完全平方公式 2

完全平方公式
一、教材分析
本节内容主要研究完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用，它是在学生学习了幂的运算及整式的乘法后进行学习的。

乘法公式不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更为以后的学习打下基础，在推导分式的过程中应用了几何直观作为辅助手段，通过学生主动探索、归纳形成符号意识，提高了运算速度和准确率。

二、学情分析
学生在已经掌握的单项式乘法、多项式乘法及平方差公式的基础上进行拓展，学生已经具备了一定的运算能力及推理能力，能掌握从一般到特殊的认知规律，通过平方差公式的学习，学生已经有了一定的符号感，所以可以通过已有的经验得出完全平方公式。

三、教学目标
1.知识与技能：理解完全平方公式的推导过程；会应用公式进行简单的计算；
2.过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力；
3.情感态度与价值观：了解完全平方公式的几何背景，激发学习数学兴趣；鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力。

四、教学重难点
重点：完全平方公式的推导过程，理解公式的本质，会运用公式进行简单的计算。

难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活的运用公式。

五、教学策略
本课时采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、归纳、猜测和验证。

突出以学生为主体的探索性学习活动。

遵循知识产生过程，从特殊到一般再到特殊，将所学的知识用于实践中。

六、课时安排：一课时
七、教学过程：
教
学
环
节
教师活动学生活动设计意图
创设情境，导入新课问题1：多项式乘多项式的法则？
问题2.计算：(m+3)2
(2+3x)2
请观察上面的算式及其运算结果，你
能发现什么规律吗？
师生一起回顾第1题，学生
独立完成问题2的计算。

（m+3）2=m2+6m+9
(2+3x)2=4+12x+9x2
观察规律学生在教师的引导
下自主探索，小组讨论，总
结，选出代表发言
承上启下的作
用，即复习了旧
知识，又为新课
埋下伏笔。

交流探索，归纳探索
问题1.等式的左边有哪些特点？
等式的右边有哪些特点？
(m+3)2=m2+6m+9
(2+3x)2=4+12x+9x2
特点：
学生在教师的引导下分组讨
论多项式的结构特点。

教师引导学生观察等式右边
三项的符号特征及从左到右
计算的过程。

验证过程学生可独立完成。

以问题引发学
生自主探索，让
学生运用已有
的认知经验来
观察，归纳。

公式（1）等式左边是两项和的平方；
（2）等式的右边是三项式
问题2:等式左边的式子与右边式的
的关系？
（课件演示三项的转变过程）
左边的首项得到右边的首平方；
左边的尾项得到右边的尾平方；
右边中间项是首尾两倍的乘积。

问题3你能用字母表示总结的规律
吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
问题 4.用多项式乘多项式验证此规
律?
（a+b）2
=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
能用上述方法求出（a-b）2吗？
(a-b)2=a2-2ab+b2
从而得到完全平方公式。

问题5：请用语言叙述这两个公式？
两个数的和（或差）的平方，等于它
们的平方和，加上（或减去）它们的
积的2倍。

（a+b）2
=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2
+2ab+b2
(a-b)2
=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
问题5语言叙述学生讨论进
行归纳。

公式剖析，掌握本质(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1.观察归纳公式的特点：
（1）左式：两数和或差的平方；
（2）右式：为三项式，其中首尾两
项为两数的平方（两项的符号均为
正）；中间项是两数乘积的2倍（中
间项符号：两数同号为正，两数异号
为负）；
2.完全平方公式的记忆口诀
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。

3.注意：
公式中的字母a,b 可表示数，也
可以是代数式。

因为前面演示过所以学生可
以用语言叙述公式怎样从左
到右变化的.
学生要熟练掌握完全平方公
式的记忆口诀。

注意事项：学生与教师一同
完成。

对比总结可以
加深学生对公
式的理解与掌
握。

口诀掌握及注
意事项能减少
学生出错的概
率。

第一关：
判断并改正：
(1)(x+y)2=x2+y2;
(2)(x-y)2=x2+2xy+y2;
(3)(x+y)2=x2+xy+y2
学生根据已经掌握的公式独
立判断并改正
检查学生公式
的基本运用掌
握情况
典例示例1：运用完全平方公式计算：
(1)(2x-3)2
(2)(4x+5y)2
根据教师的引导来完成3道
题的计算。

教师与学生要边说口诀边做
范例是让学生
知道公式与口
诀怎样整合来
范，巩固练习(3)(
2
1
m-a)2
在做题之前，再让学生回顾完全平方
公式的口诀。

强调：运用公式要先确定三项的符
号。

题。

运用，并规范了
学生书写的过
程。

第二关：
跟踪练习1：
(1)（
2
1
x-2y）2
(2)(2y+
5
1
x)2
(3)(n+1)2-n2
选做题：第三题还有不同的解法吗？
与学生一起回顾平方差公式
学生独立完成，三位学生板
演，然后教师再与学生一同
纠错，改错，订正后同位交
换再检查。

