赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲(实物期权)【圣才出品】

第34章实物期权
1．解释传统方法如何对实物资产投资进行评估。

2．解释如何把风险中性定价方法推广到处理实物资产定价。

34.1 资本投资评估
“净现值”（net present value，NPV）法：其未来预期现金流增值的贴现值。

贴现率是经过“风险调整”（risk-adjusted）的贴现利率，它的选取反映了项目的风险程度。

项目风险越大，贴现率也会越高。

考虑一项费用为1亿美元而延续5年的投资。

预期每年的现金流入估计为2500万美元。

如果经过风险调整后的贴现率是12%（连续复利），那么投资的净现值（以百万计）是
分析：
净现值为负值表明了承担这个项目的结果将会降低公司对股东的价值，因此不应投资这一项目。

而正的净现值则表明应当投资这个项目，因为这样做的结果将会增加股东的财富。

问题：
1．许多项目都含有隐含期权。

例如，某个公司在考虑建造一个工厂来加工一项新产品，当情况不如预先想象的那么好时，公司常常有放弃这个项目的权利；而当市场上对其新产品的需求超出预料时，公司同样有扩大工厂的权利。

这些权利常常具有与基本项目很不相同的风险特征，因此，在定价时需要使用不同的贴现率。

2．如何计算适用于基本项目（即没有隐含期权的项目）贴现率。

34.2 风险中性定价的推广
在27.1节里，定义一个变量θ的风险市场价格为
（34-1）对任何仅依赖于θ的可交易证券都会得到同样的风险市场价格λ。

假设某个实物资产依赖于一些变量θi（i=l，2，…）。

令m i和σi分别为θi的增长率期望和波动率，于是
z i——一个维纳过程
λi——θi的风险市场价格
可以利用以下方式来定价：
1．将每个θi的预期增长率从m降到m-sλ。

2．用无风险利率对现金流进行贴现。

【例34-1】在某个城市里，租用商品房产的费用是按新签署的5年租用合同中每平方英尺每年所付款项来报价的。

目前，每平方英尺的费用为30美元。

费用的增长率期望为每年12%，波动率为每年20%，它的风险市场价格为0.3。

某公司有如下机会：它可以现在付100万美元而有权在2年后按每平方英尺35美元的费用租用100000平方英尺，租期为5年。

无风险利率是每年5%（假定是常数）。

定义V为两年后所报出的每平方英尺写字楼空间的费用。

假设每年都是预先交付租金。

期权的收益是
100000Amax（V-35，0）
其中A是由下式所给出的摊还因子
因此在风险中性世界里收益的期望值为
——在风险中性世界里的期望
利用式（14A-1），得出以上表达式等价于
其中
在风险中性世界里，商业房产费用的增长率期望是m-sλ，
m——现实世界里的增长率
s——波动率
λ——风险市场价格
因为，m=0.12，s=0.2和λ=0.3，
所以，风险中性增长率期望是0.06，
在风险中性世界里收益的期望值是110.15万美元。

期权的价值为150.14e-0.05×2=135.86万美元。

结论：为这个期权支付100万美元是划算的。

34.3 估计风险市场价格
当一个特定变量存在历史数据时，可以用资本资产定价模型来估计它的风险市场价格。

考虑一个仅依赖于这个变量的投资资产。

定义：
μ——投资资产收益率的期望；
σ——投资资产收益的波动率；
λ——变量的风险市场价格；
ρ——变量的百分比变化与一个包含广泛股票的指数收益率之间的瞬时相关系数；
μm——股票指数收益率的期望值；
σm——股票指数收益率的波动率；
r——短期无风险利率。

因为投资资产仅依赖于市场变量，它的收益与指数之间的瞬时相关系数也等于ρ。

应用连续时间下的资本资产定价模型，有
由式（34-1），μ-r的另一表示方式为，因此
34-2）利用这个方程，可以估计λ。

【例34-2】某公司的季度销售额历史数据所显示的公司销售额百分比变化与S&P 500股指收益之间的相关系数为0.3。

S&P 500的波动率是每年20%，历史数据表明，S&P 500收益高于无风险利率部分的期望值是5%。

式（34-2）给出了对公司销售额的风险市场价格估计为
34.5 投资机会中期权的定价
隐含在投资项目里的期权可能包括：
放弃期权（abandonment option）。

这是指转让或结束项目的权利，是项目价值上的
美式看跌期权，期权的执行价格是项目的清仓（或转让）价值减去清仓时的所有费用。

当清仓价值很低时，执行价格可能为负值。

放弃期权可以减轻非常糟糕的投资结果对项目的影响，从而增加最初项目的价值。

扩大期权（expansion option）。

这是指在以后当条件有利时增加投资，从而增加生产的权利，是在增加生产能力价值上的美式看涨期权。

期权的执行价格是增加生产能力的成本被贴现到行使期权时的价值。

执行价格常常与最初的投资有关。

如果在最初构建时管理层计划的生产规模已经超过预期生产的水平，那么执行价格会相对很小。

缩减期权（contraction option）。

这是减小项目规模的权利，它是关于减低生产能力价值上的美式看跌期权。

期权的执行价格是在行使时刻所有将节省的未来支出的贴现值。

推迟期权（option to defer）。

对于管理人而言，一种非常重要的权利是能够推迟项目，这是项目价值上的美式看涨期权。

延期期权（option to extend）。

有时可能在付出一笔固定费用后可以延长一个资产的寿命，这是在资产将来价值上的欧式看涨期权。

【例34-3】一家公司需要决定是否要投资1500万美元以使在今后3年内从某处按每年200万单位的速度提取600万单位商品。

运作设备的固定开支是每年600万美元，而可变成本是提取每单位商品需要17美元。

我们假设所有期限的无风险利率均为每年10%，商品即期价格是每单位20美元，1年、2年和3年的期货价格分别是每单位22美元、23美元和24美元。

34.5.1 没有隐含期权时
在1年、2年和3年后，商品价格在风险中性世界里的期望值分别是22美元、23美元和24美元。

在风险中性世界里，项目收益的期望值可以通过费用支出数据计算，在1年、2年和3年的值分别是（按百万美元计）4.0、6.0和8.0。

因此，项目的价值为
结论：公司不应当承担这个项目，因为这样做会使股权持有者的财富降低54万美元。

34.5.2 利用树形
假设商品的即期价格服从随机过程
（34-3）其中a=0.1和σ=0.2。

图34-1是构造的树型。

图34-1 即期商品价格的树形
注：这里p u，p m和p d是从一个节点向“上”、“中”和“下”移动的概率。