山东省17市2011年中考数学专题11：圆

山东省17市2011年中考数学专题11：圆
一. 选择题
1.（日照4分）已知AC⊥BC 于C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列选项中⊙O 的半径为ab a b
+的是
【答案】D 。

【考点】三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定和性质，解一元一次方程，相
似三角形的判定和性质。

【分析】设圆的半径是r 。

A 、设圆切BC 于D ，切AC 于E ，切A
B 于F ，连接OD ，OE ，OF ，如图，根据切线的性质可得
到正方形OECD ，AE ＝AF ，BD ＝BF ，则a －r ＋b －r ＝c ，∴r＝
2
a b c +-，故本选项错误；B 、设圆切AB 于F ，连接OF ，如图，则OF ＝r ，AO ＝b －r ，△BCA∽△OFA，∴OF AO CB AB
=，
即r r b a c -=，∴r＝ab a c +，故本选项错误；C 、连接OE 、OD ，根据AC 、BC 分别切圆O 于E 、D ，如图，根据切线的性质可得到正方形OECD ，则OE ＝r ，AE ＝b －r ，△BCA∽△OEA，
∴OE AE BC AC =，即r r b a b
-=，∴r＝ab a b +，故本选项正确；D 、设圆切BC 于D ，连接OD ，OA ，则BD ＝a ＋r ，由BA ＝BD 得c ＝a ＋r ，即r ＝c －a ，故本选项错误。

故选C 。

2.（滨州3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切．若点A 的坐标为（0，8），则圆心M 的坐标为
A 、（﹣4，5）
B 、（﹣5，4）
C 、（5，﹣4）
D 、（4，﹣5）
【答案】D 。

【考点】垂径定理，勾股定理，正方形的性质。

【分析】过点M 作MD⊥AB 于D ，交OC 于点E ，连接AM 。

设⊙M 的半径为r ．∵以边
AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，AB∥OC，∴DE⊥CO。

∴DE 是⊙M 直径的一部分。

又∵四边形OABC 为正方形，顶点A ，C 在坐标轴上，点A 的坐标为（0，8），∴OA＝AB ＝CB ＝OC ＝8，DM ＝8－r 。

∴根据垂径定理得AD ＝BD ＝4。

在Rt△ADM 中，根据勾股定理可得AM 2＝DM 2＋AD 2，∴r 2
＝（8－r ）2＋42
，∴r ＝5。

∴M（﹣4，5）。

故选D 。

3.（德州3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为
该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面
四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右
依次记为a 1，a 2，a ，a 4，则下列关系中正确的是
A 、a 4＞a 2＞a 1
B 、a 4＞a 3＞a 2
C 、a 1＞a 2＞a 3
D 、a 2＞a 3＞a 4
【答案】B 。

【考点】正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质。

【分析】求出各图形的周率，比较即可得到答案：①设等边三角形的边长是b ，则等边三角
形的周率a 1=
3=3b b
；②设正方形的边长是b ，由勾股定理得：对角线是2b ，则正方形的周率是a 2=4=22 2.832b b ≈；③设正六边形的边长是b ，过B 作BO∥AF 交BE 于O ，得到菱形ABOF 和等边三角形BCO ，直径FC=b +b =2b ，∴正六边形的周
率是a 3=6=32b b
；④圆的周率是a 4= 3.14π≈。

∴a 4＞a 3=a 1＞a 2。

故选B 。

4.（烟台4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三
角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管
道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是
A2m B.3m C.6m D.9m
【答案】C 。

【考点】三角形内切圆的性质，勾股定理。

【分析】此题实质是求三角形内切圆的半径。

由勾股定理可得斜边为10，设内切圆半径为r ，则利用面积法可得：
12r(6＋8＋10)=12×6×8，解得r=2。

因此管道为2×3=6（m ）。

故选C 。

5.（东营3分）如图，直线333
y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1, 0），圆P 与y 轴相切于点O ，若将圆P 沿x 轴向左移
动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 。

