2019年浙江省绍兴市诸暨浣纱中学高三数学文测试题含解析

2019年浙江省绍兴市诸暨浣纱中学高三数学文测试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=sin(ωx+)-1最小正周期为,则的图象的一条对称轴的方程是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
略
2. 已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}
参考答案：
C
3. 设过点且斜率为1的直线与圆相切,则的值为
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,若的一个对称中心是，则的一个可能取值是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
5. 设，，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据对数运算将变形为和，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小.
【详解】；
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式.
6. 把函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图
象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后的函数，结合三角函数的性质对称中心．
【解答】解：函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不
变），可得y=sin（2x），再将图象向右平移个单位，可得：y=sin[2（x﹣）
]=sin（2x）=﹣cos2x．
令2x=，
可得：x=，k∈Z．
当k=0时，可得对称中点为（，0）．
故选：D．
7. 为正实数，的等差中项为A；的等差中项为；的等比中项为
，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
8. 已知点（x1，y1）在函数y=sin2x图象上，点（x2，y2）在函数y=3的图象上，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．9
参考答案：
C
【分析】要求（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值，只需（x1﹣x2）2的值最小，（y1﹣y2）2的值最小即可．
【解答】解：由点（x2，y2）在函数y=3的图象上，
可知：无论x2的值是多少，y2=3．
要使（x1﹣x2）2最小，只需x1=x2，
（y1﹣y2）2的值最小，只求函数y=sin2x到直线y=3的距离最短，
即函数y=sin2x的最大值到直线y=3的距离最短．
∴y1﹣y2的最小值为2．
那么：（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为4．
故选C
9. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B等于( )．
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
参考答案：
D
10. 函数的图象大致是
A. B. C. D.
参考答案：
C
由题意，，排除A；，，，排除B；增大时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，排除D，故选C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （不等式选做题）不等式的解集是．参考答案：
略
12. 已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S4=16，S8=17，则公比q=．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．
【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n，且S4=16，S8=17，
∴=1+q4=，
解得q=．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
13. 某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积
V= cm3，表面积S= cm2．
参考答案：
;.
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案．
【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，
所以V==cm3，
S=+++=．
故答案为：；．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．
14. 已知非零向量满足|+|=|﹣|=3||，则cos＜，﹣＞= ．
参考答案：
﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：∵|+|=|﹣|=3||，
∴|+|2=|﹣|2=9||2，
∴=0，||2=8||2，即||=2||，
∴（﹣）=﹣（）2=﹣8||2，
∴cos＜，﹣＞=﹣=﹣，
故答案为：﹣．
15. 在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l 上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标是．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M 的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相切，根据两圆的半径长，能求出结果．
【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，
化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，
∴圆C与圆D相切，
∴|CD|=1或CD=3，
∵|CD|=，∴解得a=0或a=．
∴圆心C的非零横坐标是．
故答案为：．
16. （极坐标与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线：
(t为参数)与曲线：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则.
参考答案：
17. 已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是．
参考答案：
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】直接利用对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最值．
【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，
可得x+3y=1．
===≥=．
当且仅当x=，x+3y=1，即y==，x==时取等号．的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）不等式可化为：①
当时，①式为，解得；
当时，①式为，解得；
当时，①式为，无解.
综上所述，不等式的解集为.
（2）解：
令
∴，要使不等式恒成立，只需，即
∴实数取值范围是.
19. （12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距
离为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；
（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD?k BD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．
解答：解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，
∴，解得c=1．
又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．
∴所求椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，
△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．
∴，．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD?k BD=﹣1，∴，
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．
化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．
，且满足3+4k2﹣m2＞0．
当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
20. 设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：∥.
参考答案：
21. 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.
（1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．
参考答案：
（1）甲相对稳定。

，
（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：（108，109），（108，110），（108，112），（108，115），（108，124），（109，110），（109，112），（109，115），（109，124），（110，112），（110，115），（110，124），（112，115），（112，124），（115，124）．设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A的基本事件有4种：（108，109），（108，110），（109，110），（110，112）．
故所求概率为P(A)=．
略
22. 设函数.
( 1 )当时，解不等式；
( 2 )当时，若，使得不等式成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
（I）当时，原不等式等价于，
即，所以解集为.
（II）当时，.
令
由图象，易知时，取得最小值.由题意，知，所以实数的取值范围为。