26年全国高中数学联赛(b卷)试题及答案

2016 年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案
一试
一、选择题：（每题 8 分，共 64 分）
1.等比数列 a n 的各项均为正数，且
a 1 a 3 a 2 a 6
2a 3 2 36, 则 a 2 a 4 的值为．
答案： 6．
解：因为 36 a 1a 3 a 2 a 6 2a 3 2 a 2 2
a 4 2 2a 2 a 4 a 2
2
, 且 a 2
a 4 0, 故 a 2 a 4
6.
a 4
另解：设等比数列的公比为
q ，则 a 2 a 6 a 1q a 1q 5 .又因
而 a 2 a 4 0 ，从而 a 2
a 4
6.
2.设 A a | 1
a
2 ，则平面点集 B
x, y | x, y A,x
y 0 的面积为．
答案： 7．
解：点集 B 如图中暗影部分所示，其面积为
3.已知复数 z 知足 z 2 2z z z （ z 表示 z 的共轭复数），则 z 的所有可能值的积为．
答案： 3．
解：设 z
a bi a,b
R .由 z 2
2z z 知，
比较虚、实部得 a 2
b 2 a
0,2 ab 3b 0. 又由 z z 知 b 0 ，从而有
2a 3 0, 即 a
3
，从而 b
a 2 a
3 .
2
2
于是，知足条件的复数
z 的积为
3
3
3
3
3.
2
2 i
2
i
2
4.已知 f x , g x 均为定义在 R 上的函数， f x 的图像对于直线
x 1对称， g x
的图
像对于点 1,
2 中心对称，且 f x
g x
9x x 3
1 ，则 f
2 g 2 的值为．
答案： 2016. 解：由条件知
f 0
g 0 2, ①
f
2 g 2
81
8190. ②
由 f x , g x 图像的对称性，可得 f 0 f 2 , g 0 g 24,联合①知，
f 2
g 2
4
f 0
g 0
2. ③
由②、③解得 f 248,g 242, 从而 f 2 g 248 42 2016.
另解：因为
f x
g x9x x3 1 ，①
所以
f 2g290.②
因为 f x的图像对于直线x1对称，所以
f x f2x .③
又因为 g x的图像对于点1,2中心对称，所以函数h x g x 1 2 是奇函数，
h x h x， g x 12g x 1 2，从而
g x g 2x 4.④
将③、④代入①，再移项，得
f 2 x
g 2 x9 x x3 5. ⑤
在⑤式中令 x0，得
f 2
g 2 6.⑥
由②、⑥解得 f 248, g 246.于是 f 2 g 22016.
5.将红、黄、蓝 3 个球随机放入 5 个不一样的盒子A,B,C,D, E中，恰有两个球放在同一盒子的概
率为．
3
解：样本空间中有5125 个元素．而知足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
C32P5260.过所求的概率为p6012.
12525
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C1: x2y2a0 关于直线 l 对称的圆为C2 : x2y22x2ay30, 则直线 l 的方程为．
答案： 2 x 4 y 50.
解： C1 , C2的标准方程分别为
因为两圆对于直线l 对称，所以它们的半径相等．所以a a2 2 0, 解得a 2.故C1,C2的圆心分别是O1 0,0, O21,2 . 直线l就是线段 O1O2的垂直均分线，它经过O1O2的中点
M
1
,1 ，由此可得直线l 的方程是 2 x 4 y 5 0.
2
7.已知正四棱锥V - ABCD的高等于AB长度的一半，M 是侧棱 VB 的中点， N 是侧棱
VD 上点，知足 DN
2VN ，则异面直线 AM , BN 所成角的余弦值为．
ABCD 的中心 O 为坐标原点， uuur uuur uuur
解：如图，以底面
AB, BC,OV 的方向为 x, y, z 轴的正向，
成立空间直角坐标系．不如设
AB 2, 此时高 VO 1,从而
由条件知 M
1 , 1 , 1 , N 1 , 1 ,
2 ，所以
2 2 2
3 3 3
设异面直线 AM , BN 所成的角为 ，则
8.设正整数 n 知足 n 2016 ，且 n
n n n
2 4 6
3 ．这样的 n 的个数为．这里
12
x x x ，此中 x 表示不超出 x 的最大整数．解：因
为对随意整数 n ，有
等号成立的充足必需条件是
n
1 mod1
2 ，联合 1
n 2016知，知足条件的所有正整数为
n 12k 1 k 1,2,L ,168 , 共有 168
个．
另解：第一注意到， 若 m 为正整数，则对随意整数 x, y ，若 x y mod m ，则 x
y .
