高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法试题新人教A版选修4-5(2021年整理)

2018-2019版高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法试题新人教A版选修4-5
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三反证法与放缩法
课后篇巩固探究
1.设实数a，b,c满足a+b+c=,则a,b，c中（)
A.至多有一个不大于
B。

至少有一个不小于
C。

至多有两个不小于
D.至少有两个不小于
解析假设a,b，c都小于，即a〈，b<，c〈，则a+b+c〈,这与a+b+c=矛盾，因此假设错误,即a，b，c中至少有一个不小于。

答案B
2.已知三角形的三边长分别为a,b，c，设M=，N=,Q=，则M，N与Q 的大小关系是（)
A。

M〈N〈Q
B.M<Q<N
C.Q<N<M
D。

N〈Q<M
解析由题意知a+b〉c〉0，
则.
∴+1<+1，
即。

∴,
故N〈Q。

M-Q==0，
∴M>Q，故M>Q>N。

答案D
3.导学号26394038设M=+…+，则() A。

M=1
B。

M〈1
C.M〉1
D.M与1大小关系不确定
解析分母全换成210,共有210个单项。

答案B
4.某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在［0,1］上有意义,且f（0)=f（1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1］,都有｜f(x1)—f（x2)|<｜x1—x2｜,求证|f(x1）—f（x2）｜
<。

那么它的假设应该是。

答案｜f(x1）—f（x2）｜≥
5.设a,b，c均为正数，P=a+b-c,Q=b+c—a,R=c+a-b，则“PQR〉0”是“P，Q，R同时大于零"的条件。

解析必要性是显然成立的;当PQR〉0时，若P,Q,R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P〉0，Q〈0,R<0，则Q+R=2c〈0，这与c>0矛盾，即充分性也成立.
答案充要
6。

设a,b是两个实数，给出下列条件：①a+b>1;②a+b=2；③a+b>2;④a2+b2>2；⑤ab〉1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1"的条件是。

(填序号)
解析①可取a=0.5,b=0。

6,故不正确；②a+b=2，可取a=1，b=1,故不正确;③a+b〉2,则a，b 中至少有一个大于1，正确;④a2+b2〉2，可取a=-2，b=—1，故不正确；⑤ab〉1，可取a=—2,b=—1,故不正确。

答案③
7.设f（x)=x2-x+13，a,b∈[0，1］,求证|f(a)-f（b）｜≤｜a—b｜。

证明|f（a）—f（b）|=｜a2—a—b2+b|
=|(a-b）(a+b-1）|
=|a—b|｜a+b-1|,
因为0≤a≤1,0≤b≤1,
所以0≤a+b≤2.
所以—1≤a+b—1≤1,
所以|a+b—1|≤1。

故｜f(a）-f（b)｜≤｜a-b|。

8。

已知x>0，y〉0，且x+y〉2,试证:中至少有一个小于2.
证明假设都不小于2,即
≥2,且≥2。

因为x〉0，y〉0，
所以1+x≥2y,且1+y≥2x.
把这两个不等式相加，得2+x+y≥2（x+y)，
从而x+y≤2，这与已知条件x+y〉2矛盾。

因此，都不小于2是不可能的，即原命题成立.
9。

导学号26394039已知S n=+…+,求证：对于正整数m,n,当m>n时，｜S m-S n|〈。

证明记a k=(k∈N+）,则｜a k｜≤。

于是,当m〉n时，|S m-S n|
=｜+…+a m｜
≤|｜+｜｜+…+｜a m|
≤+…+
=
=。

10.导学号26394040若数列{x n}的通项公式为x n=，求证x
·x3·x5·…·x2n—1<.
1
证明因为,
又
==1,
所以，
所以x1·x3·x5·…·x2n-1
=×…×
〈，
故x1·x3·x5·…·x2n-1〈。