高三年级第四次模考数学(文科)试题

高三年级第四次模考数学（文科）试题
（总分：150分 时间：120分钟）
第Ⅰ卷
一. 选择题：(本大题共12小题；每小题5分；共60分)．
1．集合M=(){}
+∞∈=,0,|2
x x y y ；N=(){}+∞∈+=,0,2|x x y y ；则N M =（ ）
A .M B. N C. R D. (){}4,2 2.. 函数x
x
x y sin 1cos 2sin -=
的值域是 ( )
A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21
B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21
C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,21
D.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-4,21 3．已知向量b a b a m b a 2),2,1(),3,2(-+-==与若平行；则m 等于 （ ） A ．－2
B ．2
C ．2
1
-
D ．
2
1 4．使关于x 的不等式x k x <++1有解的实数k 的取值范围是 ( )
A ．)1,(--∞
B ．)1,(-∞
C ．),1(+∞-
D ．),1(+∞ 5．将函数x x f y sin )(=的图象向左平移
4
π个单位；得到函数x y 2
sin 21-=的图象；则 f (x )是
（ ）
A ．x cos
B ．x cos 2
C ．x sin
D ．x sin 2 6．已知函数)2lg()(b x f x
-=（b 为常数）；若[)+∞∈,1x 时；0)(≥x f 恒成立；则（ ）
A ．．b = 1
B ．b < 1
C ．1≥b
D ．1≤b
7．设函数()m
f x x ax =+的导函数'()21f x x =+；则数列1
{
}()
f n 的前n 项的和为（ ） A ．1n n - B ．1n n + C ．1n n + D ．21
n n ++
8．已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数；当x >0时；f (x )=x -1；那么不等式f (x )<
2
1
的解（ ） A ．{x |0<x <23} B ．{x |-21<x <0} C ．{x |-21<x <0或0<x <23} D ．{x |x <-21或0≤x <2
3
}
9. 命题p ：若1||1||||,,>+>+∈b a b a R b a 是则的充分而不必要条件：命题q ：函数 2|1|--=x y 的定义域是(][)+∞-∞-,31, 则（ ）
（ ）
A ．“p 或q ”为假
B ．“p 且q ”为真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
10．如图；B A O ,,是平面上三点,向量=OA a ,=OB b . 在平面AOB 上,P 是线段AB 垂直平分线上任意一点,
向量OP =p ,且2||,3||==b a |则 )(b a p -⋅的值是:（ ） A.5 B.
25 C.3 D.2
3 11．f(x)是定义在[－C,C]上的奇函数；其图象如下；
令g(x)=af(x)+b ；则下列关于函数g(x)的叙述正确的是（ ） A.若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称
B.若a=－1, －2<b<0；则方程g(x)=0有大于2的根 ≠0；b=2；则方程g(x)=0有两个实根
第11图
第10图
c
b
a
120.5
1≥1；b<2；则方程g(x)=0有三个实根
12、已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示, 记
),()2()1()(1
n f f f k f n
k +⋅⋅⋅++=∑
=则∑=11
1
)(n n f 的值为（ ）
A. 4
B. 22+
C. 222+
D. 222-- 二、填空题（本大题共4小题；每小题4分；共16分） 13．已知,1||,2||==与的夹角为3
π
；若向量m +2与+垂直； 则m= 。

14. 不等式3)13(log 2
1-≥-x
解集是
15．在右面的表格中；每格填上一个数字后使每一横行成等差数列；
每一纵列成等比数列；则a b c ++=__ 。

16．给出下列命题：
（1）如果命题P ：“x >2”是真命题；则Q ：x ≥2是真命题； （2）函数x
x x f 1
)(-
=是奇函数；且在（－1；0）∪（0；1）上是增函数； （3）“1≠a ；且1≠b ”的充分不必要条件是“（0)1()12
2
≠-+-b a ”；
（4）如果等差数列}{n a 的前n 项的和是n S ；等比数列}{n b 的前n 项的和是n T ；则k S 、 k k S S -2、k k S S 23-成等差数列；k T 、k k T T -2、k k T T 23-成等比数列. 其中正确命题的序号是： .
三、解答题（本大题共6小题；共76分）
17．（本小题满分12分）已知A ；B ；C 是三角形ABC ∆三内角；向量()
()1,3,cos ,sin m n A A =-=；且1m n ⋅=
（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若
22
1sin 23cos sin B
B B
+=--；求tan B 18．已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2
(x －π12
) (x ∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.
19．（本小题满分12分）
已知函数1)(+=x x f ；点*))(,1(1
N n a a n n
n ∈++在)(1
x f y -=上；且121==a a
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设)!
1(!3!22
1++++=
n a a a S n n ；若m S n >恒成立；求实数m 的取值范围。

