2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学(文)B

2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（文）B
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为
120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，
有且只有一个是符合题目要求的） 1．（题1）
设集合{|4},sin 40A x x m ==︒≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m A ⊂ B ．m A ⊄ C ．{}m A ∈ D ．{}m A ∉ 【解析】 D ；
正确的表示法，m A ∈，{}
m A ，{}m A ∉．
2．（题2）
设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于（ ）
A
B C D 【解析】 A ；
a b ∥，则2(2)104y y ⨯--⋅=⇒=-，从而3(1,2)+=a b ． 3．（题3）
下列函数中，既是奇函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ） A ．12
t x =
B ．1y x -=
C ．3y x =
D ．2x y =
【解析】 C ；
AD 不是奇函数，B 在(0,)+∞上是减函数．
4．（题4）
设i 是虚数单位，则复数(1i)2i z =+⋅所对应的点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 B ；
22i z =-+
5．（题5）
若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π
3
S =
，则6tan a 的值为（ ）
A B ．C ． D ． 【解析】 B ；
由1112105762a a a a a a a +=+=
=+=，可得11611S a =，∴62
π3
a =
． 6．（题6） 设函数32
()log x f x a x
+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(1,log 2)-- B ．3(0,log 2)
C ．3(log 2,1)
D ．3(1,log 4)
【解析】 C ；
32()log 1f x a x ⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭在(1,2)上是减函数，由题设有(1)0,(2)0f f ><，得解．
7．（题7）
在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC △的面积，若
2221
cos cos sin ,()4
a B
b A
c C S b c a +==+-，则B ∠=（ ）
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
【解析】 C ；
由余弦定理可知cos cos a B b A c +=，于是sin 1C =，π
2
C =
． 从而22222111
()()244
S ab b c a b b ==+-=+，解得a b =，因此45B ∠=︒．
8．（题8）
设圆C 的圆心在双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直
线:0l x -=截得的弦长等于2，则a 的值为（ ）
A B C ．2 D ．3
【解析】 A ；
圆C 的圆心C 0ay ±=，C 到渐近线的距
离为d =
=C 方程22(2x y -+=．由l 被圆C 截得的
弦长是2及圆C 的半径为可知，圆心C 到直线l 的距离为1，即
1a =⇒=．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．（题9）
把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是．
【解析】0.12；
15171113
10.320.12
100100100100
-----=．
10．（题10）
命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是．
【解析】存在一个常数列不是等比数列；
全称命题的否定是存在性命题．
11．（题11）
若将下面的展开图恢复成正方体，则ABC
∠的度数为．
11题图C
B
A
【解析】60︒；
恢复的图形如图，ABC
△是正三角形，60
ABC
∠=︒．C
B
A
12．（题12）
执行如图程序框图，输出S的值等于．
12题图
【解析】20；
运算顺序如下
1,1,23,4,36,10,410,20,54
A S i A S i A S i A S i
===→===→===→===>，输出S，故20
S=．
13．（题13）
设,x y∈R，且满足20
x y
-+=，
的最小值为；若,x y又满足4
y x
>-，
则y
x
的取值范围是．
【解析】
；
=1
x y
=-=-时取等号；
画出
20
4
x y
y x
-+=
⎧
⎨
>-
⎩
的可行域，为射线SP（如图），要求的就是SP上的点与原点连线的斜率，易算出(1,3)
S，斜率的范围为(1,3)．
14．（题14） 有下列命题：
①0x =是函数3y x =的极值点；
②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ． 【解析】 ①；
3y x =在R 上单调增，没有极值点，①错；
2()32f x ax bx c '=++，()f x 有极值点的充要条件是()0f x '=有两个不相等的实根，
24120b ac ∆=->，也即230b ac ->，②正确；
()f x 是奇函数，则(0)00f n =⇒=，由()()f x f x -=-，可得2(1)0m x -=，因此
1m =，所以3()48f x x x =-．当(4,4)x ∈-时，2()3483(4)(4)0f x x x x '=-=+-<，故()f x 在(4,4)x ∈-上是单调减函数．
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（题15）
已知函数22()2sin cos sin cos ()2222
x x x x
f x a a =+-∈R
⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式； ⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求
cos 21sin 2x
x +的值．
【解析】
⑴π()sin cos 4f x x x x ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭
最小正周期为2π，
由πππ42x k -=+，得3π
π()4
x k k =+∈Z
⑵当2,()0a f x ==时，解得1
tan 2x =，
22
2cos 2cos sin cos sin 1tan 1
1sin 2(cos sin )cos sin 1tan 3
x x x x x x x x x x x x ---====++++．