【考点】动点问题，圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，一次函数的图象。

【分析】如图，当圆P 沿x 轴向左移动，移动到1P 和2P 时，圆P 与直线相切，则圆P 与该
直线相交时，圆心在1P 和2P 之间。

由1P E⊥AB 知O 1P =1，即1P （－
1，0）；由直线333
y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点可知A （－3，0），B （0，3）即OA=3，OB=3，AB=23，由
△ABO∽△A F 2P ，可得A 2P =2，∴O 2P =OA ＋A 2P =5，即2P （－5，0），
所以在1P 和2P 之间的整数为－2，－3，－4三个。

故选B 。

6.（济南3分）如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过
A 、
B 、O 三点，点
C 为弧ABO 上的一点(不与O 、A 两点重合)，则cosC 的值是
A ． 3 4
B ． 3 5
C ． 4 3
D ． 4 5
【答案】D 。

【考点】同弧所对的圆周角的关系，勾股定理，锐角三角函数。

【分析】连接AB ，∵∠OCA 与∠OBA 是同弧所对的圆周角，∴∠OCA=∠OBA。

又∵在Rt△OAB 中，OA=3，OB=4，∴根据勾股定理2222AB OA OB 345=+=+=。

∴cosC=cos∠OBA=OB 4AB 5
=。

故选D 。

7.（潍坊3分）如图,半径为1cm 的小圆在半径为9cm 的大圆内滚动，且始终与大圆相 切，则小圆扫过的阴影部分的面积为.
A ．17π
B ．32π
C ．49π
D ．80π
【答案】B 。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】由半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，即可求得空白处的圆的半径为9－2=7cm ，即可求得阴影部分的面积：π92－π72=81π－49π=32π。

故选B 。

8.（泰安3分）如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB=6，则⊙O 的半径为
A 、2
B 、22
C 、22
D 、62
【答案】A 。

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】如图，连接OA ，设⊙O 的半径为r ，由于AB 垂直平分半径OC ，AB=6
则由垂径定理得，AD ＝
AB 612 ，OD ＝r 2
，再由勾股定理得，在Rt△AOD 中， OA 2＝OD 2＋AD 2，即r 2＝（r 2）2＋（62）2，解之得，r ＝2。

故选A 。

9.（临沂3分）如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，
OM ：OD=3：5．则AB 的长是
A 、2cm
B 、3cm
C 、4cm
D 、221cm
【答案】C 。

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】先连接OA ，由CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M 可
知AB=2AM ，再根据CD=5cm ，OM ：OD=3：5可求出OM 的长：OM=32
，在Rt△AOM 中，利用勾股定理即可求出AM 的长：AM=2，从而可求出AB 的长：AB=2AM=4。

故
选C 。

10.（青岛3分）已知⊙O 1与⊙O 2的直径分别是4cm 和6cm ，O 1O 2＝5cm ，则两圆的位置关系是
A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
【答案】B 。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】因为两圆的半径之和2+3=5等于两圆的圆心距5。

所以根据两圆位置关系的判定，可知两圆外切。

故选B 。

11.（枣庄3分）如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=23,∠APO=30°，则⊙O 的半径为
A.1
B.3
C.2
D.4
【答案】C 。

【考点】圆的切线性质，锐角三角函数。

【分析】连接OA ，则在Rt△AOP 中，OA=PAtan∠APO=23·tan30°=23·33
=2。

故选C 。

二. 填空题
1.（日照4分）如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，
则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 ▲ ． 【答案】2510x x -+=。

【考点】正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】如图连接AD ，BD ，OD ，由AB 为直径与四边形DCFE 是正方形，可证得
△ACD∽△DCB，则可求得AC·BC＝DC 2＝1；又在Rt△OCD 中，CD ＝1，OC ＝
12，由勾股定理OC 2+＋CD 2＝OD 2得OD ＝52
，即AC ＋BC ＝AB ＝5。

因此根据一元二次方程根与系数的关系可得以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是2510x x -+=。

2．（济宁3分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm ，以点C 为
圆心，以3cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是 ▲ 。

