浅析高等数学中构造辅助函数的解题思想_安震

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, / !# 0 !1. 使得 - ’ !# (0 +. - ’ !1 (" + 又显见 - ’ ! ( * 6 ’ 7 ( ， 在闭区间 % !# D !1 & 上运用连 使得 - ’ ! ( % + ， 即方 续函数的零点定理， 知 / ! ’ !# D !1 ( ， 程 - ’ ! ( % + 至少有一个实根。 唯一性 / -* ’ ! ( % # ) 4F94 !" +. , - - ! / 单调递增 ’ !* 7 ( 故 - ’ ! ( 与 ! 轴只 能有 一个 交点 ， 即方 程 - ! / % + 只能有一个实根。 8 8 例 + 若 8+ . 8# . 81 . … 89 是使得 8+ 2 ! 2 1 2 … 2 1 : 89 的实数， 证明方程 8+ 2 8# ! 2 81 ! 2 … 89!9 在 - +. 92# # / 内至少有一实根。 % 分析 & 比较结论中方程的系数和已知系数发现： 对方程两边积分所得系数恰好是题设条件， 故可构造 8! # 8! # 89 9 2 # 辅助函数 & ’ ! ( % 8+ ! 2 ! 2 ! 2 … 2 2 ! 1 : 9 # 8 8 89 9 2 # 证明：设 & ’ ! ( % 8+ ! 2 ! !# 2 ! !# 2 … 2 ! 1 : 92# 显然 & ’ ! ( 在 % $， 在（ 内可导， 且 & ! & 上连续， +， #） ’ + ( % +. 由罗尔定理， 至少存在一点 !* - $D ! / ， 使得 &* ’ ! ( % + 即 8 + 2 8# ! 2 8 1 ! H … 8 + ! C $ 这 也 就 说 明 方 程 8+ 2 8# ! 2 81 !1 2 … 89!9 % + 在 ’ +. # ( 内至少有一实根 ! % !。
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期
浅析高等数学中构造辅助函数的解题思想
安 震
（ 江苏信息职业技术学院， 江苏 无锡 #!"!$!）
% 摘要 & 构造辅助函数的解题思想在高等数学中应用非常广泛， 文章针对不等式的证明、 方程根 的论证以及存在性的证明， 通过典例， 介绍了几种构造辅助函数的方法。 % 关键词 & 构造辅助函数； 零点定理； 罗尔定理； 不等式； 等式 % 中图分类号 & ’("# % 文献标识码 & ) % 文章编号 & !(*+ , $$"( - #$$. / $( , $!!" , $# 二、 构造辅助函数论证方程的根 论证方程根的题目， 主要有两类， 一类是结合闭区 间上连续函数的零点定理去思考， 另一类是在已知函 数的基础上论证导函数方程根的情况， 此时就要考虑 罗尔定理了。 方 程 ! 2 3 2 4>1F ! % + 恰 有 一 个 实 例 1 求证： 根， 其中 3. 4 为常数， 且 +0 40 #。 即 4>1F ! 为 有界 证明 ：存 在性 / 4>1F! -4E !， 量 记 - - ! / % ! 2 3 2 4>1F ! / 69G - - ! / % 69G - ! 2 3 2
随着社会科学技术的进步， 多媒体技术教学正逐 步步入课堂， 由于电化教学直观形象， 生动有趣， 能充 分调动学生的学习积极性， 能够使学生产生浓厚的学 习兴趣， 在欢乐的情景中获取知识。 因此， 利用电化教 学手段是提高课堂教学效率的一个重要途径。 一、 创设生动情景， 激发学习兴趣 传统的教学模式， 经过几代人的不断改进和完善， 有其内在的优越性， 有利于教师主导作用的发挥； 有利 于教学组织、 管理、 教学过程的控制； 有利于师生情感 的交流。 但在现行的教学活动中1 学生对这种模式熟悉 而厌倦， 它的一些不足， 也易产生负面影响。 多媒体则 把传统的静态的教学内容转换为声音、 图像、 文本、 动 画等动态信息， 弥补了传统教学的不足， 为教学提供了 多样、 多维化的信息。 图文声像并茂的教学方式， 使得 用语言很难描述或无法描述的问题变得形象、 生动、 直
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在高等数学微分学基本定理及相关命题的证明过 程中， 辅助函数的构造是解题中的重要环节。 构造辅助 函数的思想不仅体现了数学中的发现、 类别、 化归、 猜 想、 归纳等思想， 而且对于开阔学生的思路， 培养学生 分析问题、 解决问题的能力和创新能力是有益的。 但是 辅助函数的构造却较困难， 通常采用 “ 凑” 的方式， 这需 要技巧和经验， 对学生来说是一个难点， 往往使学生感 到困惑。 我们通常通过构造辅助函数来证明不等式、 论 证方程的根及证明存在性。 一、 构造辅助函数证明不等式 高等数学中不等式的证明常借助函数的单调性、 拉格朗日中值定理去完成。 对不同的证明工具， 构造辅 助函数的角度和形式均有所不同。 当 !" # 时， 例 ! 证明： $!" !$ % 分析 & 所要证明的不等式反映出是比较 B % $! 和 而这两个函数本身并没 B C ! 这两个函数之间的关系， 有绝对联系， 针对这种情况一般采用函数单调性去验 证。 直接变形得到辅助函数。 证明： 设 & ’ ! ( % $! ) !$ 得 &* ’ ! ( % $! ) $" + ’ !" ! / , & ’ ! ( 当 !"! 时单调递增 , & ’ ! (" & - ! / , $! ) !$" + 移项即可得证 本题除了这种证明方法， 利用拉格朗日中值定理 也是可以完成的。 % 分 析 & 原 不 等式 先 变 形 为 ： $! ) $" !$ ) $ 即 $! ) # 该不等式中出现了自变量取值之差： $ " $- ! ) !/。 !) 对应函数值之差： 结合拉格朗日中值定理的特 !， ! ) !， 征， 可构造辅助函数 - ’ ! ( % $!。 证明： 设 - ’ ! ( % $! 当 !"! 时， 显然 - ’ ! ( 在 % !D ! & 上连续， 在 - #. ! / 内 可导 由拉格朗日定理， 至少存在一点 !*（ 使得 -* !D ! / ， ) -（ -（ !） # ） ! $! ) $ ’! ( % 即$ ) / !E!0 !. $0 $!0 $! !)# !)# $! ) $ , ) " $ 移项化简即得证。 ! # ・!!"・