m m
这是因为，当 x y mod m 时， x
y mt ，这里 t 是一个整数，故
所以，当整数 n 1 , n 2 知足 n 1
n 2 mod12 时，
简单考证，当正整数知足
1 n 1
2 时，只有当
n
时，等式 n
n
n n 3
11 2
4 6
12
才成立．而
2016 12 168 ，故当
1 n
时，知足 n
n
n n
3 正整数 n 的
2016 2
4 6 12
个数为 168.
二、解答题：（共 3 小题，共 56 分）
9.（ 16 分）已知 a n 是各项均为正数的等比数列，且
a 50 , a 51 是方程
的两个不一样的解，求 a 1 a 2 L a 100 的值．
解对
k
，有
100lg 2
a k lg 100a k
2 lg a k , 即
50,51
所以， lg a 50 ,lg a 51 是一元二次方程 100t 2
t 2 0 的两个不一样实根，从而
1
1
lg a a
lg a
lg a
a 50
a
51
10100 .
5150
, 即
50
51
100
1 50
a 1a 2
L a
100
50
10.
由等比数列的性质知，
a 50
a
51
10100
10.（ 20 分）在
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
ABC 中，已知 AB AC
2BA BC 3CA CB.
（ 1）将 BC, CA, AB 的长分别记为 a,b,c ，证明： a 2 2b 2 3c 2 ；
（ 2）求 cosC 的最小值．
解（ 1）由数目积的定义及余弦定理知，
uuur uuur
b 2
c 2
a 2
AB AC cbcosA
.
2
uuur uuur a 2 c 2 b 2 uuur uuur 2
b 2
c 2
同理得， BA BC ,CA CB a
. 故已知条件化为
2
2
即 a
2
2b 2 3c 2
.
（ 2）由余弦定理及基本不等式，得
等号成立当且仅当
a :
b :c
3:
6 : 5. 所以 cosC 的最小值为
2
.
3
11.（ 20 分）在平面直角坐标系
xOy 中，双曲线 C 的方程为 x 2 y 2 1 ．求切合以下要
求的所有大于 1的实数 a ：过点 a,0
随意作两条相互垂直的直线
l 1 与 l 2 ，若 l 1 与双曲线 C 交
于 P, Q 两点， l 2 与 C 交于 R,S 两点，则总有 PQ
RS 成立．
解过点 a,0 作两条相互垂直的直线
l 1 : x a 与 l 2 : y
0.
易知， l 1 与 C 交于点 P 0
a,
2
1 ,Q 0 a, 2
1 （注意这里
a 1 ）， l 2 与 C 交于点
a
a R 0 1,0 , S 0 1,0 , 由条件知 2 a 2
1 PQ 0 0
R 0S 0 2，解得 a
2. 这意味着切合条件的 a 只可能为
2.
下边考证 a
2 切合条件．
事实上， 当 l 1 ,l 2 中有某条直线斜率不存在时， 则可设 l 1 : x a, l 2 : y
0 ，就是前方所议论
的 1 2 的状况，这时有 PQ RS . 1 ,l 2
的斜率都存在，不如设 l , l 若 l
注意这里 k
1 （不然 l 1 将与 C 的渐近线平行，从而
l 1 与 C 只有一个交点） ．
联立 1
与 C x 2 k 2 x
2
1 0,
的方程知，
2
即
l
这是一个二次方程式， 其鉴别式为 4k 2 4 0 ．故 l 1 与 C 有两个不一样的交
点
P,Q ．相同，
l 2 与 C 也有两个不一样的交点 R, S. 由弦长公式知，
1
1
k 2
k 2 1
用
RS
2
RS .
