湖北高一高中数学期末考试带答案解析

湖北高一高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若角的终边经过点，则的值为（）
A．B．C．D．
2.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是（）
A．B．C．D．
3.若，则计算所得的结果为（）
A．B．C．D．
4.函数f(x)=x2+lnx4的零点所在的区间是（）
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
5.已知，，，，且四边形为平行四边形，则（）
A．B．
C．D．
6.若，则（）
A．B．C．D．
7.已知函数的图象如图所示，则（）
A．B．C．D．
8.若向量两两所成的角相等，且，则等于（）
A．B．C．或D．或
9.函数的图象（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y x对称
10.对于任意不全为的实数，关于的方程在区间内（）
A．无实根B．恰有一实根C．至少有一实根D．至多有一实根
二、填空题
1.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .
2.已知，则与垂直的单位向量的坐标是 .
3.若，则的值为 .
4.函数的图象如图所示，其右侧部分向直线无限接近，但永不相交。

（1）函数的定义域为，值域为；
（2）当时，只有唯一的值与之对应。

（错一空扣2分，扣完为止）
5.设函数，其中．
（1）记集合不能构成一个三角形的三边长，且，则所对应的的零点
的取值集合为；
（2）若是的三边长，则下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．
①对于区间内的任意，总有成立；
②存在实数，使得不能同时成为任意一个三角形的三条边长；
③若，则存在实数，使．（提示：）
（第（1）空2分，第（2）空3分）
三、解答题
1.设全集，集合为第二象限角，集合为第四象限角．
（1）分别用区间表示集合与集合；（2）分别求和．
2.对于函数（）．
（1）探索并证明函数的单调性；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？若有，求出实数的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．
3.已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，，，，且，其中为坐标原点．
（1）求实数，的值；
（2）设的重心为，若存在实数，使，试求的大小．
4.已知函数。

（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值及最小值；
（3）将函数的图象作怎样的变换可得到的图象？
5.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间小时间的关系为
．如果在前个小时消除了的污染物，试求：
（1）个小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少所需要的时间．（参考数据：）
6.已知函数．
（1）若对于区间内的任意，总有成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内有两个不同的零点，求：
①实数的取值范围；②的取值范围．
7.已知函数与．
（1）对于函数，有下列结论：①是奇函数；②是周期函数，最小正周期为；③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称．其中正确结论的序号是__________；
（直接写出所有正确结论的序号）
（2）对于函数，求满足的的取值范围；
（3）设函数的值域为，函数的值域为，试判断集合之间的关系．
湖北高一高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.若角的终边经过点，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正切函数的定义即得.
【考点】三角函数的概念.
2.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
【考点】根式与指数式的互化，指数式的运算法则.
3.若，则计算所得的结果为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先根据诱导公式化简，原式=，再将代入即得答案为A.【考点】诱导公式.
4.函数f(x)=x2+lnx4的零点所在的区间是（）
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
【答案】B
【解析】由可知零点在区间内.
【考点】零点存在性定理.
5.已知，，，，且四边形为平行四边形，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据向量的加减法算得，又在平行四边形中有,故得B正确.
【考点】向量的加减法.
6.若，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，所以.
【考点】指对数式的互化，指数运算法则.
7.已知函数的图象如图所示，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由图像得A=2，周期,得到，所以，又且，得，所以.
【考点】三角函数的图像及性质.
8.若向量两两所成的角相等，且，则等于（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】因为向量两两所成的角相等，所以它们的夹角为0或，当夹角为0时，，当
夹角为时，=1+1+9+
=4，得，所以选C.
【考点】向量的模.
9.函数的图象（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y x对称
【答案】C
【解析】因为，所以为奇函数，
故选C.
【考点】函数的奇偶性.
10.对于任意不全为的实数，关于的方程在区间内（）
A．无实根B．恰有一实根C．至少有一实根D．至多有一实根
【答案】C
【解析】令，（1）当时，在上有且仅有一个
零点；（2）当即时，不等式两边同除以得，即，
又不全为0；又的对称轴为
，所以在上有两个零点，故选C.
【考点】零点存在性定理，函数与方程的关系.
二、填空题
1.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围
.
【考点】二次函数的单调性.
2.已知，则与垂直的单位向量的坐标是 .
【答案】
【解析】设所求向量为，则解之得或.
【考点】向量数量积的应用（向量的模、向量垂直的充要条件）.
3.若，则的值为 .
【答案】
【解析】.
【考点】同角三角函数基本关系.
4.函数的图象如图所示，其右侧部分向直线无限接近，但永不相交。

（1）函数的定义域为，值域为；
（2）当时，只有唯一的值与之对应。

（错一空扣2分，扣完为止）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由图像可得定义域为，值域为；（2）从图像可得答案为.【考点】函数的图像.
5.设函数，其中．
（1）记集合不能构成一个三角形的三边长，且，则所对应的的零点
的取值集合为；
（2）若是的三边长，则下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．
①对于区间内的任意，总有成立；
②存在实数，使得不能同时成为任意一个三角形的三条边长；
③若，则存在实数，使．（提示：）
（第（1）空2分，第（2）空3分）
【答案】（1）；（2）①②③．
【解析】（1）由题可知令
又.所以f(x)的零点集合为
（2） 1
所以①正确.
令则不能构成三角形的三条边长，所以②正确。

