^2b ab^2)＾2 ＼geq 0\），所以\（（a^4 ＋ b^4)（a^2 ＋b^2) ＼geq （a^3 ＋ b^3)＾2\）
2、求最值
例：求函数\（y ＝ 2\sqrt{x} ＋＼sqrt{4 x}＼）的最大值。

解：
＼
＼begin{align}
y^2 ＆＝（2\sqrt{x} ＋＼sqrt{4 x}）＾2\＼
＆＝（2^2 ＋ 1^2)（＼sqrt{x}）＾2 ＋（＼sqrt{4 x}）＾2\＼
＆＼leq （2^2 ＋ 1^2)（x ＋ 4 x)＼＼
＆＝ 5 ＼times 4\＼
＆＝ 20
＼end{align}
＼
所以\（y ＼leq ＼sqrt{20} ＝ 2\sqrt{5}＼），当且仅当\（＼frac{＼sqrt{x}｝｛2} ＝＼frac{＼sqrt{4 x}｝｛1}＼），即\（x ＝＼frac{16}｛5}＼）时，＼（y\）取得最大值\（2\sqrt{5}＼）。

九、课堂练习
1、已知\（a\），＼（b\）为实数，且\（a ＋ b ＝ 1\），求证：＼（（a ＋ 1)＾2 ＋（b ＋ 1)＾2 ＼geq ＼frac{9}｛2}＼）
2、求函数\（y ＝＼sqrt{2x 1} ＋＼sqrt{5 2x}＼）的最大值。

十、课后作业
1、证明：＼（（a^2 ＋ b^2)（c^2 ＋ d^2) ＼geq （ac ＋ bd)＾2\），并讨论等号成立的条件。

2、已知\（x ＋ 2y ＝ 1\），求\（x^2 ＋ y^2\）的最小值。

3、求函数\（y ＝ 3\sqrt{x 1} ＋＼sqrt{8 2x}＼）的最大值。

通过以上的学习任务单，希望同学们能够深入理解二维形式的柯西
不等式，并且能够熟练运用它解决各种数学问题。