【答案】相交 。

【考点】圆与直线的位置关系，点到直线的距离，锐角三角函数。

【分析】∵∠A=60°，BC=4cm ，∴∠B=30°.∴点C 到直线AB 的距离为BcsinB=41=22
⋅cm ，小于⊙C 的半径3cm 。

∴根据圆与直线的位置关系的判定，知⊙C 与直线AB 相交。

3.（泰安3分）如图，PA 与⊙O 相切，切点为A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，若∠ABC＝32°，则∠P 的度数为 ▲ ．
【答案】26°。

【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】连接OA ，则由切线的性质知△PAO 是直角三角形，根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的关系，即可求得∠POA＝2∠ABC＝64°，从而根据三角形内角和定理可得
∠P＝90°－∠POA＝26°。

4.（青岛3分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝6cm ，∠AOB＝120º，则AB
＝ ▲ cm ． 【答案】63。

【考点】弦径定理，锐角三角函数。

【分析】如图，过点O 作OC⊥AB 于点C ，则根据弦径定理，∠AOC＝ 1 2
∠AOB ＝60º ， AB ＝2 AC 。

而根据锐角三角函数的定义，AC ＝OAsin∠AOC ＝
36332
⋅=，则AB ＝63 cm 。

5.（威海3分）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，AE=5，BE=1，CD=42，
则∠AED= ▲ 。

【答案】300。

【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数。

【分析】连接OD, 过点O 作OF⊥DC 于F,∵AE=5，BE=1，∴OD=OA=3。

∵CD=42，∴DF=22。

∴在Rt△ODF 中，OF=()2222OD DF 322-=-=1。

∴在Rt△EFO 中，OE=AE －AO=5－3=2，OF=1，∴sin∠AED=
OF 1OE 2
=。

∴∠AED=300。

6.（威海3分）如图①，将一个量角器与一张等
腰
三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形。

∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ，半圆（量角器）
的圆心与点D 重合，测得CE=5㎝；将量角器沿
DC 方向平移2㎝，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，如图②。

则AB 的边长为 ▲
㎝。

（精确到0.1㎝）
【答案】24.5。

【考点】等腰直角三角形的性质，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】如图②, 等腰直角三角形OHC 中，设OH=CH=r ，则OC= r ＋3。

由勾股定理得2 r 2=( r
＋3)2，解
之得r=3＋32。

∴AD=CD=8＋32，AB=16＋62≈16＋6×1.41=24.46≈24.5。

7.（枣庄4分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a ，0），半径为5．如果两圆内含，那么a 的取值范围是 ▲ .
【答案】－2<a <2。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】由已知，两圆半径之差为5-3=2，故两圆内含其圆心距22a <<a <即-2。

三. 解答题
1.（日照9分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，
AD⊥CD 于点D ．求证：
（1）∠AOC＝2∠ACD；
（2）AC 2
＝AB·AD．
【答案】证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD＝90°。

即∠ACD＋∠ACO＝90°。

∵OC ＝OA ，∴∠ACO ＝∠CAO 。

∴∠AOC ＝180°－2∠ACO ，即1
2
∠AOC+∠ACO＝90°。

∴∠ACD－12
∠AOC＝0，即∠AOC＝2∠ACD。

（2）如图，连接BC 。

∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°。

在Rt△ACD 与△RtABC 中，
由（1）∠AOC＝2∠ACD，又∵∠AOC＝2∠B，∴∠B＝∠ACD。

∴△ACD∽△ABC。

∴AC AD AB AC
，即AC 2＝AB·AD。

【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等量代换，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由CD 是⊙O 的切线得到∠OCD＝90°，即∠ACD＋∠AC O ＝90°，而利用OC ＝OA 得到∠ACO＝∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明。

（2）如图，连接BC 。

根据直径所对圆周角是的圆周角定理，由AB 是直径得到∠ACB ＝90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽△RtABC 接着利用相似三角形的性质即可证明。

2.（滨州8分）如图，直线PM 切⊙O 于点M ，直线PO 交⊙O 于A 、B 两
点，弦AC∥PM，连接OM 、BC ．
求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA 2
=OP•BC．
【答案】证明：（1）∵直线PM 切⊙O 于点M ，∴∠PMO＝90°。