选做题较难：学生可以讨论
进行，选一位同学板演
跟踪练习可以
充分暴露学生
公式运用的错
误之处，纠错、
改错提高了学
生发现问题、解
决问题的能力。

选做题帮学有
余力的学生拓
宽知识。

完全平方公式的图形理解第三关
问：你能求出大正方形的面积吗？有
几种求法？
（1）完全平方和公式
求正方形的面积
（2）完全平方差公式
求小正方形面积？
学生独立思考可完成（1）：
1.直接求面积（a+b）2
2.间接求面积
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
可发现(a+b)2=a2+2ab+b2
第（2）完全平方差公式可以
小组讨论得出等式。

方法同上直接或间接求面积
(a-b)2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
提供多种模式
帮助学生掌握
完全平方公式，
同时渗透了数
形结合的思想，
培养学生学生
探究的主动性，
开阔了视野。

根据求面正方形的面积再次得到完
全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
找一找：这两个公式的相同点与不同
点？
相同点：左边都是二项式的平方，即
两个相同的二项式相乘；右边都是三
项式，是左边二项式中两项的平方
和，再加上两项乘积的2倍。

学生二次探讨完全平方公式
的特点，根据观察，讨论得
出这两个公式相同点与不同
点。

并回顾完全平方公式的口诀
完全平方公式
不易掌握，所以
进一步深入探
讨完全平方公
式的相同点与
不同点，让学生
再次注意公式
的特点，避免用
错。

a 2
ab
ab b 2
a
b
a b
a
b
b
?
不同点：
仅在于符号不同，左边的符号不同，右边中间项的符号也不同。

变式训练，拓展探究由以上的例1变到如下的式子，你会
计算吗？
例2：
(1)(2x-3)2(-2x+3)2
(2)(4x+5y)2(-4x-5y)2
引导学生用口诀来解决问题
学生再次一起回顾口诀，
第1题师生一起用口诀完成，
教师示范，
第2题学生独立完成，交换
讨论结果是否正确。

题目变式，是让
学生在计算过
程中体验它们
的区别与联系，
并通过字母的
表示形成一定
模式，便于学生
做题。

问：观察例1与例2的式子与结果，
你能发现什么规律，能用字母表示出
来吗？
(-a+b)2=(a-b)2
(-a-b)2=(a+b)2
学生讨论，总结
互为相反数（相反式）的平
方相等。

字母表示在教师引导下完
成。

异步练习，知识升华第四关：
必做：
(1)(
3
1
m-
2
1
)2(2) (-2t-1)2
(3)(7a+2)2(4)(-c+
2
1
)2
选做：
(1)正方形的边长为a厘米，当
(2)边长增加2厘米后，正方形的面
积增加多少？
(3)计算(a+b+c)2
学生独立完成必做题，4位学
生板演，其余学生交换纠错，
改错
选做题学生都思考，有能力
的同学讲解，其余同学听完
后整理。

异步训练是让
全体学生都能
掌握完全平方
公式的基本用
法，选做题是为
学有余力的同
学提供了拓展
的平台。

全班互动，当堂检测第五关：
每位同学出一道要求运用完全平方
公式来解的计算题。

然后同位交换互
测。

学生自己出题，交换测试既让学生知道
什么样的计算
题用完全平方
公式，又检测了
学生掌握情况
知识串联，归纳内化1.这节课你学到了哪些知识点呢？
2.在运用过程中应该注意哪些问题
呢？
3.我们在整式乘法中学到了几个公
式？
这两个公式都是由哪个法则演变来
的？
4.你能分别出一道运用平方差公式
与完全平方公式的题目吗？（课后作
学生通过对本节内容的回顾
总结：
1.完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
学生齐说口诀
2.(1)项数：积的项数为三项
（2）符号：首平方与尾平方
符号为正，中间项的符号取
培养学生学习
后自我总结，反
思的良好习惯，
并对所学知识
的理解加以升
华，使知识系统
化。

通过完全平
方公式与平方
差公式的比较
业）决于两数同号还是异号。

3.平方差公式与完全平方公
式
4.学生根据教师要求出2道
题。

让学生能更好的运用公式。

八、板书设计
6.7完全平方公式
(m+3)2 =m2+6m+9 (a+b)2= a2 +2ab+b2注意：
(2+3x)2=4+12x+9x2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2（1）项数例1：首平方，尾平方（2）符号例2：首尾两倍在中央练习：。