高考数学(文)人教A课件51平面向量的概念及线性运算
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即ka+b=λa+λkb,
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,
∴k2-1=0,∴k=±1.
-25-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量
共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能
得出三点共线.
λ(μa)= λμa ;
(λ+μ)a= λa+μa;
λ(a+b)= λa+λb
-7-
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
3.向量共线定理
(1)向量b与a(a≠0)共线当且仅当有唯一一个实数λ,使
b=λa
得
.
注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有
1
2
3
4
自测点评
1.向量常用有向线段表示,但向量与有向线段是两个不同的概念,
有向线段由起点、终点唯一确定,而向量是由大小和方向来确定的.
向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
2.两个向量共线与共线向量不同,零向量的方向是任意的,它与任
何向量都平行(共线).而只有方向相同或相反的两个非零向量才是
共线向量.
A.m+n=0
C.mn+1=0
B.m-n=0
D.mn-1=0
(2)在△ABC 中,O 为其内部一点,且满足 + +3=0,则
△AOB 和△AOC 的面积比是( D )
∶∶∶∶3
-27-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)由=a+mb,=na+b(m,n∈R)共线,
得存在 λ∈R,使得 a+mb=λ(na+b),即 mn-1=0,故选 D.
(2)如图,在△ABC 中,M 为 AC 的中点,则 + =2.
又由 + +3=0,则 2=-3,
从而可得 B,O,M 三点共线,且 2OM=3BO.
△
由 2OM=3BO,得
△
3
2
= = 5,S△AOB+S△BOC=5S△ABC.
又由 S△AOB=S△ABM-S△AOM=S△CBM-S△COM=S△CBO,
ABCD 中,O 为 AC 与 BD 的交点,若 2 = ,则=( B )
1
1
1
1
A.2 + 6
B.2 − 6
C.- +
D.- −
1
1
2
6
1
1
2
6
(2)在△ABC 中,点 M,N 满足=2 , = .若=x+y,
5
(2)设 =a, =b,
1
1
则 =- b+a, =- a+b,
2
2
1
1
1
从而
+ = - + + - + = (a+b)= ,故选 A.
(1)B (2)A
2
2
2
-20解析
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或
2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;
若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.
-26-
考点1
考点2
考点3
对点训练 3(1)已知向量 a 与 b 不共线,=a+mb,=na+b(m,n
∈R),则与共线的条件是( D )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“
= ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若两个
向量相等,则它们的起点相同,终点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,
-19-
考点1
考点2
考点3
考点 2 平面向量的线性运算
1
4
例 2(1)在△ABC 中, = ,P 是直线 BN 上一点,若
2
关闭
=m + 5 ,则实数 m 的值为(
)
(1)由题意,设
=n
+ = D.4
+n = +n( −
A.-4
B.-1,则 = C.1
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.
( × )
(2) + + = . ( √ )
(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反. ( × )
(4)若向量 与向量 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线
上. ( × )
(5)若a∥b,b∥c,则a∥c. ( ×)
3.向量共线与线段共线不同,前者可以不在同一条直线上,而后者
必须在同一条直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不
同的,因为两个平行向量可以移到同一条直线上,而两条平行直线
不能平移到同一条直线上.
-14-
考点1
考点2
考点3
考点 1
辨析平面向量的有关概念
例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A )
-10-
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
2.(2019广西玉林高中模拟)设D,E,F分别为△ABC三边BC,
CA,AB 的中点,则+2+3 =(
1
)
3
A.2
B.2
C.
D.
1
3
2
2
关闭
∵D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,
1
1
1
∴+2+3 = 2 ( + )+2×2 ( + )+3×2 ( +
又 A,B,C,D 是不共线的四点,
∴四边形 ABCD 为平行四边形.
反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,
则与 的方向相同,且||=| |,因此, = .
③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同;
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.
综上所述,真命题的序号是②.
平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及
相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括
号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同
样适用.
