7第3章例题1-对易关系厄米算符的构造汇总

2 r 2
2
所以
2 2 2 2 ˆr 2 p r r r
2
1 2 r 2 r r r
（5） 因为
1 2 2 r 2 1 1 2 r r r sin sin sin 2 2
同理
ˆL ˆ p p ˆL ˆ 2i p ˆy y ˆL ˆ p p ˆ L ˆ 2i p ˆz z
ˆL ˆ p ˆL ˆ 2i p ˆ p
所以
ˆ 为任意力学量算符。 ˆp ˆ i A ˆ 。其中 A ˆp ˆA 5.证明： A
同理
ˆp ˆ ) i ( A ˆ) ˆp ˆA (A y y ˆp ˆ ) i ( A ˆ) ˆp ˆA (A z z
ˆp ˆ ) i ( A ˆ ) ˆp ˆA (A
所以
因为 任意，所以
ˆp ˆ i A ˆ ˆp ˆA A ˆ ˆ ] 对易。证明： ˆ、 ˆ 皆与它们的对易子 [ A,B 6.设算符 A B ˆ, B ˆ, B ˆ n ] nB ˆ n1[ A ˆ] ˆn, B ˆ n1[ A ˆ, B ˆ ] nA ˆ] [A [A
可以构造厄米算符
1 ˆ ) r p ˆ 1 (2r p ˆ 3i ) r p ˆ 3i (r p 2 2 2
（3） 类似地，因为
ˆ ) ( L ˆ p ˆ 2i p ˆ ˆL ˆ) p ˆL ˆ p ˆL (p
ˆ ˆL 所以， p 不是厄米算符。
ˆ (a ˆ 解： （1） N ˆa ˆ ) a ˆa ˆ N
ˆ2 a ˆ ˆ (1 a ˆa ˆ )a ˆ a （2） N ˆ aa ˆ ˆa ˆ a ˆa ˆ a ˆ 2a ˆ2 a ˆa ˆ N ˆ n ，则 N ˆ 2 n2 （3） 令 N
4.求证：
ˆL ˆ p ˆL ˆ 2i p ˆ p
ˆL ˆ p ˆ p ˆ L ˆ p ˆ p ˆ ˆ p ˆ yL ˆ ˆ ˆ p L L L 解： z z y y z z y x ˆ ] [L ˆ ,p ˆy, L ˆz ] i p ˆx ˆx i p ˆ x 2i p [p z y
z z
所以
ˆ L ˆ L
ˆ 是厄米算符。 因此 L
ˆ （2） 对 r p 有 ˆ r ˆ ) ( xp ˆxx p ˆy y p ˆzz p ˆ x yp ˆ y zp ˆ z ) p (r p
ˆ 3i rp
ˆ rp
ˆ 不是厄米算符。 所以， r p
n n
又
所以
ˆ 2 N ˆ n N n n n
n2 n n 0,1
n
n
ˆ,a ˆ ] [a ˆ a ˆ, a ˆ ] [a ˆa ˆ 2 aa ˆ ˆ a ˆ aa ˆ ˆ a ˆ ˆ , a ˆ]a ˆ a （4） [ N ˆ ˆ a ˆ )a ˆ a (1 a ˆ,a ˆ aa ˆ ˆ a ˆ 2a ˆ a ˆ [a ˆ, a ˆ ] a ˆ aa ˆ ˆ ˆ ] [a ˆ a ˆ, a ˆ ] a [N ˆ ˆ ˆ )a ˆ a (1 aa
ˆ 1 (U ˆ 1 (U ˆ U ˆ ) ，式中 U ˆ U ˆ )， ˆ 为幺正算 7.定义算符 A B 2i 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 符，即 U U UU 1 。证明： ˆ 与B ˆ 皆为厄米算符； （1） A
ˆ2 B ˆ2 1 ； （2） A
ˆ, B ˆ] 0 。 （3）[ A
ˆr ] i [r , p
1 r r r r
2 1 1 ˆ p 2 2 2 r r r r r r r 2 2 2 2 2 r 2 r r r r r r r
2 1 1 2 2 ˆ L sin 2 2 sin sin
所以
p2 22
2 1 r2
2 1 1 2 r r r sin sin sin 2 2
ˆ d d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ax 解： ( A p p A) x i Ax dx dx ˆ ˆ d ˆ d dA ˆ dA ˆ) x x i A A i ( A i x x x dx dx dx dx
1

