内蒙古包头三十三中2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 文

包33中学2013学年度第二学期高二期末考试
数学（文科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一．选择题(本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．)
1． 由左图中的规律可判断右图问号处的图形应是（ ）
2．在极坐标系中，点(3,)3M π和点
2
(3,)3
N π-的位置关系是（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ． 重合
C ．关于直线()2
R π
θρ=
∈对称 D ．关于极点对称
3．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）
A. 60.70.70.7log 66<<
B. 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<<
4．若集合{}{},)1lg(|,,3|2||-==∈≤-=x y x B R x x x A 则B A =( )
A [)1,1- B. ()1,∞- C. []5,1- D. (]5,1 5. 复数z ＝1+i ，z 为z 的共轭复数，则z z -z -1＝（ ）
（A ）-2i （B ）-i （C ）i （D ）2i 6．设函数()|lg |f x x =，若)0)(()(b a b f a f <<=，则
b
a 2
1+ （ ） A.有最小值3 B. 有最小值22 C. 无最小值 D. 有最大值
7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数
)(x f 在开区间),(b a 内极值点有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
?
A B C D
8. 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π
3个单位长度后，所得的图像
与原图像重合，则ω的最小值等于( )
A.1
3 B ． 3 C ．6 D ．9
9．设函数f (x )＝sin(2x ＋
π4)＋cos(2x ＋π
4
)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图像关于直线x ＝π
2对称
B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图像关于直线x ＝π
2对称
C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图像关于直线x ＝π
4对称
D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图像关于直线x ＝π
4对称
10．若cos α＝－4
5，α是第二象限的角，则1＋tan
α
21－tan
α
2
＝( )
A ．－12 B.1
2
C ．2
D ．－2
11．若奇函数)10()(≠>-=-a a a ka x f x x 且在R 上是增函数，那么
)(log )(k x x g a += 的大致图像是（ ）
12、已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数，如果(1)(2)f ax f x +≤-在1
[,1]
2
x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,1]-
B ．[5,0]-
C ．[5,1]-
D ．[2,0]-
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．）
13．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.
14．已知函数2013
3()8b
f x x
ax x
=+--，10)2(=-f ，则(2)f = 。

15. 若函数5)2()1(2
1
31)(23+'-'+-
=x f x f x x f ，则曲线()f x 在点（0,(0)f ）处的切线方程为 。

16、以下正确命题的序号为__________
①命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是：“不存在0
0,20x
x R ∈>”；
②函数13
1()()4x
f x x =-的零点在区间11(,)43
内；
③若函数()f x 满足(1)1f =且(1)2()f x f x +=，则(1)(2)(10)f f f +++…=1023； ④若m<－1，则函数212
log (2)y x x m =--的定义域为R ；
三．解答题(本大题有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分) 把边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长为xcm 的相等的正方
形，然后折成一个高度为xcm 的无盖的长方体的盒子，问x 取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？
18. (本题满分12分) 已知1
:123
x p --
≤；)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围
19．（本题满分12分）已知02<<π-
x ,sin x +cos x =5
1
. (Ⅰ)求sin x -cos x 的值； （Ⅱ）求22sin cos 2sin 1tan x x x
x
+-的值.
20. （本小题12分）已知直线l 过点(1,2)M -且与直线y x =垂直，抛物线Ｃ：2
y x = 与
直线l 交于Ａ、Ｂ两点．
（１）求直线l 的参数方程；
（２）设线段ＡＢ的中点为Ｐ，求Ｐ的坐标和点Ｍ到Ａ、Ｂ两点的距离之积．
21、（本小题12分）
已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx). (1)求f(x) 的最小正周期；
(2) 求f(x) 的最大值并写出f(x) 取最大值时的x 的集合； （3）画出函数y=f(x)在区间[0,
π
]上的图像。