∵弦AB 是直径，∴∠ACB＝90°。

∴∠ACB＝∠PMO，
∵AC∥PM，∴∠CAB＝∠P。

∴△ABC∽△POM。

（2）∵△ABC∽△POM，∴
AB BC PO OM ＝。

又AB ＝2OA ，OA ＝OM ，2OA BC PO OA ＝。

∴2OA 2＝OP•BC．
【考点】切线的性质，直径所对圆周角的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）因为PM 切⊙O 于点M ，所以∠PMO＝90°，又因为弦AB 是直径，所以∠ACB ＝∠PMO＝90°，再由条件弦AC∥PM，可证得∠CAB＝∠P，从而可证得△ABC∽△POM。

（2）由（1）可得AB BC PO OM
＝，又因为AB ＝2OA ，OA ＝OM ；所以2OA 2＝OP•BC。

3.（德州10分）●观察计算
当a =5，b =3时，
2
a b +与ab 的大小关系是 ， 当a =4，b =4时，2a b +与ab 的大小关系是 ， ●探究证明
如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD⊥AB 于D ，
设AD=a ，BD=b ．
（1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；
（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．
●归纳结论 根据上面的观察计算、探究证明，你能得出
2a b +与ab 的大小关系是： ， ●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值
【答案】解：●观察计算：2a b +＞ab ，2
a b +=ab 。

●探究证明：（1）∵AB=AD+BD=2OC，∴OC 2a b +=。

∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB=90°。

∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD。

∴△ACD∽△CBD。

∴
AD CD CD BD =。

即CD 2=AD•BD=ab 。

∴CD =ab 。

（2）当a =b 时，OC=CD ，
2
a b +=ab ； a ≠b 时，OC ＞CD ，2
a b +＞ab 。

●结论归纳：2
a b +≥ab 。

●实践应用：设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x 米，设镜框周长l 为l 米，则
11244l x x x x x ⎛⎫=+≥⋅= ⎪⎝
⎭ 当x =
1x ，即x=1（米）时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4米。

【考点】相似三角形的判定与性质，几何不等式，圆周角定理。

【分析】●观察计算：分别代入计算即可得出
2a b +与ab 的大小关系。

●探究证明：
（1）由于OC 是直径AB 的一半，则OC 易得．通过证明△ACD∽△CBD，可求CD 。

（2）分a =b 和a ≠b 讨论，可得出2
a b +与ab 的大小关系。

●结论归纳：由探究证明归纳出结论。

●实践应用：通过前面的结论长方形为正方形时，周长最小。

4.（烟台12分）已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点
A 、
B 、G 重合），直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P.设⊙O 的半径为r.
（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE·OP＝r 2
（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
【答案】解：（1）证明：连接FO 并延长交⊙O 于Q ，连接DQ 。

∵FQ 是⊙O 直径，∴∠FDQ＝90°。

∴∠QFD＋∠Q＝90°。

∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°。

∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P。

∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF。

∴OE OF OF OP
=。

∴OE·OP＝OF 2＝r 2。

（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，（1）中的结论成立。

理由如下：
依题意画出图形（如图），连接FO 并延长交⊙O 于M ，连接CM 。

∵FM 是⊙O 直径，∴∠FCM＝90°。

∴∠M＋∠CFM＝90°。

∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°。

∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E。

∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE。

∴OE OF OF OP
=，∴OE·OP＝OF 2＝r 2。

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理。

【分析】（1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明. 观察图形，此题显然要连半径OF ，构造OE 、OP 所在的三角形， 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF。

而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证。

（2）同（1）类似。

5.（东营9分）如图．已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD∥BC，BD 平分∠ABC，
∠BAD=120°．四边形ABCD 的周长为l5．
(1)求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积。

