高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆0052 (8)

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理9）直线25015432
2
=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为．
2.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理10）已知圆C 的圆心在直线x －y=0上，且圆C 与两条直线x ＋y=0和x ＋y －12=0都相切，则圆C 的标准方程是__________． 二．能力题组
1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理13）已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于
B A 、两点，O 为坐标原点，则∆OAB 面积的最小值为____，此时，直线l 的方程为____．
2.（北京市昌平区高三二模理14）如图，已知抛物线y x 82
=被直线4y =分成两个区域21,W W （包括边界），圆222:()(0).C x y m r m +-=>
（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；
（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.
三．拔高题组
1.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理8）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且90BAC ︒
∠=，4AB AC ==，那么O ，A 两点间距离的（ ）
A ．最大值是42，最小值是4
B ．最大值是8，最小值是4
C ．最大值是42，最小值是2
D ．最大值是8，最小值是2
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【热点题型】
题型一 正、余弦定理的简单运用
【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1)若a ＝23，b ＝6，
A ＝45°，则c ＝________． (2)若(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，则
B ＝________．
解析 (1)法一 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝bsin A a ＝6×22
23＝1
2，因为b ＜a ，所以B ＜A ，
所以B ＝30°，C ＝180°－A －B ＝105°，sin C ＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6＋2
4
. 故c ＝asin C sin A ＝
23×6＋2422
＝3＋3.
【提分秘籍】
(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
【举一反三】
(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c2＝2a2＋2b2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形
(2)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝
3，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________．
题型二正、余弦定理的综合运用
【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π
2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．
解 (1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos2A ＝33， 因为B ＝A ＋π
2，
所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cosA ＝63.
由正弦定理，得b ＝asin B
sin A ＝3×6
3
33
＝3 2.
(2)由B ＝A ＋π2，得cos B ＝cos ⎝⎛⎭
⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.
由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B)． 所以sin C ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)
＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－33＋63×63＝13.
因此△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12×3×32×1
3 ＝322. 【提分秘籍】
有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．
【举一反三】
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝5
2，求cos C 的值；
(2)若sin Acos2B 2＋sin Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝9
2sin C ，求a 和b 的值． 解 (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b)＝7
2.
由余弦定理得cos C ＝
a2＋b2－c22ab
＝
22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭
⎫72
22×2×5
2
＝－15.
(2)由sin Acos2B 2＋sin Bcos2A
2＝2sin C 可得： sin A·1＋cos B 2＋sin B·1＋cos A 2＝2sinC ，
化简得sin A ＋sin Acos B ＋sin B ＋sin Bcos A ＝4sin C. 因为sin Acos B ＋cos Asin B ＝sin(A ＋B)＝sin C ， 所以sin A ＋sin B ＝3sin C. 由正弦定理可知a ＋b ＝3c. 又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. 由于S ＝12absin C ＝9
2sin C ，所以ab ＝9， 从而a2－6a ＋9＝0， 解得a ＝3，b ＝3.
题型三正、余弦定理在实际问题中的应用
【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．
【提分秘籍】
解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
【举一反三】
如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝
________m.
解析 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝1002(m)．
在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理，得AC sin 45°＝AM
sin 60°，因此AM ＝1003(m)．
在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM ＝sin 60°，得MN ＝1003×3
2＝150(m)． 答案 150 【高考风向标】
【高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.
【答案】1006.
【解析】在ABC ∆中，030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC AB
BAC ACB
=
∠∠， 即1
sin 2sin 2
2AB BC BAC ACB =
⨯∠==∠3tan 30021006CD BC DBC =⨯∠==，故应填 6.
A
B C D
.【高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3
sin sin cos 4
C A B -=
，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II)30,120,30.A B C ===
【解析】（Ⅰ）由tan a b A =及正弦定理，得
sin sin cos sin A a A
A b
B ==
，所以sin cos B A =。

（Ⅱ）因为sin sin cos sin[180()]sin cos C A B A B A B -=-+-
sin()sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B =+-=+-=
3cos sin 4A B ∴=
有（Ⅰ）知sin cos B A =，因此
23
sin 4B =
，又Ｂ为钝角，所以
sin 2B =
， 故120B =
，由
cos sin 2A B ==
知30A =，从而180()30C A B =-+=，
综上所述，30,120,30,A B C ===
【高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a =与
(cos ,sin )n A B =平行.
