从近三年安徽中考谈如何搞好初三数学复习-2012

单孝讲座
2012年9月
一、为什么中考试题会有时容易有时难
二、关于试题的原创性问题
三、关于中考试卷的引领性问题
四、趋势
归= =
一、为什么中考试题会有时容易有时难
⑴社会的压力
⑵各地市县成绩的统计报表
⑶省厅考试院的压力
⑷命题者的压力
⑸趋势---- 易
二、关于试题的原创性问题
(1)课本、资料上常见题的变形或变式；
(10)8、如图，O O过点B、C,圆心O在等腰直角△ ABC的
内部,
2010谢区第二次月考第20题
如图，在等腰厶ABC中AB=AC=6cm,/ A=120°, A在O O内，B、C在O O上，OD丄BC 于D,且OD=2cm，求O O的半径.
【解】
第20题图
(2010年)23.如图，已知△ ABC^A A1B1C1，相似比为k(k> 1).且厶ABC 的三边分别为a、b、c(a>b>c),A A1B1C1的三边分别为b、
C1.
(1) 若c=a1,求证：a=kc.
【解】
(2) 若c=a1，试给出符合条件的一对△ ABC^H A A1B1C1，使得a、b、c 和a、6、C1都是正整数，并加以说明；
【解】
⑶若b=a1,c=b1,是否存在厶ABC^H A A1B1C1使得k=2?请说明理由.
(1)求证h1=h3；
【解】
【解】
(2011年)如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线11、|2、13、14上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h、h2、h3 ( h1> 0, h2> 0, h3>0).
(2)设正方形ABCD的面积为S.求证S= ( h1+h2)
【解】
♦数学小论文
关于“弦图”
2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图” 体现了数学研究中的继承和发展•
赵爽，字君卿，中国古代数学家、天文学家，没有什么史料可以说明赵爽的生卒年代. 可能是东汉末至三国吴国时代（公元三世纪初）的人•他研究过张衡的天文数学著作和刘洪的
《乾象历》，也提到过《九章算术》，主要贡献是深入研究了《周髀算经》为此写了序言，并作了详细注释•据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。

他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。

其中一段530余字的“勾股圆方图” 注文是数学史上极有价值的文献。

它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：
“勾股各自乘，并之，为弦实。

开方除之，即弦。

”
证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。

”
【例1】图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成
的若AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图2实线部分）是__________________
【例2】如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a、b、c,正放置的四个正方形的面积依次是S i、S2、S3，则S i + S2 + S+ S4= _________________
【例3】［问题情境］
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根 据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理） 带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。

［尝试证明］
以图1中的直角三角形为基础， 可以构造出以a 、b 为底，以a b 为高的直角梯形（如 图2），请你利用图
2，验证勾股定理；（4分） ［知识拓展］
利用图2中的直角梯形，我们可以证明
丈丄 ..2.其证明步骤如下：
c
BC a b, AD = _____
.
2.
［定理表述］
如果直角三角形的两直角边长分别为
a 、
b ,斜边长为
c ,那么a 2 b 2 c 2,
说明：只有文字语言，没有符号语言给
2分。