16．（题16）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，AD BC >，,E F 分别为棱,AB PC 的中点． ⑴求证：PE BC ⊥；
⑵求证：EF ∥平面PAD ．
F
E D
C
B
A P
【解析】 ⑴∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD
∴PA BC ⊥ ∵90ABC ∠=︒ ∴BC AB ⊥
∴BC ⊥平面PAB 又E 是AB 中点， ∴PE ⊂平面PAB ∴BC PE ⊥．
⑵证明：取CD 中点G ，连结FG ，EG ，
G
F
E D
C
B
A P
∵F 为PC 中点，∴FG PD ∥．
∵FG ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴FG ∥平面PAD ； 同理，EG ∥平面PAD ． ∵FG EC G =，
∴平面EFG ∥平面PAD ． ∴EF ∥平面PAD ．
17．（题17）
某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选
⑴请完成此统计表；
⑵试估计高三年级学生“同意”的人数；
⑶从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率． 【解析】 ⑴由分层抽样可知，男生、女生和教师被抽取的人数分别为5,6,2，被调查人答卷
⑵23
126105426310565
⨯+⨯=+=（人）
⑶设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；
其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8
种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为8
15
．
18．（题18） 已知函数3221
()(1)(,)3
f x x ax a x b a b =-+-+∈R
⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；
⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；
⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围． 【解析】 ⑴22()21
f x x ax a '=-+-
∵1x =是()f x 的极值点，
∴(1)0f '=，即220a a -=，解得0a =或2． ⑵∵(1,(1))f 在30x y +-=上．∴(1)2f =
∵(1,2)在()y f x =上，∴21
213
a a
b =-+-+
又(1)1f '=-，∴21211a a -+-=-
∴2210a a -+=，解得8
1,3
a b ==
∴22218
(),()233
f x x x f x x x '=-+=-
由()0f x '=可知0x =和2x =是()f x 的极值点．
∵84
(0),(2),(2)4,(4)833
f f f f ==-=-=
∴()f x 在区间[2,4]-上的最大值为8．
⑶因为函数()f x 在区间(1,1)-不单调，所以函数()f x '在(1,1)-上存在零点． 而()0f x '=的两根为1a -，1a +，区间长为2， ∴在区间(1,1)-上不可能有2个零点． 所以(1)(1)0f f ''-<，即2(2)(2)0a a a +-<． ∵20a >，∴(2)(2)0,22a a a +-<-<<． 又∵0a ≠，∴(2,0)(0,2)a ∈-．
19．（题19）
已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点(A -是其左顶点，点C 在椭圆上且0,||||AC CO AC CO ⋅==．
⑴求椭圆的方程；
⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．
【解析】 ⑴设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
∵左顶点(,||||A AC CO AC CO -⊥=．
∴212a =，(C
又∵C 在椭圆上， ∴233
112b
+=，24b = ∴椭圆的标准方程为22
1124
x y +=．
⑵设1122(,),(,)M x y N x y
∵CO 的斜率为1-，∴设直线l 的方程为y x m =-+，
代入
22
1124
x y +=，得22463120x mx m -+-=． 2212
2123644(312)0323124
m m m x x m x x ⎧
⎪∆=-⋅->⎪
⎪
+=⎨⎪
⎪-⋅=⎪⎩
∴||MN ==又C 到直线l
的距离d
∴CMN △
的面积1||2S MN d =⋅⋅=
22162
m m +-=，
当且仅当2216m m =-
时取等号，此时m =± ∴直线l
的方程为0x y +±=．
20．（题20）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点1(,)n n S S +在直线*1
1()n y x n n n
+=++∈N 上． ⑴求证：数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
⑵若数列{}n b 满足2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； ⑶设23
2n
n n T C +=
，求证：122027
n C C C +++>
． 【解析】 ⑴∵点1(,)n n S S +在直线1
1n y x n n
+=
++*()n ∈N 上， ∴11
1n n n S S n n
++=
++． 两边同除以1n +，得111n n S S
n n
+-=+，
于是n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以3为首项，1为公差的等差数列．
⑵由⑴可知，3(1)12n S
n n n
=+-⨯=+，即2*2()n S n n n =+∈N ，
∴当1n =时，13a =，
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，
经检验，当1n =时也成立，∴*21()n a n n =+∈N ． 于是212(21)2n a n n n b a n +=⋅=+⋅． ∵3521211213252(21)2(21)2n n n n n T b b b b n n -+-=++
++=⋅+⋅+
+-⋅++⋅，
∴5212123432(23)2(21)2(21)2n n n n T n n n -++=⋅+
+-⋅+-⋅++⋅，
相减，解得：232
1823
99n n T n +⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．
⑶∵232111()23994
n
n n n T n C +==+-⋅，
∴12111442(1)111329914
n
n n n C C C n ⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦+++=⋅+⋅-⋅
-
2
34111()927274n n n +=-+⋅
2
3417120
92792727
n n +>--=
≥．
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