(I)求A
； (II)若2a b =
=求ABC ∆的面积.
【答案】(I)3
A π
=
；(II)
2
. 【解析】 (I)因为//m
n ，所以sin cos 0a B A
= 由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =， 又sin 0
B ≠，从而tan A =
由于0A π<< 所以3
A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得
2222cos a b c bc A =+-，而7,2a b ==，3
A π
=
，
得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =， 故ABC ∆面积为
133sin 22
bc A =.
【高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知
tan(A)24
π
+=.
（1）求
2
sin 2sin 2cos A
A A
的值； （2）若B ,34a π
=
=，求ABC ∆的面积.
【答案】(1)2
5
；(2)9
【解析】
(1)由tan(
A)24π
+=，得1tan 3A =
，
所以22
sin 22sin cos 2tan 2
sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15
A A A A A A A A A A ===+++.
(2)由1
tan 3
A =
可得，sin 1010A A ==.
3,4
a B π
==
，由正弦定理知：b =
又sin sin()sin cos cos sin 5
C A B A B A B =+=+=
，
所以11sin 3922ABC S ab C ∆=
=⨯⨯=. 【高考押题】
1．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝1
3，则B ＝( ) A.π4
B.π3
C.π6
D.2π3
解析 因为cos A ＝1
3，所以sin A ＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin A ＝3sin B ，所以sin B ＝22，又
因为b ＜a ，所以B ＜π2，B ＝π
4，故选A.
答案 A
2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为3
2，则BC 的长为 ( ) A.32
B. 3
C ．2 3
D ．2
解析 因为S ＝12×AB×ACsin A ＝12×2×32AC ＝3
2，所以AC ＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC ＝ 3.
答案 B
3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π
4，则△ABC 的面积为 ( ) A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2
D.3－1
解析 由正弦定理b sin B ＝c
sin C 及已知条件，得c ＝22， 又sin A ＝sin(B ＋C)＝12×22＋32×2
2＝2＋64. 从而S △ABC ＝12bcsin A ＝1
2×2×22×2＋64＝3＋1. 答案 B
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＝2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 依题意，由a ＝2bcos C 及正弦定理，得sin A ＝2sin Bcos C ，sin(B ＋C)－2sinBcos C ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C －2sin Bcos C ＝sin(C －B)＝0，C ＝B ，△ABC 是等腰三角形；反过来，由△ABC 是等腰三角形不能得知C ＝B ，a ＝2bcos C ．因此，“a ＝2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.
答案 A
5．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m
解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603
(m)，
在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3
＝ 60(2－3)(m)，
∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)． 答案 C
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若(a2＋c2－b2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．
解析 由余弦定理，得a2＋c2－b22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或
2π
3.
答案 π3或2π3
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c.已知bcos C ＋ccos B ＝2b ，则a b ＝________．
解析 由已知及余弦定理得b·a2＋b2－c22ab ＋c·a2＋c2－b22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，则a b ＝2.
答案 2
8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sinB ＝________．
9．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.
(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714，
sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．
解 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得
cos ∠CAD ＝AC2＋AD2－CD22AC·AD
. 故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427
＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD.
因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，
所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2772
＝217，
sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114. 于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD) ＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD
＝32114×277－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－714×217 ＝32.
在△ABC 中，由正弦定理，BC sin α＝AC sin ∠CBA .
故BC ＝AC·sin αsin ∠CBA ＝7×32
21
6＝3.
10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B.
(1)求a 的值；
(2)求sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π4的值． 高考模拟复习试卷试题模
拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．23-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上
的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.4515-
B.2515
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,
2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．23<a
C ．13<<-a 或2
3>a D ．3-<a 或231<<a 2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-或35-
B ．32-或23-
C ．54-或45-
D ．43-或34
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （ ）
A. 3
B. 2
21 C. 22 D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是。