2021年安徽省淮南市东部地区中考数学第五次联考试卷(解析版)

2021年安徽省淮南市东部地区中考数学第五次联考试卷一、选择题（共10小题）.
1．下列现象中，属于中心投影的是（）
A．白天旗杆的影子B．阳光下广告牌的影子
C．舞台上演员的影子D．中午小明跑步的影子
2．如图所示的几何体，它的俯视图是（）
A．B．
C．D．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tan A的值为（）
A．2B．C．D．
4．一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的图象如图，则使y1＞y2的x范围是（）
A．x＜﹣2或x＞3B．﹣2＜x＜0或x＞3
C．x＜﹣2或0＜x＜3D．﹣2＜x＜3
5．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限
D．当x＞0时y随x的增大而增大
6．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是（）
A．B．C．2D．
7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）
A．40海里B．40tan37°海里
C．40cos37°海里D．40sin37°海里
8．如图，线段AB∥CD，连接AD，BC交于点O，若CD＝2AB，则下列选项中错误的是（）
A．△AOB∽△DOC
B．
C．
D．
9．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（）
A．B．C．D．
10．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）
A．2B．6C．4D．2
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
11．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是．
12．已知sin A＝，则锐角∠A＝．
13．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函
数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为．
14．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE 沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为．
三、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
15．计算：|﹣2|﹣﹣（1﹣）0+4tan60°．
16．如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积．
17．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC中A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC相似比为2，并写出A2、B2、C2的坐标．
18．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当R＝10Ω时，电流能是4A吗？为什么？
四.解答题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
碟子的个数碟子的高度（单位：cm）
12
22+1.5
32+3
42+4.5
……
（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；
（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地
叠成一摞，求叠成一摞后的高度．
20．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面的夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有35米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请求出A，E之间的距离.
五.解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），
交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
六.解答题（本大题14分）
23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：△BCF∽△DGF；
（2）求证：DF•AB＝BC•DG；
（3）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG＝AF•DG．
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）
1．下列现象中，属于中心投影的是（）
A．白天旗杆的影子B．阳光下广告牌的影子
C．舞台上演员的影子D．中午小明跑步的影子
【分析】根据平移投影和中心投影的定义对各选项进行判断．
解：A、白天旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意；
B、阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B选项不合题意；
C、舞台上演员的影子中心投影，所以C选项符合题意；
D、中午小明跑步的影子平行投影，所以D选项不合题意．
故选：C．
2．如图所示的几何体，它的俯视图是（）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
解：从几何体上面看，2排，上面3个，下面1个，左边2个正方形．
故选：D．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tan A的值为（）
A．2B．C．D．
【分析】根据tan A是角A的对边比邻边，直接得出答案tan A的值．
解：∵∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴tan A＝＝．
故选：B．
4．一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的图象如图，则使y1＞y2的x范围是（）
A．x＜﹣2或x＞3B．﹣2＜x＜0或x＞3
C．x＜﹣2或0＜x＜3D．﹣2＜x＜3
【分析】根据图象和A、B的横坐标，即可得出答案．
解：根据图象可得：当﹣2＜x＜0或x＞3时，y1＞y2．
故选：B．
5．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限
D．当x＞0时y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，k＝2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
解：A、把点（﹣2，1）代入反比例函数y＝得1＝﹣1不成立，故选项错误；
B、∵x≠0，它的图象不经过原点，故选项错误；
C、∵k＝2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项正确；
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项错误．
故选：C．
6．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是（）
A．B．C．2D．
【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
解：连接BD．
则BD＝，AD＝2，
则tan A＝＝＝．
故选：D．
7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）
A．40海里B．40tan37°海里
C．40cos37°海里D．40sin37°海里
【分析】根据已知条件得出∠BAP＝37°，再根据AP＝40海里和正弦定理即可求出BP 的长．
解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，
∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；
故选：D．
8．如图，线段AB∥CD，连接AD，BC交于点O，若CD＝2AB，则下列选项中错误的是（）
A．△AOB∽△DOC
B．
C．
D．
【分析】先根据题意得出△AOB∽△DOC，再由相似三角形的性质进行解答即可．解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A，∠C＝∠B，
∴△AOB∽△DOC，故A正确；
∵CD＝2AB，
∴＝，故B错误；
∴＝，故C正确；
∴＝，故D正确．
故选：B．
9．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（）
A．B．C．D．
【分析】由平行线分线段成比例可以得到，则根据等量代换可以推知，进而得出EF∥CD．
解：∵DE∥BC，
∴，
∴当时，，
∴EF∥CD，故C选项符合题意；