k 取代 k ，同理可得
1
k
2
2
2 .于是 PQ
k 1
综上所述， a
2 为切合条件的值．
加试
一、（40 分）非负实数 x 1 , x 2 ,L , x 2016 和实数 y 1, y 2 ,L , y 2016 知足：
（ 1） x k
2
y k 2 1,k 1,2,L ,2016 ；
（ 2） y 1 y 2 L y 2016 是奇数．
求 x 1 x 2 L
x
2016
的最小值．
解：由已知条件（ 1）可得： x k
1, y k
1,k 1,2,L ,2016, 于是（注意 x i 0 ）
2016
2016
2 2016 2 2016
2
2016
x k
x k
1 y k
2016
y k
2016
y k . ①
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
不如设 y 1,L , y m
0, y m 1,L
, y
2016
0,0
m 2016, 则
m
2016
若
y k m 1 ，而且
y k
2015 m, 令
k 1
k m 1
则 0 a,b 1, 于是
由条件（ 2）知，
2016
0 a,b
1矛盾．
y k 是奇数，所以 a b 是奇数，这与
k 1
m
y k
m 1 ，或许
2016
y k
2015 m, 则
所以必有
k 1 k m 1
2016
于是联合①得
k 1x k 1.
又当 x 1 x 2 L
x
2015
0, x
2016
1, y 1 y 2 L
y 2015 1, y
2016
0 时知足题设条件，且使
得不等式等号成立，所以
x 1
x 2
L x 2016 的最小值为 1．
二、（ 40 分）设 n,k 是正整数， 且 n 是奇数． 已知 2n 的不超出 k 的正约数的个数为奇数，
证明： 2n 有一个约数 d ，知足 k
d 2k.
证明：记 A d | d | 2n,0 d k ,d 是奇数 ， B
d | d | 2n,0 d
k, d 是偶数 ， 则
AI B
,2 n 的不超出 k 的正约数的会合是
AU B.
若结论不可立，我们证明
A B .
对 d
A ，因为 d 是奇数，故 2d | 2n ，又 2d 2k ，而 2n 没有在区间
k,2k 中的约数，
故 2d k ，即 2d
B ，故 A
B .
反过来，对 d
B ，设 d
2d ，则 d | n ，d 是奇数，又 d
k k ，故 d
A,从而 B
A .
2
所以 A B .故 2n 的不超出 k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．
三、（ 50 分）如下图， ABCD 是平行四边形，
G 是
ABD 的重心， 点 P,Q 在直线 BD
上，使得 GP
PC,GQ
QC. 证明： AG 均分
PAQ.
解：连结 AC ，与 BD 交于点 M . 由平行四边形的性质，点
M 是 AC , BD 的中点．所以，
点 G 在线段 AC 上．
因为
GPC
GQC
90o ，所以 P, G,Q,C 四点共圆， 而且其外接圆是以 GC 为直径的圆． 由
订交弦定理知
PM MQ GM MC. ①
取 GC 的中点 O. 注意到 AG : GM : MC
2:1:3, 故有
所以 G, O 对于点 M 对称．于是
GM MC AM MO.②
联合①、②，有 PM MQ
AM MO ，所以 A, P,O,Q 四点共圆．
又 OP OQ 1GC,
所以PAO QAO，即AG 均分PAQ. 2
四、（ 50分）设 A 是随意一个11 元实数会合．令会合B uv | u, v A, u v . 求B的元素个
数的最小值．
解：先证明B17.考虑到将 A 中的所有元素均变成本来的相反数时，会合 B 不变，故
不如设 A 中正数个数许多于负数个数．下边分类议论：
状况一： A 中没有负数．
设 a1a2L a11是A中的所有元素，这里a10, a20, 于是
上式从小到大共有 1 9 8 18 个数，它们均是 B 的元素，这表示 B 18.
状况二： A 中起码有一个负数．
设 b1 ,b2 ,L,b k是A中的所有非负元素，c1 , c2 ,L , c l是 A 中的所有负元素．不如设
此中 k, l 为正整数，k l 11 ，而 k l ，故 k 6. 于是有
它们是 B 中的 k l 110 个元素，且非正数；又有
它们是 B 中的7 个元素，且为正数．故 B 10717.
由此可知，B17.
另一方面，令A0, 1, 2, 22, 23, 24 ,则
是个 17 元会合．
综上所述， B 的元素个数的最小值为17.。