［尝试证明］
Rt ABE 也 Rt ECD , AEB EDC,
又 EDC DEC 90 , AEB DEC 90
AED 90 .
［定理表述］
请你根据图
又•••在直角梯形 ABCD 中有 BC AD
（填大小关系），即
S 梯形ABCD
S
Rt ABE
S
Rt DEC
S
Rt AED ,
谢三中
孟庆继
6
求证：/ 1+Z 2+Z 3= 90°
2..如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线
1仆12、13、14上，这四条直线中相邻
两条之间的距离依次为
h 1、h 2、h 3 (h 1>0, h 2>0, h 3> 0)
2(a
b)(a b)
1 , 1 , 1 2
ab ab c 2 2 2
整理，得a 2
b 2
c 2.
［知识拓展］
AD . 2c, RC AD,a b 2c
练习：1.如图所示“弦图”若正方形 BDEF 的边长是AE 的一半，连接 AF 、AG.
(1)求证 h 1=h 3；
【解】
(2)设正方形ABCD 的面积为S.求证S= ( h 1+h 2)
【解】
2
+ h 12
;
h
第23题图
将球从0点正上方2m 的A 处发出•把球看成点，其运行高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满
(3)若 A 1 ,当h 1变化时，说明正方形 ABCD 勺面积为S 随h 1的变化情况. 【解】
(1 )过A 点作AF 丄|3分别交|2、|3于点E 、F ,过C 点作CHL b 分别交b 、b 于点H 、G, 证厶ABE^A CDG 即卩可.
(2)易证△ ABE^A BCH^A CDG^A DAF,且两直角边长分别为 h i 、h i +h 2,四边形EFGH 是边长
为h 2的正方形，
1 所以 S 4 -h 1 h 1 h 2
2
⑶由题意，得h 2
1 3h 1所以
2
3 2
5 2
S
h 1 1
h 1 h 1
h 1 h 1 1 2 4
2
5
「 2
4 h.
5
2 解得O v hK -
3
【应用】 已知：三点 A(a,1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数 y = fx 的图象上.
(1)求a 的值;
⑵点P 为x 轴上一动点. ①当△
CBP 周长的和取得最小值时，求点
P 的坐标；(轴对称)
②当/ APB= 20°时，求/ OA 卉/ PBC 的度数.(弦 12 3 4
［解］
(2012年)23如图，排球运动员站在点 O 处发球.
2 2 2 2 2
h 2 2h 1
2h 1h 2 h 2
(h 1 h 2)2 h 1 .
h i 2
时，S 随h 1的增大而减小;
5
2
v —时，S 随h 1的增大而增大.
3
•••当 O v h 1v
2
4 2
当h 1= 时，S 取得最小值
；当三v h
5 5
5
图)
2
足关系式y a X 6 h .已知球网与O点的水平距离为9m高度为2.43m,排球场的边界距O点的水平距离为18m.
(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
【解】
刃I
⑵当h=2.6时，球能否越过球网，球会不会出界？请说明理由; 【解】
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
【解】
⑵ 与实际或时事相呼应的问题情境
(2010)4. 2010年一季度，全国城镇新增就业人数为289万人.用科学记数法表示289万正确的是............................................ 【】
7 6 5 4
A. 2.89 X 10 B2.89 X 10 C28.9 X 10 D2.89 X 10
(2012) 11.2011年安徽省棉花产量约为378000吨，将378000用科学记数法表示应是(2010)19.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年
3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2.
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(参考数据：
0.95)；
谢三中孟庆继8
将球从0点正上方2m的A处发出•把球看成点，其运行高度y(m)与运行的水平距离x(m)满【解】
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市
的商品房成交均价是否跌破10000元/m2?请说明理由.
谢三中
孟庆继
10
【解】
“复利公式：a 1 x 2 b 形式的推广，同时考察学生的整体代入的数 学思想”
(3)知识的综合呈现；
(10)5.如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的 是 .......... 【 】(多个图形)
(2010) 6.某企业1〜5月份利润的变化情况如图所示，以下说法与反映的信息 相符的是 【 】(多
个概念)
A. 1〜2月份利润的增长快于2〜3月份利润的增长
B. 1〜4月份利润的极差与1〜5月份利润的极差不同
C. 1〜5月份利润的众数是130万元
D. 1〜5月份利润的中位数是120万元
(10)19.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年 3月份的 14000元/m 2下降到5月份的12600元/m 2.
(1) 问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(参考数据：J 6"9 0.95); ［解］ (2)
如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到
7月份该市的商品房成 交均价是否跌破
10000元/m 2?请说明理由.
&正方体
B.球 C 直二梭桂
D-
(2012)下列面的几何体中是，主(正)视图为三角形的是
】
将球从0点正上方2m的A处发出•把球看成点，其运行高度y(m)与运行的水平距离x(m)满⑷数学建模(22)
(10) 22.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用
20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库
解得x=20% 答这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.……8分
中某种鲜鱼进行捕捞、销售.
九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天(1 < x<
20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如下：
(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如
何变化的？
【解】
(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的
收入y(元)与x (天)之间的函数关系式；(当天收入=日销售额—日捕捞成本).
【解】
(3)试说明(2)中函数y随x的变化情况，并指出在第几天y 取最大值，最大值是多少？
【解】
考察学生数学建模的方法和能力•(科学性、合理性、实用性)
(5)简洁语言的试题描述；
(08)17.某石油进口国这几个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨，这个
月进口石油的费用反而比上个月增加了14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率.
【解】设这个月的石油价格相对上个月的增长率为X•根据题意得
(09) 7、某市2008年国内生产总值(GDP比2007年增长了12%，由于受到国
际金融危机的影响，对预计今年比2008年增长7%。

