北京师范大学附属实验中学八年级数学上册第三单元《轴对称》检测(答案解析)

一、选择题
1．已知锐角AOB ∠，如图
（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点
D ，连接CD ；
（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ；
（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：
①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）
A ．①②③④
B ．②③④
C ．③④
D ．③ 2．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()
2021
a b +的值为（ ） A ．1-
B ．1
C ．0
D ．2021-
3．已知点A 是直线l 外的一个点，点B ，C ，D ，E 是直线l 上不重合的四个点，再添加①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）
A ．80︒
B ．60︒
C ．50︒
D ．20︒
5．若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足350a b -+-=，则ABC 的周长为（ ） A ．11 B ．13 C ．11或13 D ．9或15 6．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（ ）
A ．12
B ．9
C ．10
D ．12或9
7．如图，在△ABC 纸片中，AB=9cm ，BC=5cm ，AC=7cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为是（ ）
A ．9cm
B ．11cm
C ．12cm
D ．14cm
8．平面直角坐标系中，点A (3，2)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（ ）
A ．(3，－2)
B ．(－3，－2)
C ．(－3，2)
D ．(－2，3)
9．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于
1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD
ACD
S
S
=．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，
ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法比较1S 、2
S 的大小关系
11．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）
A ．
58
B ．
45
C ．
35
D ．
12
12．下列图案是轴对称图形的是有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②③
二、填空题
13．如图，等腰ABC 的周长为36，底边上的高12AD =，则ABD △的周长为________．
14．如图30AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，//PD OA 交OB 于点D ，
PE OA ⊥于E ，6cm OD =，则PE =________．
15．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________． 16．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．
17．在△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以A ，C 为圆心，以大于
1
2
AC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．
请回答：若BC=DC ，∠B=100°，则∠ACB 的度数为____．
18．已知，如图，△ABC 是等边三角形，AE ＝CD ，BQ ⊥AD 于Q ，BE 交AD 于点P ，下列说法：①∠APE ＝∠C ，②AQ ＝BQ ，③BP ＝2PQ ，④AE +BD ＝AB ，其正确的个数是_____．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD于E，AB=6，AC=14，
∠ABC=3∠C，则BE=____．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是______．
三、解答题
21．如图1，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠C=70°，则∠A的大小为；
（2）若AE=BC，求∠A的度数；
（3）如图2，点M是边BC上的一个定点，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）
22．如图，已知：射线AM是△ABC的外角∠NAC的平分线．
（1）作BC 的垂直平分线PF ，交射线AM 于点P ，交边BC 于点F ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）过点P 作PD ⊥BA ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，请补全图形并证明BD ＝CE ．
23．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，ABC ∠的平分线交CD 的延长线于点E ，F 是BE 的中点，连接CF 并延长交AD 于点G ． （1）求证：BCG DCG ∠=∠．
（2）若50CGD ︒∠=，58ABC ︒∠=，求ADE ∠的度数．
24．在等边ABC ∆中，
（1）如图1，P ，Q 是BC 边上两点，AP AQ =，20BAP ∠=︒，求AQB ∠的度数； （2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且
AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ．
①依题意将图2补全； ②求证：PA PM =．
25．已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．
26．如图，在12×10的正方形网格中，△ABC 是格点三角形，点B 的坐标为（﹣5，1），点C 的坐标为（﹣4，5）．
（1）请在方格纸中画出x 轴、y 轴，并标出原点O ；
（2）画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；C 1的坐标为
（3）若点P （a ，b ）在△ABC 内，其关于直线l 的对称点是P 1，则P 1的坐标是 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可． 【详解】
由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，
∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线． ∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确； 由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形， 又∵CD OP ⊥， ∴CP=2CQ ，故②正确；
若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠， 又∵=AOP BOP ∠∠， ∴=CPO AOP ∠∠， ∴OC=PC ，
故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误． 综上，正确的有②③④．
