数学苏教七年级下册期末解答题压轴必考知识点题目强力推荐及解析

数学苏教七年级下册期末解答题压轴必考知识点题目强力推荐及解析 一、解答题
1．如图，直线//AB CD ，E 、F 是AB 、CD 上的两点，直线l 与AB 、CD 分别交于点
G 、H ，点P 是直线l 上的一个动点（不与点G 、H 重合），连接PE 、PF ．
（1）当点P 与点E 、F 在一直线上时，GEP EGP ∠=∠，60FHP ∠=︒，则
PFD ∠=_____．
（2）若点P 与点E 、F 不在一直线上，试探索AEP ∠、EPF ∠、CFP ∠之间的关系，并证明你的结论．
2．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中∠ONM ＝30°，∠OCD ＝45°．
（1）将图①中的三角板OMN 沿BA 的方向平移至图②的位置，MN 与CD 相交于点E ，求∠CEN 的度数；
（2）将图①中的三角板OMN 绕点O 按逆时针方向旋转，使∠BON ＝30°，如图③，MN 与CD 相交于点E ，求∠CEN 的度数；
（3）将图①中的三角板OMN 绕点O 按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，直线MN 恰好与直线CD 垂直．（直接写出结果） 3．如图所示，已知射线//,//,100CB OA AB OC C OAB ︒∠=∠=.点E 、F 在射线CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠ （1）求EOB ∠的度数；
（2）若平行移动AB ，那么:OBC OFC ∠∠的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.
4．如图①，AD 平分BAC ∠，AE ⊥BC ，∠B=450,∠C=730． （1） 求DAE ∠的度数；
（2） 如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE BC ⊥”，其它条件不变，求DFE ∠ 的度数；
（3） 如图③，若把“AE ⊥BC ”变成“AE 平分BEC ∠”，其它条件不变，DAE ∠的大小是否变化，并请说明理由．
5．如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：
（1）仔细观察，在图2中有 个以线段AC 为边的“8字形”； （2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P 的度数；
（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=1
3
∠CDB ，试问∠P 与∠C 、
∠B 之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P ），并说明理由； （4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为 ．
6．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120AOC ∠=︒，将一把直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OA 上，另一边ON 在直线AB 的下方，其中30OMN ∠=︒．
（1）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图2，使一边OM 在AOC ∠的内部，且恰好平分AOC ∠，求CON ∠的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在BOC ∠的内部，请探究
BOM ∠与CON ∠之间的数量关系，并说明理由．
（3）将图1中三角尺绕点O 按每秒10︒的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转过程中，在第_____秒时，边MN 恰好与射线OC 平行；在第_______秒时，直线ON 恰好平分锐角
BOC ∠．
7．已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上的点，点G 在AB 、CD 之间，连接
MG 、NG ．
（1）如图1，若GM GN ⊥，求AMG CNG +∠∠的度数．
（2）在（1）的条件下，分别作BMG ∠和GND ∠的平分线交于点H ，求MHN ∠的度数． （3）如图2，若点P 是CD 下方一点，MT 平分BMP ∠，NC 平分TNP ∠，已知
40BMT ∠=︒．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①MTN P
∠+∠为定值；②MTN P ∠-∠为定值．
8．（数学经验）三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
（1）①如图1，△ABC 中，∠A ＝90°，则△ABC 的三条高所在的直线交于点 ； ②如图2，△ABC 中，∠BAC ＞90°，已知两条高BE ，AD ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC 的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）． （综合应用）
（2）如图3，在△ABC 中，∠ABC ＞∠C ，AD 平分∠BAC ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ．
①若∠ABC ＝80°，∠C ＝30°，则∠EBD ＝ ；
②请写出∠EBD 与∠ABC ，∠C 之间的数量关系 ，并说明理由． （拓展延伸）
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图4，M 是BC 上一点，则有
=ABM BM
ACM CM
∆∆的面积的面积．
如图5，△ABC 中，M 是BC 上一点BM =1
4
BC ，N 是AC 的中点，若三角形ABC 的面积是m
请直接写出四边形CMDN 的面积 ．（用含m 的代数式表示）
9．（概念认识）如图①，在∠ABC 中，若∠ABD ＝∠DBE ＝∠EBC ，则BD ，BE 叫做∠ABC 的“三分线”．其中，BD 是“邻AB 三分线”，BE 是“邻BC 三分线”．
（问题解决）
（1）如图②，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝45°，若∠B 的三分线BD 交AC 于点D ，求∠BDC 的度数；
（2）如图③，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 邻BC 三分线和∠ACB 邻BC 三分线，且∠BPC ＝140°，求∠A 的度数； （延伸推广）
（3）在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的外角，∠B 的三分线所在的直线与∠ACD 的三分线所在的直线交于点P ．若∠A ＝m °（54m >），∠B ＝54°，直接写出∠BPC 的度数．（用含m 的代数式表示）
10．如图，直线MN ∥GH ，直线l 1分别交直线MN 、GH 于A 、B 两点，直线l 2分别交直线MN 、GH 于C 、D 两点，且直线l 1、l 2交于点E ，点P 是直线l 2上不同于C 、D 、E 点的动点．
（1）如图①，当点P 在线段CE 上时，请直写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关