若这两年GDP年平均增率为x%,则x%满足的关系是 ..................................................... 【】
A、12%^ 7%=x% B (1 + 12% (1 + 7% =2 (1 + x%)
C、12%+ 7%=2- x%
D、(1 + 12% (1 + 7% = (1 + x%) 2
【解析】主要考察：复利公式：“a (1 + x%) n=b ”的应用.
(1 + x%) 2= (1+ 12% (1 + 7% 选D
(6)数形结合、整体代换、函数思想、逆向思维等数学思想的体现；
(09)18、如图，在对Rt A OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到Rt A O/A/B/
(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
(2)设P(x,y)*^ OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应的坐标.
【解析】主要考察：位似变换、轴对称、平移•此题隐含着逆向思维，先给出最
终图形，让同学指出变化过程•答案附后•
(09)20、如图，将正方形沿图中虚线(其中x v y)剪成①②③④四块图形，用
这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形).
(1)画出拼成的矩形的简图；
③ ④
x y
第20题
图
解得x=20% 答这个月的石油价格相对上个月的增长率为 20%.……8分
(09) 23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图
(1)所示.
(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义
【解】
------------------------------------
批发单价民)
(2)求x 的值.
y
【解析】主要考察：学生动手能力，但此题与平时训练的题正好逆过来，要求由 正方形变成矩形，逆向思维•难点是求：“ x ”的值，学生平时没有做过这种类型,
y
丢分率高•答案附后.
⑺复合函数、分段函数(10)
(08南京)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车 行驶的时间为x(h)，两车
之间的距离 为y(km)，图中的折线表示 y 与x 之间的函数关系. 问题解决
(5 )若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车 相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
根据图象进行以下探究： 信息读取
(1 )甲、乙两地之间的距离为 _ (2)请解释图中点 B 的实际意义;
km ；
y/km n
900
图象理解
(3 )求慢车和快车的速度;
(第28题)
(4)求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围;
A D
4
12
x/h
】
100
200 H D.
(10) 10.甲、乙两人准备在一段长为
1200m 的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分
别为4m/s 和6m/s ，起跑前乙在起点，甲在乙前面 100m 处，若同时起跑，则两人从起跑至
其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离 y ( m )与时间t ( s )的函数图象
是
50 275^(
⑵写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式；在下图的坐标系
中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.
(3)以调查，某经销商销售该种水果的日最高销售量与零售价之间的函数关系如图(2)所示。