-21-
考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2019 河北邯郸大名一中高三模拟)在平行四边形
等,不能比较大小
0 的相反向量为 0
-5-
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
2.向量的线性运算
向量运算 定
加法
义
求两个向量和
的运算
法则(或几何意义)
三角形法则
平行四边形法则
运 算 律
(1)交换律:a+b
= b+a
(2)结合律:
(a+b)+c
= a+(b+c)
-6-
知识梳理
向量运算 定
减法
数乘
1
双基自测
义
2
第五章 平面向量、数系的扩充
与复数的引入
-2-
5.1 平面向量的概念及线
性运算
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
1.向量的有关概念
名称 定
向量
义
既有 大小 又有 方向 的量;向量AB的大
小叫做向量的 长度 (或 模 ),记作|AB|
零向
长度为 0 的向量;其方向是任意的
量
单位
长度等于 1个单位长度 的向量
1
1
)=
+nD,E,F
分别为△ABC
- = +n的三边
-
=(1-的中点,则
+
4
5
5
2
=(
)
∵ =m + ,
5
1
1
2 B.
A.
C.
∴m=1-n,且 = ,解得
2 n=2,m=-1.
5
D.2
且只有一个实数 λ,使得=(1-λ)+λ.
-8-
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
4.两个结论
(1)P 为线段 AB 的中点⇔ =
1
( + );
2
(2)G 为△ABC 的重心⇔ + + =0.
-9-
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
考点3
(1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴ = + =2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.
∴, 共线,又它们有公共点 B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解 ∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
1
△
则 S△AOB=5S△ABC,故
△
1
= 3.
-28-
考点1
考点2
考点3
1.平面向量的重要结论:
(1)若存在非零实数λ,使得 =λ 或=λ 或=λ ,则
向量
备
注
平面向量是自
由向量
记作 0
非零向量 a 的
单位向量为
±||
-4-
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
备
义
名称
定
平行
向量
方向 相同
零向量
共线
向量
的非零向
平行
量又叫做共线向量
相等
向量
长度 相等
的向量
且方向 相同
相反
向量
长度 相等
的向量
且方向 相反
或 相反
的非
注
方向相同或相反
0 与任一向量
或共线
两向量只有相等或不相
1
1
则 x=
,y=
.
6
2
-22-
考点1
考点2
考点3
1
1
1
1
2
3
2
6
解析:(1) = + = ( − )+ = − .
(2)如图, = +
1
1
=3 − 2
1
1
1
1
=3 − 2 ( − )
=2 − 6 ,
1
1
1
3
3
1
1
2
2
2
2
2
2
)= + + + + + = + + =
3
.
2D
关闭
-11解析
答案
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥bD.|a|>|b|
)
关闭
由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,
且a∥b.
②
其中真命题的序号是
.
-15-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.
若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.
(2)①不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的.
②正确.∵ = ,∴||=| |,且 ∥ .
-16-
考点1
考点2
考点3
解题心得对于向量的概念应注意以下几条:
(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母
表示,也可以用坐标表示;
(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是
平行向量,而平行向量未必是相等向量;
(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只
有相等与不相等,不可以比较大小.
-17-
考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;
④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误命题的个数为( C )
(2)(2019广西南宁质检)已知a,b是两个单位向量,下列命题中错误
1
∴x=2,y=-6.
-23-
考点1
考点2
考点3
考点 3
向量共线定理及其应用
例3设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D 三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
思考如何用向量的方法证明三点共线?
-24-
考点1
考点2
④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.
(2)a,b是两个单位向量,即模为1的向量,对于A,|a|=|b|=1,正确;对
于B,a·
b=|a|·
|b|cos<a,b>=cos<a,b>,错误;对于C,当a,b反向
时,a+b=0,正确;对于D,当a,b同向时,a=b,正确.故选B.
即a·b=0.
又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.
A
关闭
-12解析
答案
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=
.
关闭
由题意知存在常数 t∈R,使 λa+b=t(a+2b),则
1
2
= ,
1
解得 λ=2.
1 = 2,
-13解析
关闭
答案
知识梳理
双基自测
的是( B )
A.|a|=|b|=1
B.a·b=1
C.当a,b反向时,a+b=0
D.当a,b同向时,a=b
-18-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)①错误.当方向不同时,不是共线向量.②正确.因为向量有
方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,
∴k2-1=0,∴k=±1.