故选：B ． 【点睛】
本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．
2．A
解析：A 【分析】
关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案． 【详解】
解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得
a-1=2017，1-b=2020． 解得a=2018，b=-2019， ∴()()
()
2021
2021
2021
=2018201911a b +-=-=-
故选：A ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．D
解析：D 【分析】
写出所组成的三个命题，然后根据等腰三角形的判断与性质对各命题进行判断． 【详解】
解：根据题意吧，如图：
由等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理， 易证△ABD ≌△ACE ；
命题1：若AB=AC ，AD=AE ，则BD=CE ，此命题为真命题； 命题2：若AB=AC ，BD=CE ，则AD=AE ，此命题为真命题； 命题3：若AD=AE ，BD=CE ，则AB=AC ，此命题为真命题． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的判断命题的真假．
4．B
解析：B
【分析】
分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数，即可得到答案．
【详解】
当∠A是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，
当∠B是顶角时，则∠A是底角，
∴∠B=180°-80°-80°=20°，
当∠C是顶角时，则∠A和∠B都是底角，
∴∠B=∠A=80°，
综上所述：∠B的度数为：50°或20°或80°．
观察各选项可知∠B不可能是60°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得a-3=0，b-5=0，
解得a=3，b=5，
（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、5，能组成三角形，
周长为：3+3+5=11；
（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、5、5，
能组成三角形，
周长为3+5+5=13．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．
6．A
解析：A
【分析】
由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，可分两种情况：①5为腰长，2为底边长；②2为腰长，5为底边长，依次分析即可求得答案．
【详解】
解：①若5为腰长，2为底边长，
∵5，5，2能组成三角形，
此时周长为：5+5+2=12；
②若2为腰长，5为底边长，
∵2+2=4<5，不能组成三角形，故舍去；
∴三角形周长为12．
故选：A．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论．
7．B
解析：B
【分析】
根据折叠的性质得到：DE=CD，BE=BC=5cm，求出AE=4cm，根据△ADE的周长为
AD+DE+AE=AC+AE代入数值计算即可得解．
【详解】
由折叠得：DE=CD，BE=BC=5cm，
∵AB=9cm，
∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm，
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm，
故选：B．
【点睛】
此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【详解】
解：点A（3，2）关于y轴对称点的坐标为B（−3，2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
9．D
解析：D
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断． 利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【详解】
解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠BAC ＝60°，
由作法得AD 平分∠BAC ，所以①正确； ∴∠BAD ＝∠CAD ＝30°，
∴∠ADC ＝90°﹣∠CAD ＝60°，所以②正确； ∵∠B ＝∠BAD ， ∴DA ＝DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确； ∵如图，在直角△ACD 中，∠CAD ＝30°， ∴CD ＝
1
2
AD ， ∴BC ＝CD+BD ＝12AD+AD ＝32AD ，S △DAC ＝1
2AC•CD ＝14
AC•AD ． ∴S △ABC ＝
12AC•BC ＝1
2AC•32AD ＝34
AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC ＝
14AC•AD ：3
4
AC•AD ＝1：3， ∴S △DAC ：S △ABD ＝1：2．即S △ABD ＝2S △ACD ，故④正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
10．B
解析：B 【分析】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，利用题干的条件证明△ABD ≅△A′B′E 即可得到两三角形的面积相等； 【详解】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，如图：
90B B '+=∵∠∠，90B A E B '''+=∠∠，90BAD B ∠+∠=,
∴∠B=∠B′A′E ，∠B′=∠BAD ，
又AB=A′B′，
∴△ABD ≅△A′B′E ，
同理△ACD ≅△A′C′E ；
∴ABD A B E S
S ''=，ACD A C E S S ''=， 故ABD ACD A B E A C E S S S S ''''+=+，
又ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，
∴12S S
故选：B ．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定及性质：两三角形全等，则对应边对应角相等，面积也相等．
11．C
解析：C
【分析】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．
【详解】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图
∵5AB AC ==，8BC =，
∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =
--=， ∴3sin 5
AD B AB ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
12．C
解析：C
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二、填空题
13．30【分析】根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18再结合AD=12即可求得的周长【详解】∵△ABC为等腰三角形AD为底边上的高
∴AB=ACBD=DC∵△ABC的周长等于36∴AB+BD+DC+A
解析：30
【分析】
根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18，再结合AD=12，即可求得ABD
△的周长．【详解】