20、（本小题满分12分）
已知12)(-=x
x f 的反函数为)13(log )(),(41
+=-x x g x f .
(1)若)()(1
x g x f
≤-；求x 的取值范围D ；
(2)设函数)(2
1)()(1
x f x g x h --=；当x ∈D 时；求函数 )(x h 的值域.
x
21.（本小题满分12分）
已知一列非零向).2)(,(21),(),,(:1111111≥+-===----n y x y x y x a y x a a n n n n n n n n 满足量
（1）证明：|}{|n a 是等比数列； （2）求向量);2(1≥-n a a n n 的夹角与
（3）设序排成共线的向量按原来的顺中所有与把1211,,,,),2,1(a a a a a n =一列；记为
0,,,,,,2121n n n b b b b b b +++= 令为坐标原点；求点n B 的坐标。

22. （本小题满分14分）
设)(x f 是定义在R 上的奇函数；)(x g 与)(x f 的图象关于直线x = 1对称；当2>x 时；
3)2()2()(---=x x a x g 。

（1）求)(x f 的解析式；
（2）当x = 1时；)(x f 取得极值；证明：对任意x 1、)1,1(2-∈x ；不等式4|)()(|21<-x f x f 。

（3）若)(x f 是[)+∞,1上的单调函数；且当1)(,100≥≥x f x 时有[]00)(x x f f =；
证明：00)(x x f =。

高三数学第四次模考答案
一．选择题：BBCAB DADDB BC 13．－5 14。

（0；2] 15。

1 16。

(1) 17解：（Ⅰ）∵1m n ⋅=
∴(()cos ,sin 1A A -⋅=
cos 1A A -=
12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,66
6A A π
π
ππ<<-
<-
<
∴66A ππ-= ∴3
A π
=。

6分 （Ⅱ）由题知22
12sin cos 3cos sin B B B B
+=--；整理得22
sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2
tan tan 20B B --=∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使22
cos sin 0B B -=；舍去 ∴tan 2B =…………… 12分
18．解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π
12
)
= 2[
32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π
6
]+1 = 2sin(2x －π
3
) +1
∴ T =2π
2
=π。

