广东高三高中数学期末考试带答案解析

广东高三高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2.已知复数z满足，则z为（）
A．B．C．D．
3.已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A．B．－C．2D．－2
4.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．（）A．B．C．D．
5.已知则（）
A．B．C．D．
6.定积分的值为．（）
A．B．C．D．
7.若（）且，则展开式的各项中系数的最大值为（）A．15B．20C．56D．70
8.从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．
二、填空题
1.命题P：“”的否定为：、的真假为
2.某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸
（单位：cm）可求得隔离墩的体积为
3.
如果执行上面的框图，输入，则输出的数S=" "
4.不论k为何实数，直线恒过的定点坐标为、若该直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是
5.已知，，根据以上等式，可猜想出的一般结论
是
6.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点
的切线方程为
7.（几何证明选讲选做题）已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为
三、解答题
1.（本题满分12分）
已知函数, ．
（1）求函数的最大值和最小值；
（2）设函数在上的图象与轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P,求与的夹角的余弦
2.本题满分14分）
为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．
表1:男生身高频数分布表
表2:女生身高频数分布表
（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；
（2）估计该校学生身高（单位：cm）在的概率；
（3）在男生样本中，从身高（单位：cm）在的男生中任选3人，设表示所选3人中身高（单位：cm）在的人数，求的分布列和数学期望．
3.（本题满分12分）
已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，，是左，右焦点．
（1）若，且，，求、的坐标；
（2）在（1）的条件下，过动点作以为圆心、以1为半径的圆的切线（是切点），且使
，求动点的轨迹方程
4.（本题满分14分）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B－EF－A的余弦
5.（本题满分14分）
在数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
6.（本题满分14分）
设函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若，试确定的单调性；
（3）记，且在上的最大值为M，证明：
广东高三高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】本题考查集合与集合关系的分析。