系：；
（2）如图②，当点P在线段DE上时，（1）中的∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．
（3）如果点P在直线l2上且在C、D两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出
∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出解析：（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点P与点E、F在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可∠=∠=60°，计算∠PFD即可；
以推出GEP EGP
（2）根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB 上方时；③当点P在CD下方时，分别求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系即可．
【详解】
（1）当点P与点E、F在一直线上时，作图如下，
∠=∠，
∵AB∥CD，∠FHP=60°，GEP EGP
∠=∠=∠FHP=60°，
∴GEP EGP
∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，
∴∠PFD=120°，
故答案为：120°；
（2）满足关系式为∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．
证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：
①当点P在AB与CD之间时，
过点P作PQ∥AB，如下图，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，
即∠EPF =∠AEP+∠CFP；
②当点P在AB上方时，如下图所示，
∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠EQP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；
③当点P在CD下方时，
∵AB∥CD，
∴∠AEP=∠EQF，
∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，
综上所述，∠AEP、∠EPF、∠CFP之间满足的关系式为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或
∠AEP=∠EPF+∠CFP，
故答案为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨论问题．
2．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.
【分析】
（1）在△CEN中，用三角形内角和定理即可求出；
（2）由∠BON ＝30°，∠N=30°可得MN ∥CB ，再根据两直线平行，同旁内角
解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5. 【分析】
（1）在△CEN 中，用三角形内角和定理即可求出；
（2）由∠BON ＝30°，∠N =30°可得MN ∥CB ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠CEN 的度数.
（3）画出图形，求出在MN ⊥CD 时的旋转角，再除以30°即得结果. 【详解】
解：（1）在△CEN 中，∠CEN =180°－∠ECN －∠CNE =180°－45°－30°=105°； （2）∵∠BON ＝30°，∠N =30°， ∴∠BON ＝∠N ， ∴MN ∥CB .
∴∠OCD +∠CEN =180°， ∵∠OCD =45°
∴∠CEN =180°－45°=135°；
（3）如图，MN ⊥CD 时，旋转角为360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒时，直线MN 恰好与直线CD 垂直．
【点睛】
本题以学生熟悉的三角板为载体，考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的定义和旋转的性质，前两小题难度不大，难点是第（3）小题，解题的关键是画出适合题意的几何图形，弄清求旋转角的思路和方法，本题的第一种情况是将旋转角∠DOM 放在四边形DOMF 中，用四边形内角和求解，第二种情况是用周角减去∠DOM 的度数.
3．（1）40°；（2）的值不变，比值为;（3）∠OEC=∠OBA=60°. 【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA ，从而得出答案； （2
解析：（1）40°；（2）:OBC OFC ∠∠的值不变，比值为1
2;（3）∠OEC=∠OBA=60°. 【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=1
2∠COA ，从而
得出答案；
（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，再根据
∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，即可得出∠OBC：∠OFC的值为1：2．
（3）设∠AOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．
【详解】
（1）∵CB∥OA
∴∠C+∠COA=180°
∵∠C=100°
∴∠COA=180°-∠C=80°
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
∴∠FOB+∠EOF=1
2（∠AOF+∠COF）=1
2
∠COA=40°;
∴∠EOB=40°;
（2）∠OBC：∠OFC的值不发生变化
∵CB∥OA
∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA
∵∠FOB=∠AOB
∴∠FOA=2∠BOA
∴∠OFC=2∠OBC
∴∠OBC：∠OFC=1：2
（3）当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA．
设∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵CB∥OA，AB∥OC，
∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°
∴∠OAB=∠C=100°．
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°，
∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x，
∴x+40°=80°-x，
∴x=20°，
∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°．
【点睛】
本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4．（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE
=14°，证明详见解析.