6分
(Ⅱ)当f (x )取最大值时； sin(2x －π3)=1；有 2x －π3 =2k π+π
2
即x =k π+ 5π12 (k ∈Z ) ∴所求x 的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π
12 ； (k ∈Z )}．… 12分… 12分
19．解（I ）1)(1
)(1
-=+=-x x f x x f 的反函数为. ………………………………（1分）
∵点*)(,
11N n a a n n n ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++在反函数图像上；.1
n an a n =∴+ ……………………………（3分）
)6()!1()1(321,11
43
121分而 -=∴-⋅⋅=⋅∴
=-n a n a a a a a a a n n n （II ）
,1
11)1(1)!1()!1()!1(+⋅=+=+-=+n n n n n n n a n …………（8分）
1
1
1)111()3121()211(+-=+-++-+-=∴n n n S n …………（10分）
又S n 关于n 是单调函数；)21
,(,211-∞∈>=≥∴m m S S S n n 则恒成立故……
20、（文科）解析：∵ 12)(-=x x f ；∴ )1(log )(21
+=-x x f ． （１）∵)()(1x g x f ≤- 即)13(log )1(log 42+≤+x x ．
∴)13(log )1(log 42
4+≤+x x ；∴2(1)31,
10.
x x x ⎧+≤+⎨+>⎩解之得
10≤≤x ； ∴[]1,0=∈D x ． ………………6分
（２） ∵ )(2
1)()(1x f x g x H --
=)1(log 2
1
)13(log 24+-+=x x
)1(log )13(log 44+-+=x x 1
1
3log 4
++=x x ． []1,
0∈x 令1
2
3113+-
=++=
x x x t ；显然在[0；1]递增； 则有21≤≤t ．∴2
1
2log )(04=
≤≤x H ； 即)(x H 的值域为}2
10{≤≤y y ． ………………12分
20．（理科）解：（1）,)(是奇函数x f
)
()(,)(,)1,0(),1,0(),0,1()
()(,)1,1(11x f a a x f a a x f x x x x f x f x x x -=-=-∴-=∈∈--∈-=--∈∴+-时而则设时当
.
2,)()
()2(.)
01()
10()(.
)(111=∴=+⎪⎩⎪⎨⎧<<--<≤-=∴-=∴+-+T x f x f x f x a a x a a x f a a x f x
x x 且周期为周期函数又
)()221()122()(2121Z k k x k a
a k x k a a
x f x
k x k ∈⎪⎩⎪⎨⎧<<+--+<≤-=∴+--+…………………………6分
（2）当,10时<≤x
.12
1
:
)1,1()(.)(0
.0,01.12
1
.10.)(111<<-->∴->>-<-<<-<<∴
<<>⇔->-⇔->+--x a a x f a a x f a a a a x x a a a a a a a a a x f x x x 上的解为在因而不可能有由于当而
由函数的周期性可知：
)..(1222
1
Z k k x k ∈+<<+…………………………12分 21、解：（1）211211)()(2
1
||----++-=
n n n n n y x y x a ),2(||2
222121
21≥=+⋅=---n y x n n n ………………2分 首项22||0||12
1211=≠+=-n n a y x a 为常数； |}{|n a ∴是等比数列.………3分 （2）),(2
1
),(1111111-------+-⋅
=⋅n n n n n n n n y x y x y x 212121||2
1)(21---=+=
n n n a y x ；…………………………5分
222||1
,cos 2
111=
=>=<---n n n n n a a ； n n 与1-∴的夹角为
.4π
……… ………6分 （3）),,(2
1
),,(11112111y x y x a y x a +-==
),,(41
),,(21)2,2(411111411113x y x y a x y x y a +---=-=-=
),,(4
1
)2,2(8111115y x y x a -=--= //////951a a a ∴… ……8分
由题意可得；,,,,345211-===n n b a b a b ).,()4
1(111
y x n n --=∴………………………9分
设11
2])4
1()41()41(1[),(x t s t OB n n n n n --++-+-+== 则
])41(1[54)
4
1(1)41(1n n
--=----=
…………………10 11
2])41()41()41(1[y s n n --++-+-+= ])41(1[582)
4
1(1)41(1n n
--=⋅----=
(或n n t s 2=)∴点n B 的坐标为(])41(1[54n --,])4
1
(1[58n --)…………………12分
22.（文科）解：①∵)(x f 与)(x g 的图象关于直线x = 1对称
当0<x 时；设),(y x P 为)(x f 上的点
∴P 关于x = 1对称点),(y x P '''则⎩⎨
⎧='-='y
y x
x 2
∴3
)22()22()2()(-----=-=x x a x g x f
∴)0()(3
<+-=x x ax x f ……………………………………………………（3分） 又∵)(x f 在R 上是奇函数；∴,0)0(=f 又设0>x ∴0<-x ∴3
3
)()()(x ax x x a x f -=-+--=- ∴3
)(x ax x f -=-
∴)0()(3
>+-=x x ax x f ……………………………………………………（3分） ∴)()(3R x x ax x f ∈+-=……………………………………………………（4分）
②3
3)(x a x f +-='∴0)1(='f ,∴3=a
∴2
33)(x x f +-=' ∵0)(<'x f 有0332
<+-x
∴12
<x
∴11<<-x 即)(x f 在（－1；1）上为单调减函数；在[]1,1-∈x 上有
2)1()1(3)1()(3max
=-+-⨯-=-=f x f
2113)1()(3min
-=+⨯-==f x f …………………………………………（6分）
① 则)1,1(,21-∈x x 上恒有：4)()()()(min
max
21=-<-x f x f x f x f …………（8分）
③若)(x f 在[)+∞,1单调递减；则032
≤+-x a
∴23x a ≥[)+∞,1上不恒成。

故a 不存在；∴)(x f 在[)+∞,1递增 ∴2
3x a ≤在[)+∞,1上恒成立。

∴3≤a ………………………………………………………………………………（9分） 不妨假设1)(00≥>x x f ；则[]5)()(000->>x x f x f f 已知[]00)(x x f f =矛盾
若,)(100x x f <≤则[]000)()(x x f x f f << 与[]00)(x x f f =（矛盾）
∴综上可知00)(x x f =……………………………………………………………（14分）
22．（理科）（1）2
221
11)(x
x ax a x x x f -+=+-=' （i ）0)(2,0>'≥≥x f x a 则时符合要求；
（ii ）a <0时；令g(x )=ax 2
+x －1, x →+∞；g(x )→－∞； 故f (x )在),2[+∞只能是单调递减的.
)
5().,0[]41
,()(),(41
2210)(0041分可知由解得或故 +∞⋃--∞∈-
≤⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤-≤>∆≤+=∆a ii i a a x g a
（2）,0)(,1;0)(,10,1
)(,02
>'><'<<-='=x f x x f x x
x x f a 时时时 故.1)1()(min ==f x f …………………………………………………………（8分）
（3）反证法：不妨设1
11
ln 1ln )2(,1++>≥+>=n n n n x x x b b x b x 由
b
b b
b b b b b b b x b b b b b x b b
b b b x b b b x b x b N n x b x b n n n n n n n n 111
ln )1111(ln lim 1)
1111(ln 11)1111(ln )1
(ln 1ln ln )1(ln 1ln 1ln 1*)(1ln 2222423211
-⋅
=++++
≥∴++++>⋅+++++>>+++>++>+>=
∈+>∞→++ 故故
又由（2）当b>1时； b
b b
b b b 111
ln ,11ln ,11ln -⋅->>+故故>1与①矛盾.
故*).(1,1,1,1321N n x x x x n ∈≤≤≤≤ 同理……………………（14分）。