∵△ABC为等腰三角形，AD为底边上的高，
∴AB=AC，BD=DC，
∵△ABC的周长等于36，
∴AB+BD+DC+AC=36，即AB+BD=18，
∵AD=12，
∴△ABD的周长等于=AD+BD+AB=12+18=30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形三线合一（底边上的中线、底边上的高线，顶角的平分线重合）是解题关键．
14．3cm【分析】过点P作PF⊥OB于F根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC根据两直线平行内错角相等可得∠AOC＝∠OPD两直线平行同位角相等可得∠
解析：3cm
【分析】
过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE，根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOC＝∠OPD，两直线平行，同位角相等可得∠PDF＝∠AOB，再求出∠BOC＝∠OPD，根据等角对等边可得PD
＝OD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PF＝1
2
PD，进而即
可求解．
如图，过点P 作PF ⊥OB 于F ，
∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，
∴PE ＝PF ，
∵OC 平分∠AOB ，
∴∠AOC ＝∠BOC ，
∵PD ∥OA ，
∴∠AOC ＝∠OPD ，∠PDF ＝∠AOB ＝30°，
∴∠BOC ＝∠OPD ，
∴PD ＝OD ＝6cm ，
∴PF ＝12PD ＝12
×6＝3cm ， ∴PE ＝PF ＝3cm ．
故答案为：3cm ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
15．【分析】题中没有指明长为的边长是腰还是底则分两种情况进行分析还应验证是否满足三角形的三边关系【详解】当腰长是时底边长不能构成三角形；当底长是时三角形的腰能构成三角形其他两边长为故答案为：【点睛】本题 解析：9，9
【分析】
题中没有指明长为6的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．
【详解】
当腰长是6时，底边长246612=--=，6、6、12不能构成三角形；
当底长是6时，三角形的腰()24629=-÷=，6、9、9能构成三角形，其他两边长为9、9．
故答案为：9，9．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常
重要，也是解题的关键．
16．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的 解析：70
【分析】
根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=
∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．
【详解】
解：∵
ADC ∠是ABD △的外角， ∴ADC A ABC ∠=∠+∠， ∵
ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称， ∴12OBD ABC ∠=
∠，22C A ∠=∠=︒， ∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+
∠， 即122462
ABC ABC ︒+∠=︒+
∠， 解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故答案是：70．
【点睛】
本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．
17．30°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BDC 的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A 的度数进而得到∠ACB 的度数【详解】解：根据题意如图：∵BC=DC ∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD
解析：30°
【分析】
依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC 的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A 的度数，进而得到∠ACB 的度数．
【详解】
解：根据题意，如图：
∵BC=DC，∠ABC=100°，
∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°，
根据题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∴∠A=1(18080)50
⨯︒-︒=︒，
2
∴∠ACB=∠CBD-∠A=80°-50°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
18．3【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC∠BAE=∠C=60°再利用边角边证明△ABE和△CAD全等然后得到∠1=∠2结合角的关系得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质得到BP＝2PQ
解析：3
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD 全等．然后得到∠1=∠2，结合角的关系，得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质，得到BP＝2PQ；再结合边的关系，得到AC=AB；即可得到答案．
【详解】
证明：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
60AB AC BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CAD （SAS ），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①正确
∵BQ ⊥AD ，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BP=2PQ ．故③正确，
∵AC=BC ．AE=DC ，
∴BD=CE ，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB ，故④正确，
无法判断BQ=AQ ，故②错误，
∴正确的有①③④，共3个；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性 解析：4.
【分析】
如图，延长BE ，
交AC 于G ， 证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，
再证明：C CGB ∠=∠， 可得,BG CG = 从而可得答案． 【详解】
解：如图，延长BE ，
交AC 于G ，
AD 平分∠BAC ，
,GAE BAE ∴∠=∠
,BE AD ⊥
90AEG AEB ∴∠=∠=︒，
,AGB ABG ∴∠=∠
6AG AB ∴==，
,GE BE = 14AC =，
8CG ∴=，
,AGB C CBG ∠=∠+∠
2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
3,ABC C ∠=∠
32,C C CBG ∴∠=∠+∠
,C CBG ∴∠=∠
8BG CG ∴==，
1 4.2
BE BG ∴== 故答案为：4.
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