解答：因为
，
所以，故选B。

2.已知复数z满足，则z为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，选D
3.已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A．B．－C．2D．－2
【答案】A
【解析】由幂函数图象过点得，故选 A
4.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直线与坐标轴的交点为（－2，0），（0，1），依题意得
，选A
5.已知则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，选C
6.定积分的值为．（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由定积分的几何意义知是由曲线，直线围成的封闭图形的面积，故＝，选C
7.若（）且，则展开式的各项中系数的最大值为（）A．15B．20C．56D．70
【答案】B
【解析】由得，故各项中系数的最大值为,选B
8.从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解法1：从正方体的8个顶点中任取3个有种取法，可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形（包括正方形），每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，共有个直角三角形，故所求的概率：,选 D．
解法2：从正方体的8个顶点中任取3个有种取法，可构成的三角形有56种可能，所有可能的三角形分为
直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有8种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率：,选D
二、填空题
1.命题P：“”的否定为：、的真假为
【答案】真
【解析】略
2.某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可求得隔离墩的体积为
【答案】
【解析】该几何体为圆柱上面叠一半球，其体积
3.
如果执行上面的框图，输入，则输出的数S=" "
【答案】
【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：
4.不论k为何实数，直线恒过的定点坐标为、若该直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是
【答案】（0，1）
【解析】题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，解得
5.已知，，根据以上等式，可猜想出的一般结论
是
【答案】，
【解析】略
6.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点
的切线方程为
【答案】
【解析】曲线C普通方程为，则切点坐标为，由得切线斜率
，故所求的切线方程为
7.（几何证明选讲选做题）已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为
【答案】
【解析】依题意，=2，5，由=15，得=
三、解答题
1.（本题满分12分）
已知函数, ．
（1）求函数的最大值和最小值；
（2）设函数在上的图象与轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P,求与的夹角的余弦
【答案】（1）函数的最大值和最小值分别为2，-2
（2）
【解析】解：（1）∵=
=---------------------4分
∵∴，
∴函数的最大值和最小值分别为2，-2．---------------6分
（2）解法1：令得,
∵∴或∴ ------------8分
由，且得∴-----------------9分
∴从而
∴．-------------------------------------12分
解法2：过点P作轴于,则由三角函数性质知，8分
,-------------------------------------9分
由余弦定理得=．---12分
解法3：过点P作轴于,则由三角函数的性质知,---8分
---------------------------9分
在中，--------------11分
∵PA平分∴
．-------------------------------------------12分
2.本题满分14分）
为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身
高频数分布表如下表1、表2．
表1:男生身高频数分布表
表2:女生身高频数分布表
（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；
（2）估计该校学生身高（单位：cm）在的概率；
（3）在男生样本中，从身高（单位：cm）在的男生中任选3人，设表示所选3人中身高（单位：cm）在的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）直方图略
（2）
（3）分布列略期望2
【解析】解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400--2分
频率分布直方图如图示：-----------------------------------------6分
（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：
5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中
学生身高在的频率----8分
故由估计该校学生身高在的概率．-9分
（3）依题意知的可能取值为：1,2,3
∵,,
----------------------------12分
∴的分布列为： ---------------------------13分
的数学期望．--------------------------------14分
3.（本题满分12分）
已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，，是左，右焦点．
（1）若，且，，求、的坐标；
（2）在（1）的条件下，过动点作以为圆心、以1为半径的圆的切线（是切点），且使
，求动点的轨迹方程
【答案】（1），
（2）
【解析】解：（1）依题意知-----------------①--------------------------1分
∵∴，∴-------2分
又，由椭圆定义可知，
------②---4分
由①②得．∴、------------------6分
（2）由已知，即
∵是的切线∴-------8分
∴---------------------------------------9分
设，则
即（或）--------------------------11分
综上所述，所求动点Q的轨迹方程为：---------------12分
4.（本题满分14分）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B－EF－A的余弦
【答案】（1）证明略
（2）
（3）
【解析】（1）证明：在图甲中∵且∴ ,
即------------------------------------------------2分
在图乙中，∵平面ABD平面BDC ，且平面ABD平面BDC＝BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD-------------------------------4分
又，∴DC⊥BC,且
∴DC平面AB C．-----------------------------------------------------5分
（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点
∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，垂足为点E
∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角-------------------------------------7分
在图甲中，∵, ∴,
设则,,-9分
∴在Rt△FEB中，
即BF与平面ABC所成角的正弦值为．---------------------------------10分
解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，
设，则，----------------6分
可得,,
，，
∴,-------------8分
设BF与平面ABC所成的角为
由（1）知DC平面ABC
∴
∴---------------------------------------------10分
（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，
又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角----------------------------------------12分
在△AEB中，
∴
即所求二面角B－EF－A的余弦为．-------------14分（其他解法请参照给分）
5.（本题满分14分）
在数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1）
（2）
【解析】解：（1）解法1：由
可得，------------------3分
∴数列是首项为，公差为1等差数列，
∴， ---------------------------------------------------6分
∴数列的通项公式为------------------------7分
解法2：由
可得------------------------------------------------2分
令，则---------------------------------------3分
∴当时
--5分
∴
-----------------------------------------------------------6分
∴------------------------------------------------7分
解法3：∵，--------------------------------1分
，---------------------------------2分
．------------------------3分
由此可猜想出数列的通项公式为------------4分
以下用数学归纳法证明．
①当时，，等式成立．
②假设当（）时等式成立，即，
那么
．----------------------------------------6分
这就是说，当时等式也成立．根据①和②可知，
等式对任何都成立．------------------------7分
（2）令，----------①---------8分
------------②------9分
①式减去②式得：
，----------10分
∴．-------------12分
∴数列的前项和
． ---14分
6.（本题满分14分）
设函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若，试确定的单调性；
（3）记，且在上的最大值为M，证明：
【答案】（1）当时,函数有极大值，
当时，函数有极小值，
（2）当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减
当时,函数在和上单调递增，在上单调递减．
（3）证明略
【解析】解：（1）若，则
有
令得,-------------------------------------------1分
∵当时，当时，当时，
∴当时,函数有极大值，，----------------2分
当时，函数有极小值， -------------------------3分
（2）∵即
又
∴＝
--------------------------------5分
当即时，
∴函数在上单调递增；------------------------------6分
当，即时，由得或，
由得；------------------------------------------7分
当，即时，由得或，
由得；--------------------------------------------8分
综上得：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减-9分当时,函数在和上单调递增，在上单调递减．---10分（3）根据题意＝，
∵在上的最大值为M，
∴
即 --------------------------12分
2＝
∴ -----------------------------------14分（其它解法请参照给分）。