2020-2021济南市稼轩中学高中三年级数学下期中第一次模拟试卷(及答案)

2020-2021济南市稼轩中学高中三年级数学下期中第一次模拟试卷(及答案)
一、选择题
1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *
}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x
＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
3．若直线()10,0x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
4．设2z x y =+，其中,x y 满足20
00x y x y y k +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为
（ ） A ．9-
B ．12
C ．12-
D ．9
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
7．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12
B ．10
C
．D
．8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2
cos 22A b c c
+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
9．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95
B ．100
C ．135
D ．80
10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒
，a
=4b =，则B =（ ）
A ．30
B =︒或150B =︒ B ．150B =︒
C ．30B =︒
D ．60B =︒
11．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ）
A．22B．24C．26D．28
12．两个等差数列{}n a和{}n b，其前n项和分别为n S，n T ，且
72
3
n
n
S n
T n
+
=
+，则
220
715
a a
b b
+
=
+（）
A．
4
9
B．
37
8
C．
79
14
D．
149
24
二、填空题
13．在ABC
∆中，角,,
A B C所对的边为,,
a b c，若23sin
c ab C
=，则当
b a
a b
+取最大值时，cos C=__________；
14．设函数2
()1
f x x
=-，对任意2,
3
x
⎡⎫
∈+∞⎪
⎢
⎣⎭
，2
4()(1)4()
x
f m f x f x f m
m
⎛⎫
-≤-+
⎪
⎝⎭
恒成立，则实数m的取值范围是 .
15．已知函数()2x
f x=，等差数列{}n a的公差为2，若()
246810
4
f a a a a a
++++=，则
()()()()
212310
log f a f a f a f a
⋅⋅⋅⋅=
⎡⎤
⎣⎦
L___________.
16．观察下列的数表：
2
4 6
8 10 12 14
16 18 20 22 24 26 28 30
…… ……
设2018是该数表第m行第n列的数，则m n⋅=__________．
17．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()
2
21
n n
a S n*
-
=∈N．若不等式
()()1
1
181
n n
n
n
a n
λ+
+
-+⋅-
≤对任意的n*
∈N恒成立，则实数的取值范围是．18．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=______________．
19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 20．若已知数列的前四项是
2112+、2124+、2136+、2
1
48
+，则数列前n 项和为______. 三、解答题
21．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)令3n
n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
22．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和T n ． 23．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2
22sin 2cos 22
B A
a b b c +=+． （1）求B ；
（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围． 24．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S .
25．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?
(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.
(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3n
n n
b c a =
,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 26．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1
2n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】
由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，
由余弦定理得2222222512116923
cos 022511110
a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，
因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】
本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3．C
解析：C 【解析】 【详解】 因为直线
()10,0x y
a b a b
+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此
114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
4．B
解析：B 【解析】
作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】
作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+， 联立20
x y y k
+=⎧⎨
=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则
()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，
联立0
x y y k
-=⎧⎨
=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，
max 24412z =⨯+=.
故选：B.
【点睛】
本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
, 故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
Q 数列{}n a 是等比数列,
则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
7．A
解析：A 【解析】
由已知24356a a q q +=+=，∴2
2q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2
cos
22A b c c
+=，所以1cosA 22b c
c
++=,()
ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此
cosC 0C 2
π
==
，,选A.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】
由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，
()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦
故选B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。

10．C
解析：C 【解析】 【分析】
将已知代入正弦定理可得1
sin 2
B =
，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】
解：60A =︒Q ，a
=4b =
由正弦定理得：sin 1
sin
2b A B a =
== a b >Q
60B ∴<︒ 30B ∴=︒
故选C. 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.
11．D
解析：D
【解析】
试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=
，则
考点：等差数列的性质
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =, 故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以1111
149
24a b = 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质：
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
二、填空题
13．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公 213
【解析】 【分析】
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b a
a b
+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出
b a
a b +()13sin C ϕ=+，当2
C πϕ+=时，b a
a b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】
在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，
所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab
++++====+
()13sin C ϕ=+，其中213sin 13ϕ=
，313
cos 13
ϕ=， 当
b a a b +取得最大值13时，2C πϕ+=，∴213cos cos sin 213C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
．
故答案为：213
13
. 【点睛】
本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
14．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为
解析：33
,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭
【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，由于函数2
()1f x x =-，对任意2,3
x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫
-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，22222()4(1)(1)11x
m x x m m
--≤--+-，分离参数的思想可知，
,
递增，最小值为
53
，
即可知满足33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
即可成
立故答案为,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
． 15．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-
【解析】 【分析】
根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出62
5
a =
，并得出568
25
a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.
【详解】
依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且5628
2255
a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫
++++=
=+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭
L ， 而()()()()1
2310
61231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，
因此，()()()()6
2123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .
故答案为6-. 【点睛】
本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.