该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大•
【解析】主要考察：分段函数、一次函数、二次函数的性质和应用，难点在于分段函数不熟，没见过, 人教版课本没做要求，而沪科版教材课后读一读中有这种类型•答案附后•
三、关于中考试卷的引领性问
题
⑴打破常规
(2010) 18、在小正方形组成的15X 15的网格图中，四边形ABCD 和四边形A/B/C/D的位置如图所示•
(1)现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°,画出相应的图形
A1B1C1D1;
⑵若四边形ABCD平移后，与四边形A/B/C/D成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移方法以，并画出平移
1
旧最高销爭量(kg)
80「 __________ 80)
40- -------- 初呃)
\
11 1
li | ■■ B L 丿
1
11 ||
02 6 8零售价(元)
第乃题图(2)
的图形A2RQD2.
【解】
本题为什么不设计成先逆时针旋转而后平移呢？
(1)美观构图的需要；
(2)不能让教师学生形成思维定势：
(第1问为第2问铺垫这一不成文的构架).
⑵边缘性问题
1. (09) 12、因式分解：a2—b2—2b—1= ________ .
【解析】主要考察：用分组分解法分解因式：
2 2 2 2 2 2
a —
b —2b—1 = a—( b + 2b+ 1) = a—( b + 1)
=(a+b+ 1) (a—b—1),此题沪科版教材上有要求，而人教版教材上已删除.考纲上因式分解：
⑴因式分解的意义；⑵提公因式法；⑶公式法(直接用公式不超过两次)
2. (10) 21.上海世博会门票的价格如下表所示：
门票价格一览表
某旅行社准备了1300元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票, 且每种票至少买一张.
(1)有多少种购票方案？列举所有可能的结果;
【解】
(2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到ii张门票的
概率.
【解】用列举法求概率(树状图或列表)但本题实质是一元一次不定方程:
2x+y=13.
体现建立数学模型的思想和能力.
门)第：暫6
4*^0 <逋票味触
111
■9
—
■ri"-
Ji7
4$
五53
61
(劄解：由(1)知+共有币种利規方峯+且迭到毎种方聲的可陡性等，而怡好透到张门果的方SH/f
种，因毗恰好选到11张门臬的槪準是亠 (12)
3. (10) 23•如图，已知△ ABB A A i B i C i，相似比为k(k> 1).且厶ABC
a i、
b i、C i.
的三边分别为a、b、c(a>b>c),A A i B i C i的三边分别为
(1) 若c=a i,求证：a=kc.
【解】
(2) 若c=a i,试给出符合条件的一对△
ABC^H A A i B i C i，使得a、b、c 和
a i、
b i、C i都是正整数，并加以说明；
【解】
⑶若b=a i,c=b i,是否存在厶ABC^H A A i B i C i使得k=2?请说明理由.
【解】
13- 111 if ：-.二朋匸5比』』口 口柑他比育&让》i )一 = | a = u
X '' t
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(約馆：不存在这样的心•坍C 和厶％EG 理由如下： 5 k =2JH= 2*( ,b = 24t t t-2f r
Xv b = a 、,c -b,,
・・ a — 2a = 26 — 46j — 4c * ….……・.(3 分)
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....... ｛也和 ■ ...... 3 分］
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4・10.甲、乙两人准备在一段长为1200m 的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步
的速度分别为4m/s 和6m/s ，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m 处，若同时起 跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离 y ( m ) 与时间t (s )的函数图象是 .......................... 【 】
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* 0 100
275*f/s
0 rso
200 th
0 SO
275 f/i
A.
B ・
c.
D*
复合函数的应用
⑶数学建模
(10) 22.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用
20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库 中某种鲜鱼进行捕捞、销售.
九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第 x 天(1 < x <
20且x 为整数)的捕捞与销售的相关信息如下：
(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如
何变化的？
【解】
（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当
天全部售出，求第x天的收入y（元）与x （天）之间的函数关系式；（当天收入=日销售额—日捕捞成本）.
【解】
（3）试说明（2）中函数y随x的变化情况，并指出在第几天y 取最大值，最大值是多少？
【解】
考察学生数学建模的方法和能力•（科学性、合理性、实用性）
⑷知识的拓展和引伸
1. 如图，O O过点B、C,圆心0在等腰直角△ ABC的内部，/ BAC=90,
0A=1, BC=6贝U O 0的半径为........................ 【】
A.歸
B. 2X/3
C. VT3
D. ^2
IHJH 图2. 14.如图，AD是厶ABC的边BC上的高，由下列条件中的某
一个就能推出△ ABC是等腰三角形的是 ___________________
（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①/ BAD=Z ACD ②/ BAD=Z CAD
③ AB+ BD=AO BD ④ AB— BD=AC—BD
几何证法：
如图：BE=AC CF=AB △ADF, AE=AF
/ 1=Z 2,A ABE^A FCA / 1=Z 3
/ 2=Z 3, AC=CF=AB
代数解法：
证明：AB2—BD2=AC2—C仔
(AB— BD) (AB+ BD) = (AC— CD) (AC+ CD)
AB—BD=AC—CD ..................... ①
AB+ BD=AO CD ........................... ②
①+②
解得：AB= AC
3. (10) 19.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交
均价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2.
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(参考数据：皿 0.95)；
【解】
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否跌破10000元/m2?请说明理由.
【解】
“复利公式：a 1 x 2b形式的推广，同时考察学生的整体代入的数
学思想”
4. 20、如图，AD// FE 点B C在AD上，/ 仁/ 2, BF=BC.
(1) 求证：四边形BCEF是菱形；
［解］
(2) 若AB=BC=QD求证：△ ACF^A