【答案】解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，∴∠ABC=60°。

又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°。

∴AB AD DC ==，∠BCD=60°。

∴AB=AD=DC ，∠BDC=90°。

由已知四边形ABCD 的周长为l5，得BC+3DC=15。

又在Rt△BDC 中，BC 是圆的直径，BC=2DC ，∴得BC+32
BC=15，∴BC=6。

∴此圆的半径为3。

（2）设BC 中点为O ，由（1）可知O 即为圆心，
连接OA ，OD ，过O 作OE⊥AD 于E 。

在Rt△AOE 中，∠AOE=30°，∴OE=OAcos30°=
332。

∴AOD 1139S BC OE 3332224∆=⋅=⨯⨯
=。

∴2AOD 6039693S S S 336044
AOD ππ∆⋅⋅-=-=-=阴影扇形。

【考点】平行的性质，角平分线的性质，圆中圆周角与弧与弦的关系，圆周角的性质，30
0角直角三角形的性质，锐角三角函数，扇形面积。

【分析】（1）要求半径，求出直径即可，由已知和圆中等圆周角对等弧等弦得出AB=AD=DC 和含300角的直角三角形BDC ，知BC=2DC ，从而由已知的四边形ABCD 的周长为l5，即可求。

（2）连接OA ，OD ，这样图中阴影部分的面积即等于扇形AOD 面积减去△AOD 即可。

6.（菏泽10分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，
ED=4，
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB 的长；
（3）延长DB 到F ，使得BF=BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C。

∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D。

又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB。

（2）∵△ABE∽△ADB，∴
AB AE
AD AB =，∴AB 2=AD•AE=（AE+ED ）•AE=（2+4）×2=12。

∴AB=23。

（3）直线FA 与⊙O 相切。

理由如下：连接OA ，
∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD=90°。

∴在Rt△ABD 中 ()222BD AB AD 122443=+=++=。

∴BF=BO=1BD 232
=。

∵AB=23，∴BF=BO=AB。

∴∠OAF=90°。

又∵AO 是⊙O 的半径，∴直线FA 与⊙O 相切。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定。

【分析】（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB。

（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可。

7.（潍坊10分）如图，AB是半圆O的直径，AB＝2. 射线AM、BM为半圆
O的切线. 在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC. 过O点作
OE⊥BC，延长OE交BN于点F. 过D点作半圆O的切线DP，并延长交BN
于点Q．
（1）求证：△ACB∽△OBF；
（2）当△ABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.
【答案】解：（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又∵OE⊥BC，∴OE∥AC。

∴∠BAC=∠FOB。

又∵BN是半圆的切线，∴∠BCA=∠FBO=90°。

∴△ACB∽△OBF．
（2）由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°。

∴△ABD∽△BFO。

△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，∴AD=OB=1。

如图，连接OP，∵DPQ是半圆O的切线，
∴AO=OP=DP=AD=1，OP⊥DP，∴四边形AOPD是正方形。

∴四边形OBQP是正方形。

∴BQ=OB=1。

（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，∴BF AB
OB AD
=。

∴
2
BF
AD
=
∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=BQ。

过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，
DQ2=QK2+DK2，∴（AD+BQ）2=22＋（AD﹣BQ）2。

∴
1 BQ
AD
=。

∴BF=2BQ。

∴Q为BF的中点。

【考点】切线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理；相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质。

【分析】（1）根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，从而得出∠BCA=∠FBO=90°，进而证明结论。

（2）根据△ACB∽△OBF 得出△ABD∽△BFO，从而得出四边形OBQP 是正方形，即可得出BQ=OB=1。

（3）首先得出AD=DP ，QB=BQ ，进而得出DQ 2=QK 2＋DK 2，得出BF=2BQ ，即可得出Q 为BF 的中
点。

8.（济宁7分）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O
于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1） 求证：OD∥BE;
（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。

【答案】解：（1）证明：连接OE 。

∵AM、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，
∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°。