16．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行
解析：4980 【解析】 【分析】
表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解. 【详解】
解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字， 2018是该表的第1009个数字，
由19021100921-<<-，
所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字， 由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置， 即104984980m n =⨯=g
， 故答案为：4980 【点睛】
此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．
17．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题
解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
得
821
n n n λ
-≤
+，即(8)(21)
n n n
λ-+≤， (8)(21)8
215n n y n n n
-+=
=--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-
当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤
=++，函数8
217y n n
=++，
当3n =时取得最小值为
773
，即77,3λ-≤所以77
3λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．
18．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际
【解析】 【分析】
在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】
在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ，
由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，
所以BC =,
由正弦定理可得sin sin 7
AB ACB BAC BC ∠=
⋅∠=
，
因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos 7
ACB ∠=
所以cos cos(30)cos cos30sin sin 30ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】
本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．
19．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-
【解析】 【分析】
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
20．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用
解析：
()()
323
4212n n n +-++ 【解析】 【分析】
观察得到21111222n a n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
，再利用裂项相消法计算前n 项和得到答案. 【详解】 观察知()2
111112222n a n n n n n n ⎛⎫=
==- ⎪+++⎝⎭
. 故数列的前n 项和11111
113111...232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()()
323
4212n n n +=
-++. 故答案为：()()
3234212n n n +-++. 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
三、解答题
21．（1）2n a n =；（2）S n ＝212
n -•3n +1+3
2
【解析】 【分析】
（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求通项公式；
（2）求得b n ＝2n •3n ，由数列的错位相减法求和即可． 【详解】
（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 3＝6，且前7项和T 7＝56． 可得a 1+2d ＝6，7a 1+21d ＝56，解得a 1＝2，d ＝2，则a n ＝2n ； （2）b n ＝a n •3n ＝2n •3n ，
前n 项和S n ＝2（1•3+2•32+3•33+…+n •3n ）， 3S n ＝2（1•32+2•33+3•34+…+n •3n +1），
相减可得﹣2S n ＝2（3+32+33+…+3n ﹣n •3n +1）＝2•（(
)31313
n --﹣n •3
n +1
），
化简可得S n ＝212
n -•3n +1+3
2．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．
22．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）311
42(1)2(2)
n n --++. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴
，解
得．
∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，
当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．
当n=1时，b 1=3适合上式，所以．
∴
．
∴
= =
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1
(1)n a n n =+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++；
（2）已知数列的通项公式为1
(21)(21)
n a n n =
-+，求前n 项和：
1111
()(21)(21)22121
n a n n n n =
=--+-+；
（3）已知数列的通项公式为1
n a n n =
++n 项和:.
11
n a n n n n =
=+++23．（1）3B π
=；（2）3⎤
⎥⎣⎦
. 【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出cos B 的值后即可求出B 的值；
（2）根据余弦定理先求解出b 的取值范围，然后根据sin sin c B
C b
=求解sin C 的取值范围. 【详解】
（1）已知得2
(1cos )12cos
2A a B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝
⎭
， 由正弦定理得sin sin cos sin sin cos A A B C B A -=-，
即sin sin sin()sin()A C A B A B =+-=++sin()2sin cos A B A B -=， ∴1
cos 2
B =
，解得3B π=．
（2）由余弦定理得22222
2cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，
∵[2,6]a ∈，∴b ∈，sin sin 2c B C b ⎤
=∈⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查解三角形的综合应用，难度一般.
（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件A B C π++=的使用；
（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围.
24．（1）32n a n =-+（2）n S 23212
n n n
-=+-
【解析】 【分析】
（1）依题意()()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-.由此能求出数列{}n a 的通项公式；
（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求出
112322n n n n b a n --=-=-+，再分组求和即可.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差是d . 由已知()()382726a a a a d +-+==-， ∴3d =-，
∴2712723a a a d +=+=-， 得 11a =-，
∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.
（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，
∴1
2n n n a b -+=，
∴11
2322n n n n b a n --=-=-+，
∴()(
)2
1
147321222
n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦
()31212
n
n n -=
+-， 23212n n n -=+-.
【点睛】
本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
25．(1)1
3n n a -=，
;(2)()223n n
n T +=-
.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由数列递推式求出a 1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n }为等比数列，则数列{a n }的通项公式可求，再由b 1=3a 1，b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差，则{b n }的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3n
n n
b c a =，直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n ． 【详解】
（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=
当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即
1
3n
n a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=.
设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=
()31321n b n n ∴=+-⨯=+ ,
（Ⅱ）1232135721
,33333n n
n n
n n c T ++==++++L ① 则2341
1
3572133333n n n T ++=
++++L ②， 由①—②得，2312
11
121123
3333
n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 142433n n ++=+ ∴2
23n n
n T +=-
.
【点睛】
本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．
26．（1）92n a n =-；（2）5. 【解析】 【分析】
（1）根据等差数列{}n a 的公差为-2，且1342,,a a a +成等比数列列出关于公差d 的方程，解方程可求得d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知
1292n n b n -=-+，根据分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.
【详解】
（1）1342,,a a a +Q 成等比数列，()()()2
111426a a a ∴-=+-， 解得：17a =，92n a n ∴=-. （2）由题可知(
)()0121
2222
75392n n S n -=++++-++++-L L ，
()
212812
n n n -=--- 2281n n n =+--， 显然当4n ≤时，0n S <，580S =>,又因为5n ≥时，n S 单调递增， 故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5. 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.。