BDE.
［解］本题是这样一题的变形：(谢区2010
年第7 次月考试题第19题)位置、题型、分值
都相同.
如图〔，△ ABC和厶DEF是两块可以完全重合的三角板，/ BAC K FDE=90，/ ABC2 DEF
=30°,在如图1所示的状态下，△ DEF固定不动，将△ ABC沿直线a向左平移.
(1)当厶ABC移到图2的位置时，连接AF、DC求证：△ ABF^A DEC
谢三中孟庆继21
⑵ 若EF=8,在上述平移过程中，试猜想点 C 距点E 多远时，四边形FDCA 是 菱形？并证明你的猜想.
(1) •••△ ABC 和厶DEF 是两块可以完全重合的三角板 . 2 分
••• AB = DE, / ABO Z FED= 30； BO EF
••• BC — C ^EF — F 即 BF = CE ...................................... 4 分 •••△ ABF ^A DEC ............................................ 5 分
(2)当CE= 4时，四边形FDCA 是菱形 ................ 6分
v Z ABO Z FED= 30 ° EF = BO 8, /• AO DF = 4,又 CE= 4 时，FO
BF = 4
••• F 、C 分别是BC FE 的中点，
••• AF = 1BC = 4，CD = 1EF = 4 ........................... 8 分
2 2
••• AOCD = DF = AF = 4，二四边形 FDCA 是菱形
即C 距点E 的距离为4时，四边形FDCA 是菱形 ....... 10分
5・23.如图，已知△ ABC^A A i B i
C i
，相
似比为k(k > 1).且厶ABC 的三边分别为a 、 b 、c(a > b > c)，A A 1B1C 1的三边分别为 a i 、b i 、C 1.
(1) 若 c=a 1,求证：a=kc. ［解］
(2)
若c=a 1,试给出符合条件的一对 △ ABC^P A A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、“、 C 1都是正整数，并加以说明； ［解］
⑶ 若b=a 1,c=b 1,是否存在厶ABC PA A 1B 1C 1使得k=2?请说明理由.
［解］
(5)注重课本
［解］
谢三中
孟庆继 23
(10
) 12
.不等式组3；蔦,
的解集是 ----------------
(12) 19.如图，在△ ABC 中，/ A=30°,Z B=45° AC=2 . 3，求 AB 的长. 【解】
(11)如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度.已知在离地面1500m,高度C
处的飞机，测量人员测得正前方 A B 两点处的俯角分别为 60°和45°，求隧道AB 的长.
【解】
(12)21.甲、乙两家商场进行促销活动 .甲商场采用"满200减100”的促销方式，即购买 商品的总金额满 200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元； 乙商场按顾客购买商品的总金额打 6折促销.
(1 )若顾客在甲商场购买了 510元的商品，付款时应付多少钱？
【解】
x(400 < x v 600)元，优惠后得到商家的优惠率
情况； 【解】
(3)品牌、质量、规格等相同的某种商品， 在甲、乙两商场的标准价格都是 x(200 < x v 400) 元.你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由
优惠金额 购买商品的总金额
),写出p 与x 之间的函数关系式，并说明
p 随x 的变化
(2 )若顾客在甲商场购买的商品总金额是
四、趋势
1. 关于概率
（10）、上海世博会门票的价格如下表所示：门票价格一览表
某旅行社准备了1300元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种票至少买一张
（1）有多少种购票方案？列举所有可能的结果；
【解】
（2）如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率•
【解】
用列举法求概率（树状图或列表）但本题实质是一元一次不定方程：2x+y=13.
体现建立数学模型的思想和能力.
启示：①降温；②依附•
2. 关于重点
22. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕
捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售
九⑴班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1 < X W 20且x为整数）的捕捞与销
售的相关信息如下：
（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？
【解】
（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y （元）与x （天）之间的函数关系式；（当天收入=日销售额一日捕捞成本）.
【解】
(3)试说明(2)中函数y随x的变化情况，
并指出在第几天y取最大值，最大值是多少？
【解】
考察学生数学建模的方法和能力•
23. 如图，已知△ ABC^A A I B I C I，相似比为k(k> 1).且厶
ABC的三边分别为a、b、c(a>b> c),A A1B1C1的三边分
别为a i、5、c i.
(1) 若c=a1,求证：a=kc.
【解】
(2) 若c=a1，试给出符合条件的一对△ ABC和
△ A1B1C1，使得a、b、c和a1、6、C1都是正整
数，并加以说明；
【解】
⑶若b=a1,c=b 1,是否存在厶ABC和厶A1B1C1使
得k=2?请说明理由.
【解】
(3)
3. 关于几何题
(11) 6 如图，D是厶ABC内一点，BDL CD, AD=6 BD=4, CD=3 E、F、G
H分别是AB AC
CD BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ............... 【】
A.7
B.9
C.10
D. 11
(12)10.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜
边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的
直角梯形，其中三边长分别为2、4、3,则原直角三角形纸片的斜
边长是................................ 【】
A.10
B. 4 5
C.10 或4 5
D.10 或2 17
(12)如图，P是矩形ABCD内任意一点，连接PA PB PC PD,得到△ PAB △ PBC △ PCD △ PDA.设它们
的面积分别是S, S2, S3, S4，给出了关于这种运算的几点结论：①S1 + S4 =S2+S3 ② S2+S4=S1 + S3 ③若S3 =2S r，则S4 =2S? ④若S j=S2，贝U P 点
在矩形的对角线上.其中正确结论序号是_________________ .(把所有正确结论的序号都填在横线上 )
启示：①四边形；②三角形与四边形
第10题图
谢三中孟庆继21
I 启示
二次函数占大头，一次函数占大头，相似形、多边形（四
I边形）占大头.
I几何内容在加强，相似形越来越重要，圆在弱化，概率
在弱化，统计在加强•图形变换，平移、旋转、轴对称不I 会太难，找规律必须掌握.
2.关于内容
（1）什么是“数学” ？将原来“数学是人们对客观世界定性把握
和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用
的过程.”改为“数学是研究数量关系和空间形式的科学”.数
学课程的基本理念；将“人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，改为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。

