2019-2020学年黑龙江省大庆市大庆中学高一上学期期末数学(理)试题(解析版)

黑龙江省大庆市大庆中学高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A ．{1} B ．{12}， C ．{0123}，，， D ．{1
0123}-，，，， 【答案】C
【解析】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以
{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2
1y x =+ B ．1y x =+
C ．12
y x =
D ．3y x =
【答案】D
【解析】选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解. 【详解】
选项A 中，设函数()y f x =，()()f x f x -=Q ，函数2
1y x =+是偶函数，不符合题
意；
选项B 中，设函数()y f x =，()()f x f x -≠±Q ，则函数1y x =+为非奇非偶函数，选项B 不符合题意；
选项C 中，函数1
2y x =的定义域为[0,)+∞，则1
2y x =为非奇非偶函数，选项C 不符合题意；
选项D 中，3y x =是单调递增且满足()()f x f x -=-，则3
y x =是奇函数，符合条件.
故选：D. 【点睛】
本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题.
3．函数y = ）
A ．[0,)+∞
B ．[0,2]
C ．[0,2)
D ．(0,2)
【答案】C
【解析】∵2x >0, 故0≤4-2x <4, ∴函数值域为[0,2). 4．函数(
)2
2log 2y x x =-的单调减区间为（ ）
A ．(]0,1
B ．()0,2
C ．()1,2
D ．[]0,2
【答案】C
【解析】先研究()22
121==-+--t x x x 的单调性，再看2log y t =的单调性，最后根据复合函数的单调性，同增异减，得到结论，要注意定义域. 【详解】
()
22log 2y x x =-的定义域为()0,2，
令()22
121==-+--t x x x
根据二次函数的性质得t 在()1,2上单调递减 又2log y t =在()1,2上单调递增 根据复合函数的单调性得
()
22log 2y x x =-在()1,2上单调递减
故选：C 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性，还考查了数形结合的思想，属于中档题. 5．幂函数()()
22
3
1m m f x m m x
+-=--在()0,∞+时是减函数，则实数m 的值为（ ）
A ．2或-1
B ．-1
C ．2
D ．-2或-1
【答案】B
【解析】先由()f x 是幂函数，得21m m --=1，1m =-或，2m =，再分类讨论，验证是否满足在()0,∞+上是减函数. 【详解】
因为()f x 是幂函数 所以21m m --=1 解得1m =-或，2m =
当1m =-时，()3
f x x -=，在()0,∞+时是减函数
当2m =时，()3
f x x =，在()0,∞+时是增函数，不符合题意
所以1m =- 故选：B 【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．已知函数，若f （a ）=10，则a 的值是（ ）
A ．-3或5
B ．3或-3
C ．-3
D ．3或-3或5 【答案】A
【解析】根据分段函数的解析式，分两种情况讨论分别求得或
.
【详解】 若,则舍去）,
若
，则
,
综上可得，或
,故选A .
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求自变量，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 7．函数()tan f x x =的定义域为（ ）
A ．0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．(),
2k k k Z π
ππ⎡
⎫
+∈⎪⎢⎣
⎭
C ．()2,22k k k Z πππ⎡⎫
+∈⎪⎢
⎣⎭
D ．(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】首先根据根式函数，负数不能开偶次方根，得tan 0x ≥，再利用正切函数的性质得到结论.
【详解】 因为tan 0x ≥
所以由正切函数的性质得
2
π
ππ≤<
+k x k
故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数定义域的求法和正切函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想，属于中档题.
8．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为（ ） A ．
2
1
sin 1
B ．
2
2
sin 2
C ．
2
1
cos 1
D ．
2
2
cos 2
【答案】A
【解析】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可. 详解：由题意得扇形的半径为：
1sin1
又由扇形面积公式得该扇形的面积为：22
111
22sin 1sin 1
⨯⨯=. 故选：A.
点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.
9．函数()0,0,2
()(||)f x Asin x A π
ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图所示，则函数
()f x 的解析式为（ ）．
A ．()2sin 6f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()2sin 12f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
【答案】D
【解析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512
x π
=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】
由题意可知52,4,212()6
A T ππ
πω==-==， 因为:当512
x π
=
时取得最大值2， 所以:5222)2
(1sin π
ϕ=⨯+， 所以:522,Z 122
k k ππ
ϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3
k k π
ϕπ=-∈，
因为:||2
ϕπ
<
， 所以:可得3
π
ϕ=-，
可得函数()f x 的解析式:()(2)23
f x sin x π
=-．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
10．若sin θ，cos θ是关于x 方程2420x mx m ++=的两个根，则实数m 的值是（ ） A
．1+ B
．1-C
．1- D
．1-【答案】B
【解析】利用韦达定理与同角三角函数公式求解即可. 【详解】
由题,判别式()2
24404m m m ∆=-⨯>⇒>或0m <.
又由韦达定理有sin cos 4sin cos 2m m
θθθθ⎧
⋅=⎪⎪⎨
⎪+=-⎪⎩
,故222124024m m m m ⎛⎫--⨯=⇒--= ⎪⎝⎭.