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考点1
考点2
考点3
解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量
共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能
得出三点共线.
λ(μa)= λμa ;
(λ+μ)a= λa+μa;
λ(a+b)= λa+λb
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知识梳理
双基自测
1
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3
4
3.向量共线定理
(1)向量b与a(a≠0)共线当且仅当有唯一一个实数λ,使
b=λa
得
.
注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有
1
2
3
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自测点评
1.向量常用有向线段表示,但向量与有向线段是两个不同的概念,
有向线段由起点、终点唯一确定,而向量是由大小和方向来确定的.
向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
2.两个向量共线与共线向量不同,零向量的方向是任意的,它与任
何向量都平行(共线).而只有方向相同或相反的两个非零向量才是
共线向量.
A.m+n=0
C.mn+1=0
B.m-n=0
D.mn-1=0
(2)在△ABC 中,O 为其内部一点,且满足 + +3=0,则
△AOB 和△AOC 的面积比是( D )
∶∶∶∶3
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考点1
考点2
考点3
解析:(1)由=a+mb,=na+b(m,n∈R)共线,
得存在 λ∈R,使得 a+mb=λ(na+b),即 mn-1=0,故选 D.
(2)如图,在△ABC 中,M 为 AC 的中点,则 + =2.
又由 + +3=0,则 2=-3,
从而可得 B,O,M 三点共线,且 2OM=3BO.
△
由 2OM=3BO,得
△
3
2
= = 5,S△AOB+S△BOC=5S△ABC.
又由 S△AOB=S△ABM-S△AOM=S△CBM-S△COM=S△CBO,
ABCD 中,O 为 AC 与 BD 的交点,若 2 = ,则=( B )
1
1
1
1
A.2 + 6
B.2 − 6
C.- +
D.- −
1
1
2
6
1
1
2
6
(2)在△ABC 中,点 M,N 满足=2 , = .若=x+y,
5
(2)设 =a, =b,
1
1
则 =- b+a, =- a+b,
2
2
1
1
1
从而
+ = - + + - + = (a+b)= ,故选 A.
(1)B (2)A
2
2
2
-20解析
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或
2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;
若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.
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考点1
考点2
考点3
对点训练 3(1)已知向量 a 与 b 不共线,=a+mb,=na+b(m,n
∈R),则与共线的条件是( D )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“
= ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若两个
向量相等,则它们的起点相同,终点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,
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考点1
考点2
考点3
考点 2 平面向量的线性运算
1
4
例 2(1)在△ABC 中, = ,P 是直线 BN 上一点,若
2
关闭
=m + 5 ,则实数 m 的值为(
)
(1)由题意,设
=n
+ = D.4
+n = +n( −
A.-4
B.-1,则 = C.1
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.
( × )
(2) + + = . ( √ )
(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反. ( × )
(4)若向量 与向量 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线
上. ( × )
(5)若a∥b,b∥c,则a∥c. ( ×)
3.向量共线与线段共线不同,前者可以不在同一条直线上,而后者
必须在同一条直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不
同的,因为两个平行向量可以移到同一条直线上,而两条平行直线
不能平移到同一条直线上.
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考点1
考点2
考点3
考点 1
辨析平面向量的有关概念
例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A )
-10-
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
2.(2019广西玉林高中模拟)设D,E,F分别为△ABC三边BC,
CA,AB 的中点,则+2+3 =(
1
)
3
A.2
B.2
C.
D.
1
3
2
2
关闭
∵D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,
1
1
1
∴+2+3 = 2 ( + )+2×2 ( + )+3×2 ( +
又 A,B,C,D 是不共线的四点,
∴四边形 ABCD 为平行四边形.
反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,
则与 的方向相同,且||=| |,因此, = .
③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同;
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.
综上所述,真命题的序号是②.
平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及
相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括
号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同
样适用.