（2）“四基”（即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）（3）10个重要的核心概念。

确立了“数感”、“符号意识”、“运算能力”、“模型思想”、“空间观念”、“几何直观”、“推理能力”、“数据分析观念”、“应用意识”和“创新意识”
（4）“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”和“综合与实
践”四个领域中一些具体的内容的变化主要表现在以下几个方面，一个是删除了一些条目，第二是新增了一些内容（包括必学和选学内容），第三是对相同内容的要求不同（包括程度上的不同以及要求的进一步细化），具体如下。

（1）删除的内容
▲在“数与代数”领域，删除了一些内容，例如：
①对“大数”的认识与应用一一“能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断”（实验稿P31）
②对有效数字的要求一一“了解有效数字的概念”（实验稿P32）
③对一元一次不等式组的要求——“能够根据具体问题中的数量
关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题”（实验稿P33）▲在“图形与几何”（实验稿为“空间与图形”）领域，删除的主要内容和要求有：
①关于等腰梯形的相关要求（实验稿P39 P43）
②探索并了解圆与圆的位置关系（实验稿P39）
③关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比
乌斯带等图形的欣赏等（实验稿P40）
④关于镜面对称的要求（实验稿P41）
▲ “统计与概率”部分删除的内容
极差、频数折线图等内容
（2）新增加的内容
▲“数与代数”中既有必学的内容，也有选学的内容
①知道丨a丨的含义（这里a表示有理数）
②最简二次根式和最简分式的概念
③能进行简单的整式乘法运算中增加了一次式与二次式相乘
④能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等
⑤会利用待定系数法确定一次函数的解析表达式
以上为增加的必学内容，此外，此次《标准》修改，还以标注“* 的方式，增加了选学内容，具体如下：
*⑥解简单的三元一次方程组
*⑦了解一元二次方程的根与系数的关系
*⑧知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数
▲在“几何与图形”领域中，增加的内容既有必学的内容，也有选学的内容。

①会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义
②了解平行于同一条直线的两条直线平行
③会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类
④了解并证明圆内接四边形的对角互补
⑤了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系
⑥尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和
正六边形
下面的要求是选学内容：
*⑦了解平行线性质定理的证明
*⑧探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧
*⑨探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等
*⑩了解相似三角形判定定理的证明
(5)综合与实践
【例】〖解决问题〗直觉的误导
有一张8 cm 8 cm的正方形的纸片，面积是64 cm2。

把这张纸片按图24-1所示剪开，把剪出的4个小块按图24-2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm,宽为5cm的长方形，面积是65 cm2。

这是可能的吗？
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谢三中孟庆继31。