若三角形为钝角三角形，则令，使。

所
以③正确.
【考点】函数的零点，指（对）数函数的性质，解三角形等知识的综合运用.
三、解答题
1.设全集，集合为第二象限角，集合为第四象限角．
（1）分别用区间表示集合与集合；（2）分别求和．
【答案】（1），；（6分）
（2），
．（12分）
【解析】（1）由是第二象限角得，进而得集合A与集合B；
（2）借助于数轴或直角坐标系即可求解.
试题解析：（1），；（6分）
（2），
．（12分）
【考点】象限角，集合的运算.
2.对于函数（）．
（1）探索并证明函数的单调性；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？若有，求出实数的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．
【答案】（1）单调增；（2）．
【解析】（1）直接利用增函数的定义证明；（2）法一：直接用定义，可得，法二：先由求得，再证明恒成立．
试题解析：（1）任取,且，则
，，，得在R上是增函数；（6分）
（2）由，得，，又
所以当时，为奇函数．（12分）
【考点】（1）函数的单调性的定义；（2）函数的奇偶性．
3.已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，，，，且，其中为坐标原点．
（1）求实数，的值；
（2）设的重心为，若存在实数，使，试求的大小．
【答案】（1）或，（2）
【解析】（1）由A,B,C三点共线，得与共线,又，可得关于方程组，解得的值；（2）由，得为的中点，再利用即可求解．
试题解析：
（1）由于、、三点在一条直线上，则∥，
而，
∴，
又∴，联立方程组解得或．（6分）
（2）若存在实数，使，则为的中点，故．
∴，
∴，∴（12分）
【考点】向量平行，垂直的充要条件的坐标形式，向量的夹角．
4.已知函数。

（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值及最小值；
（3）将函数的图象作怎样的变换可得到的图象？
【答案】（1）调递减区间为：
（2）当，即时，有最大值，
当，即时，有最小值；
（3）法一：将的图象的横坐标变为原来的，再向右平移个单位．
法二：将的图象向右平移个单位，再将横坐标变为原来的．
【解析】（1）将看作一个整体，利用正弦函数的单调性即可求解；（2）先求出，再借助正弦曲线即可求解；（3）法一、先平移后放缩；法二、先放缩后平移
试题解析：（1）令，则
的单调递减区间为
由得：
又在上为增函数，故原函数的单调递减区间为：
（4分）
（2）令，则，
当，即时，有最大值，
当，即时，有最小值；（8分）
（3）法一：将的图象的横坐标变为原来的，再向右平移个单位。

（12分）
法二：将的图象向右平移个单位，再将横坐标变为原来的。

（12分）
【考点】三角函数的图像和性质
5.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间小时间的关系为
．如果在前个小时消除了的污染物，试求：
（1）个小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少所需要的时间．（参考数据：）
【答案】（1）个小时后还剩的污染物；（2）污染物减少所需要的时间为个小时．
【解析】本题的关键是看懂题目：是一个固定常数，是需要计算出来的一个常数(1)由题意可知可知，当时，；当时，．于是有，解得，那么，当时，；（2）当时，有解得.
试题解析：（1）由可知，当时，；当时，．于是有
，解得，那么
所以，当时，
∴个小时后还剩的污染物（7分）
（2）当时，有
解得（13分）
∴污染物减少所需要的时间为个小时．
【考点】数学知识的实际应用
6.已知函数．
（1）若对于区间内的任意，总有成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内有两个不同的零点，求：
①实数的取值范围；②的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）分离参数，若对于区间内的任意，总有成立，得，再求出的最大值即可；
（2）先去绝对值，当时，方程化为，时，无解；时，；
当时，方程化为，，而其中，故在区间内至多有一解；
综合ⅰ）ⅱ）可知，，且，得．
试题解析：（1），
记，易知在上递增，在上递减，
∴，∴即可（5分）
（2）①ⅰ）时，方程化为，时，无解；时，；
ⅱ）时，方程化为，，而其中，故在区间内至多有一解；
综合ⅰ）ⅱ）可知，，且时，方程有一解，故；时，方程
也仅有一解，令，得，所以实数的取值范围是
；（10分）
②方程的两解分别为，，
（14分）
【考点】（1）绝对值，不等式的恒成立问题；（2）函数与方程，函数的零点
7.已知函数与．
（1）对于函数，有下列结论：①是奇函数；②是周期函数，最小正周期为；③
的图象关于点对称；④的图象关于直线对称．其中正确结论的序号是__________；
（直接写出所有正确结论的序号）
（2）对于函数，求满足的的取值范围；
（3）设函数的值域为，函数的值域为，试判断集合之间的关系．
【答案】（1）①③④；
（2）
（3）．
【解析】（1）可得，再逐一分析性质；（2）难点是求交集，可借助于数轴；（3）分别研究与的值域即可
试题解析：（1）①③④；（3分）
（2）或
；（6分）
（3），当且仅当时取得等号，但是当时，，此时，所以，故，即；
，当且仅当时取得等号，此时，所以，即；
由此可知，．（10分）
【考点】三角函数的性质，集合的运算。