【分析】
（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE
解析：（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE =14°，证明详见解析.
【分析】
（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．
【详解】
（1）∵∠B=45°，∠C=73°，
∴∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=31°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+31°=76°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=14°．
（2）同（1），可得，∠ADE=76°，
∵FE⊥BC，
∴∠FEB=90°，
∴∠DFE=90°-∠ADE=14°．
（3）DAE
∠=14°
∠的大小不变.DAE
理由：∵ AD平分∠ BAC，AE平分∠BEC
∴∠BAC=2∠BAD，∠BEC=2∠AEB
∵∠BAC+∠B+∠BEC+∠C =360°
∴2∠BAD+2∠AEB=360°-∠B-∠C=242°
∴∠BAD+∠AEB=121°
∵∠ADE=∠B+∠BAD
∴∠ADE=45°+∠BAD
∴∠DAE=180°-∠AEB-∠ADE=180°-∠AEB-45°-∠BAD=135°-（∠AEB+∠BAD）=135°-121°=14°【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 5．（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.
【分析】
（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠
解析：（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.
【分析】
（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入计算即可；
（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=（2∠C+∠B）．
（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根据四边形内角和为360°可得答案．
【详解】
解：（1）在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”，
故答案为3；
（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，
即∠P=（∠C+∠B），
∵∠C=100°，∠B=96°
∴∠P=（100°+96°）=98°；
（3）∠P=（β+2α）；
理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，
∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC，
∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，
∴∠P=（∠B+2∠C），
∵∠C=α，∠B=β，
∴∠P=（β+2α）；
（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．
6．（1）150°；（2）∠BOM-∠CON=30°；（3）9秒或27秒，6秒或24秒【分析】
（1）根据邻补角的定义求出∠AOC=120°，再根据角平分线的定义求出
∠COM，然后根据∠CON=∠CO
解析：（1）150°；（2）∠BOM-∠CON=30°；（3）9秒或27秒，6秒或24秒
【分析】
（1）根据邻补角的定义求出∠AOC=120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON=∠COM+90°解答；
（2）用∠BOM和∠CON表示出∠BON，然后列出方程整理即可得解．
（3）分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解．
【详解】
解：（1）∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=1
∠BOC=60°，
2
∴∠CON=∠COM+90°=150°；
（2）∵∠MON=90°，∠BOC=60°，
∴∠BON=90°-∠BOM，
∠BON=60°-∠CON，
∴90°-∠BOM=60°-∠CON，
∴∠BOM-∠CON=30°，
故∠BOM与∠CON之间的数量关系为：∠BOM-∠CON=30°．
（3）∵∠OMN=30°，
∴∠N=90°-30°=60°，
∵∠BOC=60°，
∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，
如图，则旋转角为90°或270°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9秒或27秒；
当直线ON恰好平分锐角∠BOC时，
则旋转角为90°-30°=60°或90°+150°=240°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为6秒或24秒．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键，难点在于（3）要分情况讨论．
7．（1）（2）（3）②是正确的，证明见解析
【分析】
（1）过点G作GE∥AB，然后利用平行线性质即可得到结果；
（2）分别过G和H作GE∥AB，FH∥AB，然后利用平行线的性质得到对应的边角
解析：（1）90︒（2）135︒（3）②是正确的，证明见解析
【分析】
（1）过点G作GE∥AB，然后利用平行线性质即可得到结果；
（2）分别过G和H作GE∥AB，FH∥AB，然后利用平行线的性质得到对应的边角关系，进
而∠MHN 的具体值；
（3）根据角平分线性质，设CNT CNP x ∠=∠=，然后利用平行线的基本性质，分别推导出MTN P ∠+∠和MTN P ∠-∠的值即可判断．
【详解】
（1）如图所示，过点G 作//GE AB ，
∵//AB CD ，//GE AB ，
∴////AB GE CD ，
∴AMG MGE ∠=∠，CNG NGE ∠=∠，
∴AMG CNG MGE NGE MGN ∠+∠=∠+∠=∠，
∵GM GN ⊥，
∴90MGN ∠=︒，
∴90AMG CNG +=︒∠∠.