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年
& 第 ・ 期
太原城市职业技术学院学报
总第 /( 期
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“ 妙用” 媒体 优化科学课堂教学
王树华
. 商丘市睢阳区学校， 河南 商丘 -*&!,, 0
# 摘要 $ 通过创设生动情景， 优化学习过程， 突破难点， 及时反馈等环节， 能够有效提高科学课堂 效率。 # 关键词 $ 多媒体学习； 兴趣； 高效 # 中图分类号 $ %&’( # 文献标识码 $ ) # 文章编号 $ !&*( + ,,-& . ’,,/ 0 ,& + ,!!" + ,’ 观、 简单， 扩大了课堂教学的信息量， 使得课堂更加丰 满， 引起学生共鸣， 激发其学习热情和学习兴趣。 “ 于漪曾说： 课的第一锤要敲在学生的心灵上， 激 起学生思维的浪花， 或者像磁石一样， 把学生牢牢地吸 ” 引住。 利用多媒体精心设置情景， 就能深深地吸引学 生的注意力， 激发学生情趣， 使学生进入想学、 爱学的 良好境界。 如： 教《 种子 》 一课， 传统教学是无法在课堂 上再现种子的发芽过程。 而运用现代教育技术就能使 学生不仅清楚地看到种子的构造， 还能利用其连续播 放画面的技术， 使学生看到种子发芽的全过程。 再如： 观察烧红的木炭在纯氧中燃烧时， 教师先做实验， 学生 很感兴趣， 然后应用软件将教学内容投影到屏幕上， 燃 烧时的动态、 声音、 颜色显示一一展现在学生眼前和脑 中。 这样学生在直观、 轻松的环境中牢固地掌握知识， 同时大大激发了学生对科学的兴趣。
内可导， 且 !( 在（ 例 " 设函数在 # , ， ! $ 上连续， ,， !） ! ! （ " , $ ’ !( " ! $ ’ %， 存在 " * . ， 试证： !( " $ ， !） !01 使 ’ ’ （ 对任意实数 #， 必存在 !* . ,1 " 0 ， 使得 !( !( " " 0 E "； ’） " ! $ + # # ! " ! $ + ! $ E !。 （ 证明： 显见应构造辅助函数 * . # 0 E ! " # $ + #， !） ! ! ! ! ! 它在 # 1 !$ 上连续， 且 * . 0 E ! . 0 + E J,1 * ’ ’ ’ ’ ’ " & $ ’ ! . ! 0 + ! E + !K, ! 由闭区间上连续函数的零点定理， 知/"* # 1 ’ 使得 * . " 0 E , !$， 即有 ! . " 0 E " （ # 分析 $ 将所证结论改写为 !I . ! 0 + ! E # # ! . ! 0 ’） $ # + ! 即 ! . # 0 + # $ I0 # E ! E # # ! . # 0 + # $ 0 # E ! 考虑到构 造的辅助函数 $ . # 0 ， 求导后要出现 #$ . # 0 ， 联想到指 ## 数函数 , 具有这一特征。 ・!!"・
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三、 构造辅助函数证明存在性 在（ 内可 例 - 设函数 ! " # $ 在 # ,， ! $ 上连续， %， &） 导， 且 ! " & $ ’ %， 证明在 （ 内至少存在一点 !， 使得 %， &） !（ !） 。 !( " ! $ ’ ! # 分析 $ 等式中含有函数及函数的导数， 一般采用 罗尔定理去验证。 根据罗尔定理的结论可知， 所构造的 辅助函数与所证明的等式中反映出来的函数应该具有 .!0 E , 将 导数关系。从结论出发， 变形成 !( " ! $ ・! D !， 则有 ! ( " # $ ・ # ) ! " # $ ’ %， 等式左边部 ! 看成变量 #， 分可视作 #! " # $ 的导数。 证明：设 * " # $ ’ #! " # $ 在（ 内可导 F 函数 ! " # $ # ,， ! $ 上连续， ,， !） 在（ 内可导 G 函数 * " # $ 在 # ,， ! $ 上连续， ,， !） 又 F *" %$ ’ % *" &$ ’ !.!0 ’ % G *" %$ ’ *" &$ 由罗尔定理， 至少存在一点 !* . ,1 ! 0 ， 使得 HI . ! 0 E ,1 即 !( " ! $ ・! D ! . ! 0 E , 移项即可得证。
浅析高等数学中构造辅助函数的解题思想江苏信息职业技术学院江苏无锡摘要构造辅助函数的解题思想在高等数学中应用非常广泛文章针对不等式的证明方程根的论证以及存在性的证明通过典例介绍了几种构造辅助函数的方法
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太原城市职业技术学院学报
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