20．10°【分析】设∠B ＝∠C ＝x ∠CDE ＝y 分别表示出∠DAE 构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B ＝∠C ＝x ∠EDC ＝y ∵AD ＝AE ∴∠ADE ＝∠AED ＝x ＋y ∵∠DAE ＝180°−2（x ＋y ）＝
解析：10°
【分析】
设∠B ＝∠C ＝x ，∠CDE ＝y ，分别表示出∠DAE ，构建方程解方程即可求解．
【详解】
解：设∠B ＝∠C ＝x ，∠EDC ＝y ，
∵AD ＝AE ，
∴∠ADE ＝∠AED ＝x ＋y ，
∵∠DAE ＝180 °−2（x ＋y ）＝180 °−20 °−2x ，
∴2y ＝20 °，
∴y ＝10 °，
∴∠CDE ＝10 °．
故答案为：10°
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
三、解答题
21．（1）40°；（2）36°；（3）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的两底角相等和三角形内角和等于180°即可求解；
（2）根据DE垂直平分AB可得BE=AE，进而可知∠A=∠ABE，再由AE=BC，可得
∠C=∠BEC，进而得出∠ABC=∠C=2∠A，再由三角形内角和即可求出∠A；
（3）由已知可知B关于直线DE的对称点是A点，由此可知当A、M、N三点在同一直线上时，BN+MN=AN+MN最小．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠C=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
故答案为：40°；
（2）如图：连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴∠A=∠ABE，
又∵AE=BC，
∴BE=BC，
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°；
（3）如图，
连接AM 交DE 于N 点；即N 点为所求．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和及最短路径等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用基本作图作BC 的垂直平分线即可；
（2）先根据几何语言画出对应几何图形，再连接PB 、PC ，根据线段垂直平分线的性质得到PB ＝PC ，根据角平分线的性质得PD ＝PE ，则可判断Rt △BDP ≌Rt △CEP ，从而得到BD ＝CE ．
【详解】
解：（1）如图，PF 为所作；
（2）证明：如图，
连接PB 、PC ，如图，
∵PF 垂直平分BC ，
∴PB ＝PC ，
∵AM 是△ABC 的外角∠NAC 的平分线，PD ⊥BA ，PE ⊥AC ，
∴PD ＝PE ，
在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，
PB PC PD PE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BDP ≌Rt △CEP （HL ），
∴BD ＝CE ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
23．（1）见解析；（2）111ADE ︒∠=．
【分析】
（1）根据BE 平分ABC ∠，得到12
ABF CBF ABC ∠=∠=∠，由 AB CD ∥，可证得BCE 是等腰三角形，根据F 为BE 的中点，可证BCG DCG ∠=∠；
（2）根据AB CD ∥，58ABC ︒∠=，可得 122BCD ︒∠=，利用CG 平分BCD ∠，求得
1612
GCD BCD ︒∠=∠=，根据 50CGD ︒∠=，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，可求得 111ADE ∠=︒．
【详解】
解：（1）∵BE 平分ABC ∠， ∴12
ABF CBF ABC ∠=∠=
∠． ∵AB CD ∥，
∴ABF E ∠=∠，
∴CBF E ∠=∠，
∴BC ＝CE ， ∴BCE 是等腰三角形．
∵F 为BE 的中点，
∴CF 平分BCD ∠，
即BCG DCG ∠=∠．
（2）∵AB CD ∥， ∴180ABC BCD ∠+∠=︒．
∵58ABC ︒∠=，
∴122BCD ︒∠=．
∵CG 平分BCD ∠， ∴1612
GCD BCD ︒∠=∠=． ∵50CGD ∠=︒，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，
∴111ADE ∠=︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等等知识点，判断出△BCE 是等腰三角形是解题的关键．
24．（1）80°；（2）①见解析；②见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质求解即可；
（2）①根据题意画图即可；②过点A 作AH BC ⊥于点H ，根据等边三角形的性质得到PAB QAC ∠=∠，再根据点Q ，M 关于直线AC 对称，得到AP=AM ，得到APM ∆为等边三角形，即可得到答案；
【详解】
（1）ABC ∆为等边三角形，
60B ∴∠=︒，
80APC BAP B ∴∠=∠+∠=︒，
AP AQ =，
80AQB APC ∴∠=∠=︒；
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图．
ABC ∆为等边三角形，AP AQ =，
BAH CAH ∴∠=∠，PAH QAH ∠=∠，
PAB QAC ∴∠=∠，
点Q ，M 关于直线AC 对称，
QAC MAC ∴∠=∠，AQ AM =，
60MAC PAC PAB PAC ∴∠+∠=∠+∠=︒，
AP AM =，
APM ∴∆为等边三角形，
PA PM ∴=．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．
25．AB=AC+BD ，证明见详解．
【分析】
延长AE ，交BD 的延长线于点F ，先证明AB=BF ，进而证明△ACE ≌△FDE ，得到AC=DF ，问题得证．
【详解】
解：延长AE ，交BD 的延长线于点F ，
∵//AC BD ，
∴∠F=∠CAF ，
∵AE 平分CAB ∠，
∴∠CAF=∠BAF，
∴∠F=∠BAF，
∴AB=BF，
，
∵BE平分ABF
∴AE=EF，
∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，
∴△ACE≌△FDE，
∴AC=DF，
∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．
26．（1）见解析；（2）见解析；（0，5）；（3）（﹣a﹣4，b）
【分析】
（1）利用A、C点的坐标画出直角坐标系；
（2）利用网格点和对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；（3）先把P点向右平移2个单位（a+2，b）（相当于把直线l右平移2个单位），点
（a+2，b）关于y轴的对称点为（-a-2，b），然后把（-a-2，b）向左平移2个单位，相当于把直线l向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P1的坐标为（-a-2-2，b）．
【详解】
解：（1）如图，就是所求作的坐标轴与原点；
（2）如图，△A1B1C1为所作的三角形；
C1的坐标为：（0，5）；
（3）先把P点向右平移2个单位（a+2，b）（相当于把直线l右平移2个单位），点
（a+2，b）关于y轴的对称点为（-a-2，b），然后把（-a-2，b）向左平移2个单位，相当于把直线l向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P1的坐标为（-a-2-2，b）．
∴P1的坐标是（﹣a﹣4，b）．
【点睛】
本题考查了作图——轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，。