（2）如图所示，过点G 作//GE AB ，过点H 作//FH AB ，
∵//AB CD ，
∴//////GE AB FH CD ，
∴180BMG MGE ∠+∠=︒，180DNG NGE ∠+∠=︒，
∴360BMG DNG MGN ∠+∠+∠=︒，
∵90MGN ∠=︒，
∴270BMG DNG ∠+∠=︒，
∵MH 平分BMG ∠，NH 平分DNG ∠， ∴12BMH BMG ∠=∠，12DNH DNG ∠=∠， ∴1()1352
BMH DNH BMG DNG ∠+∠=∠+∠=︒， ∵////AB HF CD ，
∴BMH MHF ∠=∠，DNH NHF ∠=∠，
∴135MHN MHF NHF BMH DNH ∠=∠+∠=∠+∠=︒.
（3）如图所示，
∵//AB CD ，
∴BMP DQP ∠=∠，
∵MT 平分BMP ∠，
∴40BMT PMT ∠=∠=︒，
∴80BMP DQP ∠=∠=︒，
∴100MQN ∠=︒，
∵CN 平分TNP ∠，
∴CNT CNP ∠=∠，
设CNT CNP x ∠=∠=，
则180100P PQD CNP x ∠=︒-∠-∠=︒-，
∴360MTN PMT MQN CNT ∠=︒-∠-∠-∠
36040100CNT =︒-︒-︒-∠
220x =︒-，
∴120MTN P ∠-∠=︒，
3202MTN P x ∠+∠=∠︒-，
∴②中MTN P ∠-∠的值为定值.
故②是正确的.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，做题的关键是能够找到辅助线，构造辅助线． 8．（1）①A ；②见解析；（2）①25°；②2∠EBD ＝∠ABC ﹣∠ACB ；（3）m ．
【分析】
（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；
②分别延长BE ，DA ，两者交于F ，连接CF 交BA 的延长线
解析：（1）①A ；②见解析；（2）①25°；②2∠EBD ＝∠ABC ﹣∠ACB ；（3）
920
m ． 【分析】
（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；
②分别延长BE ，DA ，两者交于F ，连接CF 交BA 的延长线于H ，CH 即为所求； （2）①由三角形内角和定理和角平分线的性质可以得出∠BAE ＝12∠BAC ＝35°，再由直角
三角形的性质得∠ABE ＝55°，即可求解；
②由三角形内角和定理和角平分线的性质求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理：S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝
a，S△ABN＝S△CBN＝1
2m，再求出S△CDM＝
3
4
S△BCD＝
33
84
m a
，S△ACM＝
3
4
S△ABC＝
3
4
m，利用
面积关系求解即可.