∴∠AOD=∠EOD=
12∠AOE 。

∵∠ABE=12
∠AOE，∴∠AOD=∠ABE。

∴OD∥BE。

(2) OF =12
CD 。

理由如下：连接OC 。

∵BE、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB=∠OCE 。

∵AM∥BN，∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°。

由（1）得 ∠ADO=∠EDO，∴2∠EDO+2∠OCE=180°， 即∠EDO+∠OCE=90°。

在Rt△DOC 中， ∵ F 是DC 的中点，∴OF =12
CD 。

【考点】圆的切线性质，同弧所对的圆周角和圆心角的关系，平行的判定和性质，直角三角形中位线的性质。

【分析】（1）连接OE ，要证OD∥BE，根据平行的判定定理，只要∠AOD=∠ABE。

一方面由AM 和BN 是⊙O 的两条切线，根据圆的切线性质有∠AOD=
12∠AOE；另一方面由，同弧所对的圆周角是圆心角的一半的关系，得∠ABE=
12∠AOE。

从而得证。

（2）连接OC ，要证OF =
12
CD ，由已知F 是DC 的中点，只要证△DOC 是直角三角形即可。

由
AM 、DE 、BE 是⊙O 的切线可得∠ADO=∠EDO 和∠OCB=∠OCE；又由AM∥BN 知∠ADC+∠DCB =180°，
从而得证。

9.（莱芜10分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，
DE ＝3，连结DB ，过点E 作EM∥BD ，交BA 的延长线于点M.。

（1）求⊙O 的半径；
（2）求证：EM 是⊙O 的切线；
（3）若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当∠DPA＝450
时，求图中阴影部分的面
积。

【答案】解：（1）连结OE ， ∵DE 垂直平分OA ，∴ OC 111
3OA OE,CE=DE=222
2== 。

∴∠OEC＝300，∴OE＝0EC 333cos3022
=÷=。

（2）由（1）知：∠AOE＝600，AE AD =。

∴∠OEC＝1AOE=2∠300。

∴∠BDE＝600。

又∵BD∥ME， ∴∠MED＝∠BDE＝600。

∴∠MEO＝900。

∴EM 是⊙O 的切线。

（3）连结OF ， ∵∠DPA＝450，∠DCP＝900，∠EDF ＝450。

∴∠EOF＝2∠EDF＝900。

∴S 阴影＝S 扇形EOF －S △EOF ()290313333360242
ππ⋅⋅-⋅⋅=-。

【考点】线段垂直平分线的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值。

平行的性质，圆切线的判定，同弧所对圆周角的关系，同弧所对圆心角和圆周角的关系，三角形内角和定理。

【分析】（1）由线段垂直平分线的性质和特殊角的三角函数值，通过解直角三角形即可求得⊙O 的半径。

（2）要证EM 是⊙O 的切线，根据圆切线的判定方法，只要证明EM 垂直于过切点的半径，即证∠EOF＝900。

由（1）的结论和同弧所对圆周角相等，以及平行线内错角相等的性质即可得到证明。

（3）要求图中阴影部分的面积只要用扇形OEF 的面积减去直角三角形OEF 即可。

这
里先要由∠DPA＝450，根据三角形内角和定理和同弧所对圆周角是圆心角的一半的性质求出∠EOF＝900。

10.（聊城8分）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是
OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是BD
⌒的中点，连接AE、
OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．
(1)求∠AOD的度数；
(2)求证：PD是半圆O的切线．
【答案】（1）解：∵点C是OA的中点，∴OC＝1
2
OA＝
1
2
OD。

∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°。

在Rt△OCD中，cos∠COD＝OC1 OD2
=，
∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°。

（2）证明：连接OE，∵点E是BD
⌒的中点，∴DE BE
=。

∴∠BOE＝∠DOE＝1
2
∠DOB＝
1
2
（180°－∠COD）
＝1
2
（180°－60°）=60°。

∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝
30°。

∵PD∥AE。

∴∠P＝∠EAO＝30°。

由（1）知∠AOD＝60°，即∠POD＝60°，
∴∠PDO＝180°－（∠P＋∠POD）＝180°－（30°＋60°）＝90°。

∴PD是半圆O的切线。

【考点】锐角三角函数，等弧所对圆周角的性质，互为邻补角的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理，平行的性质，三角形内角和定理，圆的切线的判定。