而A，B，D选项不能得出EF∥CD，
故选：C．
10．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）
A．2B．6C．4D．2
【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1C1＝∠OD2C2＝∠OD3C3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OC1D1＝45°，
∴OD1＝C1D1，
其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，
解得：a＝，即：y2＝，
同理：y3＝，
y4＝，
……
∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
11．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是圆柱．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱，
故答案为：圆柱．
12．已知sin A＝，则锐角∠A＝30°．
【分析】根据sin30°＝进行解答即可．
解：∵sin A＝，∠A为锐角，
∴∠A＝30°．
故答案为：30°．
13．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为2．
解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y ＝k，令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），
则△OAB的面积＝OA•OB＝k2，而矩形ODCE的面积为k，
则k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2，
故答案为2．
14．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE 沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为或．【分析】分两种情况：①当点B'落在AD边上时，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AE＝AB＝；
②当点B'落在CD边上时，证明△ADB'∽△B'CE，得出＝，求出BE＝a ＝，由勾股定理求出AE即可．
解：分两种情况：
①当点B'落在AD边上时，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，
∴∠BAE＝∠B'AE＝∠BAD＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝1，AE＝AB＝；
②当点B'落在CD边上时，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，
∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，
∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，B'E＝BE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝a﹣a＝a，B'D＝＝，
在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADB'∽△B'CE，
∴＝，即＝，
解得：a＝，或a＝﹣（舍去），
∴BE＝a＝，
∴AE＝＝＝；
综上所述，折痕的长为或；
故答案为：或．
三、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
15．计算：|﹣2|﹣﹣（1﹣）0+4tan60°．
解：原式＝2﹣2﹣1+4
＝﹣1+4．
16．如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积．
解：（1）由三视图得几何体为圆锥，
（2）圆锥的表面积＝π•22+•2π•6•2＝16π．
17．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC中A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC相似比为2，并写出A2、B2、C2的坐标．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于原点为位似中心的点的坐标特征，把A、B、C的横纵坐标够乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标分别为（﹣2，4），（4，2），（8，10）．
18．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当R＝10Ω时，电流能是4A吗？为什么？
解：（1）∵电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数
∴设I＝（k≠0），
把（4，9）代入得：k＝4×9＝36，
∴I＝．
（2）方法一：当R＝10Ω时，I＝3.6≠4，
∴电流不可能是4A；
方法二：∵10×4＝40≠36，
∴当R＝10Ω时，电流不可能是4A．
四.解答题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
碟子的个数碟子的高度（单位：cm）
12
22+1.5
32+3
42+4.5
……
（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；
（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度．
【分析】（1）由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为2+1.5（x﹣1）；
（2）根据三视图得出碟子的总数，由（1）知每个碟子的高度，即可得出答案．
解：（1）由题意得：2+1.5（x﹣1）＝1.5x+0.5；
（2）由三视图可知共有15个碟子，
∴叠成一摞的高度＝1.5×15+0.5＝23（cm），
答：叠成一摞后的高度为23cm．
20．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面的夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有35米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请求出A，E之间的距离.
【解答】解析（1）如图，过点E作EH⊥AB于点H．
设AB＝x米，则BF＝AB＝x米，
∵FC＝35米，
∴BC＝HE＝（35+x）米，
∵EC＝1米，
∴BH＝EC＝1米，
∴AH＝（x﹣1）米．
在Rt△AHE中，tan22°＝，
即≈，解得x≈25．
答：办公楼AB的高度约为25米．
（2）由（1）得AH＝x﹣1＝24米，
在Rt△AHE中，sin22°＝＝，
∴AE＝≈24×＝64（米）．
答：A，E之间的距离约为64米．
五.解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sin B＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【分析】（1）由A（0，﹣4）、B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ 的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
，解得，，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ＝﹣（2n﹣4），
∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
六.解答题（本大题14分）
23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：△BCF∽△DGF；
（2）求证：DF•AB＝BC•DG；
（3）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG＝AF•DG．
解：（1）∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF．
（2）∵BC2＝BF•BA，
∴BC：BF＝BA：BC，
而∠ABC＝∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
由（1）知△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC＝DG：BA，
∴DF•AB＝BC•DG．
（3）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图：
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，∴AH＝2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，∴＝，
∴＝，
即2DF•EG＝AF•DG。