22、(本小题满分12分) 已知函数∈+=
a x
a
x x f (ln )(R ）. （1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=--y x 平行，求a 的值； （2）在（1）条件下，求函数)(x f 的单调区间和极值； （3）当1=a ，且1≥x 时，证明：.1)(≤x f
包33中学2013学年度第二学期高二期末考试
数学（文科）试卷答题纸
一、选择题答案区：（每小题5分，满分60分）
二、13、 14、 15、 16、 三、解答题（本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
一、
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
D
D
B
B
C
C
A
D
C
D
二13． π
3
14．— 26； 15.5+=x y ； 16.②③④.
；
三、解答题：
17．解：设长方体高为xcm ，则底面边长为（60－2x ）cm ．（0<x<30） ……1分 长方体容积（单位：3
cm ）()()()2
230x x 4x 260x x V V -=-==， ……3分
()()()()()()()10x 30x 1230x 330x 430x x 830x 4x 'V 2
--=--=-+-= ……5分
令(),0x 'V =解得x ＝10，x ＝30（不合题意合去）于是
x （0，10） 10 （10，30）
()x 'V ＋
0 －
V （x ）
………………7分
在x ＝10时，V 取得最大值为160002040V 2
max =⋅= …………10分
18．解：{}
1
:12,2,10,|2,103x p x x A x x x -⌝-
><->=<->或或……4分；
{}
22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+-><->+=<->+或或……8分
p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，B
∴A ，即129,9110m m m m -<-⎧⇒>∴>⎨+>⎩
……12分；
19、解： (1)由sin x +cos x =
51,平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2
x =25
1, 即2sin x cos x =2524- (sin x -cos x )2
=1-2sin x cos x =
2549……………………4分； 又 02<<π-x ，0sin <∴x ,cos x >0,sin x -cos x <0,故sin x -cos x = -57
…………6分；
(2) x x x tan 1sin 22sin 2-+=x
x x x x cos sin 1sin 2cos sin 22-
+=x x x x x x sin cos )sin (cos cos sin 2-+…………10分；
=7551)2524(⨯⨯-=175
24-…………………………12分；
20．31-1,24
l M π
解：（）由题意知：直线的倾斜角为，过点（），所以其参数方程为：
31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,
即1()2x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
为参数…………………………6分 ； (2)
将12x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
代入2y x =得
:220t -=……………………8分； 设A 与B 两点所对应的参数分别为12t t 和,
则
2=12t +t ,122t t =- 所以线段AB
中点所对应的参数为-22
t =
=12t +t ,所以中点坐标为13(,)22-; 点M 到两点A 与B 的距离之积为12122MA MB t t t t ==
=.………………………12分； 21、解：
()1-)4
f x x π
=+………………4分；
（1） f(x)的周期是π；………………6分； （2）()13|,8
f x x x x k k Z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭
的最大值为的集合是；…………8分；
（3）如图：
……………………10分；
画出图像……………………12分；
22．.解：（I ）函数(){|0},f x x x >的定义域为
所以2
1ln ().x a
f x x
--'=
又曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线与直线10x y --=平行， 所以(1)11,0.f a a '=-==即 ………………………………4分； （II ）令()0,f x x e '==得
当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
由表可知：()f x 的单调递增区间是(0,)e ，单调递减区间是(,)e +∞ 所以()f x x e =在处取得极大值，ln ()().e
f x f e e
==极大值…………………8分； （III ）当ln 1
1,().x a f x x
+==
时 由于[)ln 1
1,,()1,x x f x x
+∈+∞=≤要证 只需证明ln 1.x x +≤
令11
()ln 1,()1.x h x x x h x x x
-'=--=-=
则………………………………10分； 因为1≥x ，所以[)+∞≥,1)(,0)('在故x h x h 上单调递增， 当,0)1()(,1=≥≥h x h x 时即x x ≤+1ln 成立。

故当1≥x 时，有.1)(,11
ln ≤≤+x f x
x 即 …………………………12分；。