ˆ 为厄米算符，判断下列算符是否 9.已知粒子的坐标 r 和动量 p 为厄米算符 ˆ rp ˆ ˆ ˆ ˆL ˆ L p rp r L
如果不是，试构造相应的厄米算符。
ˆ rp ˆ 解： （1） 对 L
有
ˆ ( yp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z zp ˆy L zp ) p y p x z y z y z pz y p y z yp ˆ L x ˆ ˆ ˆ ˆ L L L L 同理 y y
解：利用数学归纳法证明。 ˆ, B ˆ, B ˆ] [A ˆ ] 显然成立。 n 1 [A ˆ, B ˆ, B ˆ k ] kB ˆ k 1[ A ˆ ] 成立，则 设 n k 时，[ A
ˆ, B ˆ, B ˆ, B ˆ, B ˆ, B ˆ k 1 ] B ˆ[ A ˆ k ] [ A ˆ ]B ˆ k BkB ˆ ˆ k 1[ A ˆ] [ A ˆ ]B ˆk [A ˆ, B ˆk[A ˆ] ˆ, B ˆ, B ˆk[A ˆ] [ A ˆ ]B ˆ k (k 1)B kB
2
1 2 r ； 2 r r r
解： （1）在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影。 r r ˆ ˆ ˆr p p ˆr p p 或 r r r ˆ 量子力学中， p 与 不对易。 r
因为
x y z y z r ˆ x r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p x y z p px py pz r r r r r r r r 所以，为保证径向动量算符是厄米算符，应取 1 r ˆ r ˆ 1r ˆ ˆ r ˆr p p p p p 2 r r r 2 r （2） 因为 1r ˆ ˆ r ˆ 1 p ˆ r ˆ r p p 1 r p p 2 r r 2r 2 r


1r ˆ 1 ˆ r 1r ˆ r ˆ 1 ˆ r p p p p p 2r 2 r 2r r 2 r 1 2 r 1 r i i i i r 2 r r 2 r 1 i r r
ˆ dU ˆ i ˆ H U dt
是厄米算符。
ˆ ˆ dU dU + ˆ i ˆ i U ˆ 解： H U dt dt ˆ ˆ d ˆ ˆ dU dU ˆ ˆ H ˆ i (UU ) U i U dt dt dt
1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ A (U U ) (U U ) A 解： （1） 2 2 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ (U U ) B B (U U ) (U U ) 2i 2i 2i
（2）
1 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ A B (U U UU U U ) 4 1 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ (U U UU U U ) 4
（3） 因为
ˆ r ] rp ˆ r p ˆ r r i r [r , p i r r i r i i i r i r r (r ) r
i
所以 （4） 因为
ˆ, B ˆ, B ˆ 2[ A ˆ n 2 ] 2B ˆ n1[ A ˆ] B ˆ, B ˆ, B ˆ n1[ A ˆ ] (n 1) B ˆ n1[ A ˆ] B
ˆ, B ˆ n1[ A ˆ] nB
同理
ˆn, B ˆ n1[ A ˆ, B ˆ ] nA ˆ] [A

2
1 2 L2 L2 2 p r r r 2 r r r 2 r 2
2 ˆ 具有性质： ˆ ˆ 11.设一算符 a ， [ a , a ] 1 。求证： ˆ a 0 ˆ a （1） N ˆ a ˆ 是厄米算符； ˆ2 N ˆ ； （2） N ˆ 2 的本征值为0或1； （3） N + + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ N , a ] a [ N , a ] a （4） ， 。
10.定义径向动量算符
1r ˆ ˆ r ˆr p p p 2 r r
1 ˆ r i ； ˆ p ˆ r ； （2） p 证明：（1） p r r
r
ˆr ] i ； （3） [ r , p 2 2 2 2 ˆr 2 （4） p r r r 2 ˆ L 2 2 ˆ ˆ p p （5） r 。 2 r
所以
ˆ, B ˆ, B ˆ n ] nB ˆ n1[ A ˆ] [A
或者
ˆ, B ˆ, B ˆ, B ˆn] B ˆ[ A ˆ n1 ] [ A ˆ ]B ˆ n1 [A ˆ, B ˆ, B ˆ, B ˆ 2[ A ˆ n 2 ] B ˆ[ A ˆ ]B ˆ n 2 [ A ˆ ]B ˆ n1 B
构造厄米算符
1 ˆ ˆ ˆ ) p ˆ i p ˆL ˆL ˆ ( p L) ( p 2
（4） 同理，因为 ˆ ) ( L ˆ r) (r L
ˆ 不是厄米算符。 所以， r L
ˆ ˆ 2i r r L r L
构造厄米算符
1 ˆ (r L ˆ ) r L ˆ i r r L 2
1 4 1 4Βιβλιοθήκη 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ （3） [ A, B] [U U , U U ] 4i
1 ˆ ˆ ˆ ,U ˆ ] [U ˆ ,U ˆ ] [U ˆ ,U ˆ ] [U ,U ] [U 4i
0


ˆ 为幺正算符，且对t可微，求证： 8.设 U