数学归纳法整理编

2 首项是a1，公比是等比数列的 通项公式是
an a1q
n1
证明： （1）当n=1时， 左边= a1
右边 a1q11
k 1
a1q a1
0
（2） 假设当n=k时，等式成立，就是
ak a1q 那么， a ak q k 1 k 1 ( k 1)1 a1q q a1q
（因为证明了这一点，就可以断定这个命题对 于n 取第一个值后面的所有自然数也都成立。)
这种证明方法叫做数学归纳法。
例如：用数学归纳法证明：如果 an 是等差数列， 那么an a1 (n 1)d 对一切 n N 都成立。
1.证明： （1）当n=1时，
右边=
a1 a1 (1 1)d a1
12 22 n2 n(n 1) 3、证明： 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 2(2n 1)
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
验证，当n=1,2,3时， a1
2
an (n 5n 5)
2
2
2
(1 5 1 5) =1 2 2 a2 (2 5 2 5) =1
ห้องสมุดไป่ตู้
…… 2 2 对于任何n N都有 an (n 5n 5) 2 2 事实上 a5 (5 5 5 5) =25
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校
的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所 学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形 的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
2
2
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2）知等式对于一切 n
N
都正确。
n 1 证明当n取第一个值 n0 （例如：0 =1或2时）结论正确； 2 假设当n=k（k N,k n0 ）时结论正确； 证明当 n=k+1 时结论也成立。 3 根据（1）和（2）知命题对于一切 n N 都正确。
问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N )

请问：以上四个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
拓展
1.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•
2.用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的 步骤是：
（1） 证明当n取第一个值 n0 （例如： 0 =1或2时） n 结论正确； （2） 假设当n=k（k
N,k n0 ）时结论正确；
证明当 n=k+1 时结论也成立。 （3） 根据（1）和（2）知命题对于一切
n
N都正确。
n 1 证明当n取第一个值 n（例如：0 =1或2时）结论正确； 0 2 假设当n=k时结论正确；证明当 n=k+1 时结论也成立。 3 根据（1）和（2）知命题对于一切 n N 都正确。
（2k 1)( 2 k 2) k 1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
2、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，… n(2n 2 1) S Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明： n 3
… +k 1 k ( k 1) 1+2+3+ 2 那么， 1+2+3+ … +k +（k+1) 1 k (k 1) (k 1)
2
1 1 (k 1)(k 2) (k 1)(k 1) 1 2 2
这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）知命题对于一切n N都成立。
3
=
1 1 3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] 3 (2k 3 1 1 2+4k+2+1)= 3 (k+1)(2k 3
= (k+1)[2(k+1)2+1], ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 n( 2n 2 1) 由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 S n 3
四 练习
用数学归纳法证明
1 1+2+3+
1 … +n n( n 1) 2
2 首项是a1，公比是等比数列的 通项公式是
an a1q
n1
1 1+2+3+
证明： 1 （1）当n=1时，左边=1，右边 2 1 (1 1) =1 （2） 假设当n=k时，等式成立，就是
1 … +n n( n 1) 2
三 例
1+3+5+ … +（2n-1)= n 2
右边=12=1 等式成立。
用数学归纳法证明
证明：1）当n=1时， 左边=1 （
（2）假设当n=k时等式成立，
… +（2k-1)= k 2 即 1+3+5+ 那么， 1+3+5+ … +（2k-1)+ 2(k 1) 1
2
k 2(k 1) 1 k 2k 1 (k 1)
。
小结：
1 数学归纳法.
2 用数学归纳法证明一个与自然数有关的
命题的步骤：
（1） 证明当n取第一个值 结论正确；
n0（例如： n0
=1或2时）
（2） 假设当n=k（k N,k
n0 ）时结论正确；
N
证明当 n=k+1 时结论也成立。
（3） 根据（1）和（2）知命题对于一切 n
都正确。
左边=
等式成立。
（2）假设当 n=k 时等式成立，就是
ak a1 (k 1)d 当n=k+1时 ak 1 ak d
a1 (k 1)d d a1 (k 1) 1d
这就是说,当n=k+1时，等式也成立 根据（1）、（2）可知等式对于一切n N 都成立。
a4 (4 5 4 5)
2
a3 (3 5 3 5) =1
2 2
=1 ……
=1 即
2
1
an 1
二
数学归纳法
数学归纳法：
由归纳法得到的与自然数有关的数学命题， 常用下面的方法来证明它们的正确性： 1、证明当n取第一个值 n0 （例如：n0 =1）时 命题成立； 2、假设当n=k（k N,k n0）时命题成立； 证明当 n=k+1 时命题也成立。
这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）知命题对于一切 n
N都成立。
练习：
1 a n2 1、用数学归纳法证明1 a a a a 1 a （a≠1），在 1+a+a2 验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是__________.
2 3 n 1
2、某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。 现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ C） A、n=6时该命题不成立 B、 n=6时该命题成立 C、n=4时该命题不成立 D、 n=4时该命题成立
☺
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
完全归纳法
❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。
2 象这种由一系列有限的特殊事例得出一般结论的 推理方法，通常叫做归纳法。
例如：一个数列的通项公式是
1 2 12 1 （ ） 2=1，右边= 证明：1）n=1时：左边=S1=1 =1=S1，等式成立。 3
2）假设当n=k(k∈N )时，有： k (2k 2 1) Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ，
3

当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2 …+22+12 =[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2 =Sk+2k2+2k+1 k (2k 2 1) = + 2k2+2k+1