【详解】
解：（1）①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A＝90°，
∴△ABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
②如图，分别延长BE，DA，两者交于F，连接CF交BA的延长线于H，CH即为所求；
（2）①∵∠ABC＝80°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝1
2
∠BAC＝35°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE＝80°﹣55°＝25°，
故答案为：25°；
②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD＝∠ABC﹣∠ACB
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD，
∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE＝∠ABC+∠BAD﹣90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝1
2
∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴∠BAD＝90°﹣1
2∠ABC﹣1
2
∠ACB，
∴∠EBD＝∠ABC+∠BAD﹣90°＝∠ABC+90°﹣1
2∠ABC﹣1
2
∠C﹣90°=1
2
∠ABC﹣1
2
∠C，
∴2∠EBD＝∠ABC﹣∠ACB，
故答案为：2∠EBD ＝∠ABC ﹣∠ACB ；
（3）连接CD ，如图所示：
∵N 是AC 的中点， ∴1ADN CDN S AN S CN ==△△， ∴S △ADN ＝S △CDN ， 同理：S △ABN ＝S △CBN ，
设S △ADN ＝S △CDN ＝a ，
∵△ABC 的面积是m ，
∴S △ABN ＝S △CBN ＝1
2m ，
∴S △BCD ＝S △ABD ＝12m ﹣a ，
∵BM ＝14BC ， ∴
13BM CM =， ∴13BDM
CDM S
BM S CM ==，13
ABM
ACM S BM S CM ==， ∴S △CDM ＝3S △BDM ，S △ACM ＝3S △ABM ，
∴S △CDM ＝34S △BCD ＝34×（12m ﹣a ）＝3384m a -，S △ACM ＝34S △ABC ＝34
m ， ∵S △ACM ＝S 四边形CMDN +S △ADN ＝S △CDM +S △CDN +S △ADN ，
即：333484
m m a a a =-++， 解得：a ＝310
m ， ∴S 四边形CMDN ＝S △CDM +S △CDN ＝3333984101020
m m m m -⨯+=，
【点睛】
本题主要考查了三角形的高，三角形的中线，三角形内角和，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．（1）95°或110°；（2）60°；（3）m°或m°或m°＋°或m°﹣18°
【分析】
（1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得的
度数；
（2）根据、分别是邻三分线和邻
解析：（1）95°或110°；（2）60°；（3）23m °或13m °或23
m °＋18°或13m °﹣18° 【分析】
（1）根据题意可得B 的三分线BD 有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得BDC ∠的度数；
（2）根据BP 、CP 分别是ABC ∠邻AB 三分线和ACB ∠邻AC 三分线，且BP CP ⊥可得135ABC ACB ，进而可求A ∠的度数；
（3）根据B 的三分线所在的直线与ACD ∠的三分线所在的直线交于点P ．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻AC 三分线”时；情况二：如图②，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻CD 三分线”时；情况三：如图③，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻AC 三分线”时；情况四：如图④，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻CD 三分线”时，再根据A m ∠=︒，54B ∠=︒，根据三角形外角性质，即可求出BPC ∠的度数．
【详解】
解：（1）如图，
当BD 是“邻AB 三分线”时，801595BD C ∠=︒+︒='︒；
当BD 是“邻BC 三分线”时，8030110BD C ∠=︒+︒=''︒；
（2）在△BPC 中，
∵140BPC ∠=︒，
∴40PBC PCB ∠+∠=︒，
又∵BP 、CP 分别是ABC ∠邻BC 三分线和ACB ∠邻BC 三分线，
∴13PBC ABC ∠=∠，13
PCB ABC ∠=∠ ∴114033
ABC ACB ∠+∠=︒， ∴120ABC ACB ∠+∠=︒，
在△ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，
∴()18060A ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒．
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻AC 三分线”时， ∴2233BPC A m ∠=∠=︒；
情况二：如图②，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻CD 三分线”时，
∴1133
BPC A m ∠=∠=︒；
情况三：如图③，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻AC 三分线”时， ∴22218333
BPC A ABC m ∠=∠+∠=︒+︒；
情况四：如图④，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻CD 三分线”时，
11118333
BPC A ABC m ∠=∠-∠=︒-︒； 综上所述：BPC ∠的度数为：23m ︒或13m ︒或2183m ⎛⎫︒+︒ ⎪⎝⎭或1183
m ⎛⎫︒-︒ ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握并灵活运用三角形的外角性质，注意要分情况讨论．
10．（1）∠APB＝∠NAP+∠HBP；（2）见解析；（3）∠HBP＝∠NAP+∠APB 【分析】
（1）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（2）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求
解析：（1）∠APB＝∠NAP+∠HBP；（2）见解析；（3）∠HBP＝∠NAP+∠APB
【分析】
（1）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（2）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.
【详解】
解：（1）如图①，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ＝∠NAP，∠BPQ＝∠HBP，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝∠NAP+∠HBP，
故答案为：∠APB＝∠NAP+∠HBP；
（2）如图②，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ+∠NAP＝180°，∠BPQ+∠HBP＝180°，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝（180°﹣∠NAP）+（180°﹣∠HBP）＝360°﹣（∠NAP+∠HBP）；
（3）如备用图，
∵MN∥GH，
∴∠PEN＝∠HBP，
∵∠PEN＝∠NAP+∠APB，
∴∠HBP＝∠NAP+∠APB.
故答案为：∠HBP＝∠NAP+∠APB.
【点睛】
此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.。