-21-
考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2019 河北邯郸大名一中高三模拟)在平行四边形
等,不能比较大小
0 的相反向量为 0
-5-
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
2.向量的线性运算
向量运算 定
加法
义
求两个向量和
的运算
法则(或几何意义)
三角形法则
平行四边形法则
运 算 律
(1)交换律:a+b
= b+a
(2)结合律:
(a+b)+c
= a+(b+c)
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知识梳理
向量运算 定
减法
数乘
1
双基自测
义
2
第五章 平面向量、数系的扩充
与复数的引入
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5.1 平面向量的概念及线
性运算
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
1.向量的有关概念
名称 定
向量
义
既有 大小 又有 方向 的量;向量AB的大
小叫做向量的 长度 (或 模 ),记作|AB|
零向
长度为 0 的向量;其方向是任意的
量
单位
长度等于 1个单位长度 的向量
1
1
)=
+nD,E,F
分别为△ABC
- = +n的三边
-
=(1-的中点,则
+
4
5
5
2
=(
)
∵ =m + ,
5
1
1
2 B.
A.
C.
∴m=1-n,且 = ,解得
2 n=2,m=-1.
5
D.2
且只有一个实数 λ,使得=(1-λ)+λ.
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知识梳理
双基自测
1
2
3
4
4.两个结论
(1)P 为线段 AB 的中点⇔ =
1
( + );
2
(2)G 为△ABC 的重心⇔ + + =0.
-9-
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
考点3
(1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴ = + =2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.
∴, 共线,又它们有公共点 B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解 ∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
1
△
则 S△AOB=5S△ABC,故
△
1
= 3.
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考点1
考点2
考点3
1.平面向量的重要结论:
(1)若存在非零实数λ,使得 =λ 或=λ 或=λ ,则
向量
备
注
平面向量是自
由向量
记作 0
非零向量 a 的
单位向量为
±||
-4-
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
备
义
名称
定
平行
向量
方向 相同
零向量
共线
向量
的非零向
平行
量又叫做共线向量
相等
向量
长度 相等
的向量
且方向 相同
相反
向量
长度 相等
的向量
且方向 相反
或 相反
的非
注
方向相同或相反
0 与任一向量
或共线
两向量只有相等或不相
1
1
则 x=
,y=
.
6
2
-22-
考点1
考点2
考点3
1
1
1
1
2
3
2
6
解析:(1) = + = ( − )+ = − .
(2)如图, = +
1
1
=3 − 2
1
1
1
1
=3 − 2 ( − )
=2 − 6 ,
1
1
1
3
3
1
1
2
2
2
2
2
2
)= + + + + + = + + =
3
.
2D
关闭
-11解析
答案
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥bD.|a|>|b|
)
关闭
由|a+b|=|a-b|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,
且a∥b.
②
其中真命题的序号是
.
-15-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.
若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.
(2)①不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的.
②正确.∵ = ,∴||=| |,且 ∥ .
-16-
考点1
考点2
考点3
解题心得对于向量的概念应注意以下几条:
(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母
表示,也可以用坐标表示;
(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是
平行向量,而平行向量未必是相等向量;
(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只
有相等与不相等,不可以比较大小.
-17-
考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;
④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误命题的个数为( C )
(2)(2019广西南宁质检)已知a,b是两个单位向量,下列命题中错误
1
∴x=2,y=-6.
-23-
考点1
考点2
考点3
考点 3
向量共线定理及其应用
例3设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D 三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
思考如何用向量的方法证明三点共线?
-24-
考点1
考点2
④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.
(2)a,b是两个单位向量,即模为1的向量,对于A,|a|=|b|=1,正确;对
于B,a·
b=|a|·
|b|cos<a,b>=cos<a,b>,错误;对于C,当a,b反向
时,a+b=0,正确;对于D,当a,b同向时,a=b,正确.故选B.
即a·b=0.
又a,b为非零向量,故a⊥b,故选A.
A
关闭
-12解析
答案
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=
.
关闭
由题意知存在常数 t∈R,使 λa+b=t(a+2b),则
1
2
= ,
1
解得 λ=2.
1 = 2,
-13解析
关闭
答案
知识梳理
双基自测
的是( B )
A.|a|=|b|=1
B.a·b=1
C.当a,b反向时,a+b=0
D.当a,b同向时,a=b
-18-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)①错误.当方向不同时,不是共线向量.②正确.因为向量有
方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.