解得1m =±.因为4m >或0m <,
故1m =故选：B
【点睛】
本题主要考查了韦达定理的应用以及同角三角函数的关系,属于中等题型.
11．要得到函数y x =的图象,只需将函数)4
y x π
=-的图象上所有的
点（ ）
A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动
8
π
个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动
4
π
个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的
1
2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4
π个单位长度 D ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8
π
个单位长度 【答案】B 【解析】【详解】
))424y x x πππ=-=+-，即)4y x π
=+，所以要得到函数
y x =的图像，先将横坐标伸长到原来的2，变为)4
y x π
=+；再向右平
移
4
π
个单位即可得到y x =，应选答案B ． 12．已知函数21,0()ln ,0
x x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩
,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数． 【详解】
画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩
令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个 故选：D
【点睛】
本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．
二、填空题
13．当a ＞0且a ≠1时，函数()2
3x f x a -=-必过定点____________.
【答案】(2,2)-.
【解析】由指数函数恒过(0,1)点,即可得出答案. 【详解】
由指数函数的图像恒过(0,1)点,可得当2x =时,2 x a -=1,所以()22
232f a -=-=-,即函
数()2
3x f x a
-=-必过定点(2,-2).
故答案为: (2,-2). 【点睛】
本题考查了指数函数的性质,借助于指数函数的图像的性质求解函数图像过定点的问题,掌握指数函数图像恒过(0,1)点是解题的关键,属于基础题.
14．已知()1,2a x =+r ，()47b =-r ，且a r 与b r
的夹角为钝角，则x 的取值范围为
__________． 【答案】52x <
且 9
4
x ≠
【解析】由a r 与b r 的夹角为钝角，则0a b ⋅<r r 且1⋅≠-r r
a b 求解. 【详解】
因为a r 与b r
的夹角为钝角，
则0a b ⋅<r r 且1⋅≠-r r
a b
即()()41270++⨯-<x 且()()41271++⨯-≠-x 解得52x <
且 9
4
x ≠
故答案为：52x <且 9
4
x ≠
【点睛】
本题主要考查了数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．已知sin 63
⎛⎫+=
⎪⎝⎭πα，则10cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________．
【答案】【解析】利用诱导公式将10cos 3πα⎛⎫
-
⎪⎝⎭
变形10cos cos[3]cos sin 3336ππππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求解.
【详解】
因为sin 63
⎛⎫
+=
⎪⎝⎭πα，
所以10cos cos[3]cos sin 33363ππππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-+=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故答案为：-【点睛】
本题主要考查了诿导公式的应用，还考查了转化化归的思想，属于中档题.
16．设函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜2
π
）的图象关于直线23x π=对称，
它的周期为π，则下列说法正确是 ______ ．（填写序号）
①f （x ）的图象过点302⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，；
②f （x ）在2123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递减；
③f （x ）的一个对称中心是5012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，； ④将f （x ）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y =2sinωx 的图象． 【答案】③
【解析】∵()f x 的周期为π ∴22π
ωπ
=
=
又∵()f x 的图象关于直线23
x π
=对称 ∴2232k k Z ππ
ϕπ⨯
+=+∈， ∵0＜φ＜2π
∴6
π=ϕ
∴()2sin(2)6
f x x π=+ 当0x =时，(0)2sin 16
f π
==，即图象过点(0)1，
，故①错误； 由
32222
6
2k x k k Z π
π
πππ+≤+
≤
+∈，得263
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈， ∴()f x 在2[]6
3
ππ
，上单调递减，故②错误；
由26
x k k Z π
π+
=∈，得212
k x k Z ππ
=
-∈，，故当1k =时，()f x 的对称点为5(
0)12
，π，故③正确； 将()2sin(2)6
f x x π=+的图象向右平移
6
π
个单位长度得2sin[2()]2sin(2)666
x x πππ
-+=-，故④错误；
故答案为③
三、解答题
17．已知向量()4,3a =r
，()1,2b =-r ． （1）求a b -r r
；
（2）若向量a b λ-r r 与2a b +r r
平行，求λ的值．
【答案】（1（2）1
2
λ=-
【解析】（1）由()4,3a =r ，()1,2b =-r ，得到()5,1a b -=r r ，再利用求模公式求解.
（2）先求得()4,32a b λλλ-=+-r r ，()27,8a b +=r
r ，又因为向量a b λ-r r 与2a b +r r 平
行，则有()()847320λλ+--=求解. 【详解】
（1）因为()4,3a =r
，()1,2b =-r ， ∴()5,1a b -=r r
，
∴a b -==r r
（2）因为()4,32a b λλλ-=+-r r ，()27,8a b +=r
r
Q 向量a b λ-r r 与2a b +r r
平行，
∴()()847320λλ+--=， 解得1
2
λ=- 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．已知集合{}1|41,|22x
A x x
B x ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=-<<=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
．
（1）求,A B A B I U ；
（2）设函数()f x =的定义域为C,求()R C A C ⋂.