【分析】（1）在Rt△OCD中，应用锐角三角函数即可求出∠AOD的度数。

（2）要证PD是半圆O的切线，即要∠PDO＝90°，也即要∠P＋∠POD＝90°。

一方面由（1）知∠POD＝60°；另一方面由PD∥AE知∠P＝∠EAO，而∠EAO由邻补角和等腰三角形的性质以及三角形外角等于和它不相邻的两内角之和，可以求出等于30°，从而得证。

11.（临沂9分）如图．以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．与
OB 相交于点D ，且OD=BD ，己知sinA=
25
，AC=21． （1）求⊙O 的半径：
（2）求图中阴影部分的面枳．
【答案】解：（1）连接OC ， ∵以O 为圆心的圆与△AOB 的边AB 相切于点C ，
∴CO⊥AB。

∵sinA=2CO =5AO
，AC=21． ∴假设CO=2x ，AO=5x ，则由勾股定理，得4x 2+21=25x 2，解得：x =±1（负值
舍去）。

∴CO=2。

∴⊙O 的半径为2。

（2）∵⊙O 的半径为2，∴DO=2。

∵DO=DB，∴BO=4。

∴BC=2242=23-。

∴2CO=BO。

∵OC⊥BC，∴∠CBO=30°，∠COD=60°。

∴图中阴影部分的面枳为：S △OCB ﹣S 扇形COD =2160222322323603
ππ⋅⋅⋅⋅-=-。

【考点】切线的性质，解直角三角形，勾股定理，扇形面积的计算，。

【分析】（1）根据切线的性质得出CO⊥AB，再根据解直角三角形得出CO ，AO 的关系，从而得出它们的长度，即可得出半径长度。

（2）根据已知得出∠COD=60°，从而利用三角形面积减去扇形面积即可得出答案。

12.（枣庄8分）如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且AC=CD ，
∠ACD=120°.
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积.
【答案】解：（1）证明：连结OC 。

∵ AC＝CD ，∠ACD＝1200，∴ ∠A＝∠D＝300。

∵ OA＝OC,∴ ∠2＝∠A＝300。

∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝900。

∴ CD 是⊙O 的切线。

（2）∵∠A＝30o ， ∴ ∠1＝2∠A＝600。

∴2OBC
6022S 3603
ππ⋅⋅==扇形。

在Rt△OCD 中, CD ＝OCtan600＝23，
∴Rt
OCD 11S OC CD 2232322
=⋅⋅=⨯⨯=。

∴ 图中阴影部分的面积为2233π-。

【考点】圆的切线的判定，扇形面积。

【分析】（1）要证CD 是⊙O 的切线，只要证CD 垂直于过切点的半径即可。

（2）要求图中阴影部分的面积，只要求出△OCD 的面积和扇形OCB 的面积即可。

13.（淄博9分）已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，点O 在边AB 上，
⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF⊥AC，垂足为F.
（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；
（2）当直线DF 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径.
【答案】解：（1）证明：连接OE ，则OB=OE 。

∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°。

∴△OBE 是等边三角形。

∴∠OEB=∠C =60°。

∴OE∥AC。

∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°。

∴∠OEF=∠EFC=90°。

∴EF 是⊙O 的切线。

（2）连接DF, ∵DF 是⊙O 的切线，∴∠ADF=90°。

设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，EC=4r -，AD=42r -。

在Rt△ADF 中，∵∠A=60°， ∴AF=2AD=84r -。

∴FC=()48444r r --=-。

在Rt△CEF 中 ， ∵∠C=60°， ∴EC =2FC 。

∴4r -=2（()44r -）。

解得43
r =。

∴⊙O 的半径是43。

【考点】等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，圆切线的判定，含300角直角三角
形的性质。

【分析】（1）要证EF 是⊙O 的切线，即要证EF 垂直于过切点的半径，故连接OE ，易证△OBE 是等边三角形，从而由平行的判定和性质即可证得∠OEF=∠EFC=90°而得证。

（2）由两个含300角的Rt△ADF 和Rt△CEF，即可应用300
角所对直角边是斜边一半的性质列等式求得。