【答案】（1）{}{}|41,|1A B x x A B x x ⋂=-<≤-⋃=<；（2）{}|2x x ≥. 【解析】【详解】试题分析：（1）(],1B =-∞-，所以
{}{}|41,|1A B x x A B x x ⋂=-<≤-⋃=<；（2）根据231x -≥解得{}|2C x x ∴=≥，{}|41R C A x x x =≤-≥或，所以{}()|2R C A C x x ⋂=≥.
试题解析：
（1）{}{}=|1,|41B x x A x x ≤-=-<<Q ，
{}{}|41,|1A B x x A B x x ∴⋂=-<≤-⋃=<
（2）由4log (23)0x -≥得231x -≥，2x ∴≥，{}|2C x x ∴=≥. 又{}
{}|41,()|2R R C A x x x C A C x x =≤-≥∴⋂=≥或 【考点】指数不等式、定义域、对数不等式.
19．已知()()()()
3sin cos tan cos 222()sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+--+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
---+．
（1）化简()f
α；
（2）若α是第二象限角，且31cos 2
5πα⎛⎫-
=- ⎪
⎝
⎭，求()f α的值． 【答案】（1）()cos f αα=（2）(
)f α= 【解析】（1）利用三角函数的诱导公式即可求解. （2）利用诱导公式可得1
sin 5
α=，再利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】
（1）由题意得()()()
()()
cos sin tan sin ()cos sin tan sin f ααααααααα---=
=---．
（2）∵31cos sin 2
5παα⎛⎫
-
=-=- ⎪
⎝
⎭
，∴1sin 5α=． 又α为第二象限角，
∴cos 5α==-，∴(
)5
f α=-． 【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题. 20．已知1
sin cos 5
θθ+=，θ∈(0，π). (1)求tanθ的值；
(2)求
2212sin cos cos sin θθ
θθ
--的值.
【答案】（1）4
3
-（2）-7
【解析】（1）利用平方的方法，列方程组，解方程组求得sin ,cos θθ的的值，进而求得tan θ的值.
（2）利用同角三角函数的基本关系式将所求表达式化为只含tan θ的形式，由此求得表达式的值. 【详解】
（1）∵()1
sin cos ,0,5
θθθ+=∈π①， 则sin 0θ>.
平方可得112sin cos 25
θθ+=，∴12
sin cos 25θθ=-②， 由①②求得43sin ,cos 55
θθ==-，∴sin 4
tan cos 3θθθ=
=-. （2）
()()()2
22
cos sin 12sin cos cos sin cos sin cos sin θθθθ
θθθθθθ--=-+⋅-cos sin 1tan 7cos sin 1tan θθθθθθ
--===-++ 【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
21．函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,02x R A πωϕ⎛⎫
∈>><<
⎪⎝
⎭
的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
． （1）求函数()f x 的解析式及单调增区间； （2）求当,122x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦时，()f x 的值域． 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）[]1,2- 【解析】（1）由最低点为2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，得到2A =，再由相邻两个交点之间的距离为2π
所以T π=，得到2ω=，又因为由点2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
在图象上，代入()()2sin 2f x x ϕ=+求解，得到()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
；利用整体思想，由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
来求单调增区间.
（2）由,122x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
，()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，得到72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用整体思
想转化，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】
（1）由题意得，由最低点为2,23M π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，得2A =， 因为相邻两个交点之间的距离为2
π 所以T π=，∴2ω=． 因为由点2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
在图象上， 所以42sin 23πϕ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
， 所以
4232
k ππ
ϕπ+=-+， k Z ∈ 所以1126
k π
ϕπ=-
+， 因为0,
2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， 所以2k =时，6
π=
ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，
得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，
∴函数()f x 的单调区间是(),3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
．
（2）∵,122x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
，()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
∴72,636x π
ππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣⎦
当26
2
x π
π
+
=
，即6
x π
=
时，()f x 取得最大值2；
当726
6
x π
π+
=
，2x π
=时，()f x 取得最小值-1，
故()f x 的值域为[]1,2-． 【点睛】
本题主要考查了三角函数解析式的求法及单调性怀最值的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当
0x >时，()0.f x >
（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若(
)()3
27
930x
x
x x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）3
,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【解析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性； （2）利用定义证明函数的单调性；
（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式(
)()3
27
930
x
x
x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围． 【详解】
(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f = 令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦
()()f x f x ∴-=-
()f x ∴为奇函数
（2）任取12,,x x R ∈且12x x <
()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦ ()()()()
121121f x f x x f x f x x =---=--
12x x <Q
210x x ∴->
()210f x x ∴-> ()210f x x ∴--<
即()()12f x f x <
∴()f x 是R 的增函数…
（3）(
)()3
27
930x
x
x x f k f ⋅+-+>Q
()()32793x x x x f k f ∴⋅>--+
()f x Q 是奇函数
()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-
()f x Q 是增函数
32793x x x x k ∴⋅>-+- 931x x k ∴>-+-
令931x
x
y =-+-，下面求该函数的最大值 令()30x
t t =>
则()2
10y t t t =-+->
当12
t =
时，y 有最大值，最大值为34-
3
4
k ∴>-
∴k 的取值范围是3,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．。