内蒙古鄂尔多斯一中2016-2017学年高一下学期期中考试理数试题Word版含答案

市一中2016～2017学年度第二学期期中考试试题
高一年级理科数学
注意事项：
1． 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，总分150分，考试时间120分钟． 2. 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置
上．
3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它
题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将答题卡交回即可．
第Ⅰ卷
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．tan 8π
3的值为( )
A.
33 B ．－3
3
C. 3 D ．－ 3
2．下列函数中最值是1
2，周期是6π的三角函数的解析式是( )
A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋π6
B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3－π6 D ．y ＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6
3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )
A ．OM
B ．2OM
C ．3OM
D ．4OM
4． 若直线240(,)mx ny m n R m n +-=∈≠、始终平分圆2
2
42x y x y +--40-=的周长，则mn 的取值范围是（ ）
A. (0,1)
B. (-1,0)
C. (-∞,1)
D. ( -∞,-1) 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )
A ．(－5，－10)
B ．(－4，－8)
C ．(－3，－6)
D ．(－2，－4) 6．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( )
A.
225 B ．－25 C.25 D ．－22
5
7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝15
2，则a 与c 的夹角
为( )
A ．30° B．60° C．120° D ．150°
8．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称( )
A ．向左平移π12个单位长度
B ．向左平移π
6个单位长度
C ．向右平移π12个单位长度
D ．向右平移π
6
个单位长度
9．已知点()1,1A -,()1,2B ,()2,1C --,()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）
A B C ．D ． 10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35 C.3
5
D ．－4
5
11．函数y =x cos x +sin x 的图象大致为（ ）
12．若sin sin sin 0,αβγ++=cos cos cos 0,αβγ++=且0αβ≤<<2,γπ< 则βα-=( )
A.
423
3ππ或
B. 23π
C. 43
π D. 以上答案都不对 第Ⅱ卷
二、填空题(共4题，每题4分，共20分)
13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
14函数2
3cos 4sin 1y x x =-+的值域为____ ．
15．已知ƒ(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________.
16．有下列四个命题：
①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2
x －sin x
sin x －1
是奇函数；
④函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2在上是增函数．
其中正确命题的序号为________． 三、解答题(共6题,共70分)
17．（本小题满分10分）已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.
18．（本小题满分12分）（1）已知tan α＝12，求
1＋
π－α－2π－α
sin
2
－α
－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π
2－α的值．
（2）已知π4＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3
5，求sin 2α的值．
19．（本小题满分12分）已知函数4
1cos2sin 2,.4y x x x R =
+∈ (1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
(2)该函数的图象可由sin ()y x x R =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
20. （本小题满分12分）已知向量()1,2,(cos ,sin )a b αα==,设m a tb =+ (t 为实数).
(1)若α=
π
4
,求当m 取最小值时实数t 的值; (2)若a b ⊥,问:是否存在实数t,使得向量a b -和向量m 夹角的余弦值为2
3
,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)（ω＞0,0＜φ＜π
2）的部分图象如图所示．
(1)求ƒ(x )的解析式；
(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
2倍，再将所得函数图
象向右平移π
6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；
22. （本小题满分12分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线02934=-+y x 相切． 求：（1）求圆的方程；
（2）设直线05=+-y ax 与圆相交于B A ,两点，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得过点)4,2(-P 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
期中理科数学答案
13.
43 14. 16
[3,]3
- 15.10 16.④
18. 解：原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝sin 2
α＋cos 2
α ＋2sin αcos α
sin 2α－cos 2
α ＝
α＋cos α
2
α－cos α α＋cos α
＝
sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1
tan α－1
，
……3分
又∵tan α＝1
2，∴原式＝12＋11
2
－1＝－3.……5分
（2）∵π4＜β＜α＜3π4，∴π2＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π
2
.
又∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－4
5， (8)
分
∴sin 2α＝sin ＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×5
13
＝－5665.……12分
17.解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2.
……5分
(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，即|a |2
－a ·b ＝1－2cos θ＝0，∴cos θ＝2
2
. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. ……10分
19．解：1sin(2)26
y x π
=
+……2分 （Ⅰ）当sin(2)1,6
x π
+
=即()6
x k k Z π
π=+
∈时，y 有最大值。

……………………5分
集合为,6x x k k Z π
π⎧⎫
=+
∈⎨⎬⎩
⎭
……………………………………………………6分 （Ⅱ）第一步：把函数sin y x =的图象向左平移6
π
，得到函数sin()6y x π=+的图象；
第二步：把函数sin()6y x π=+的图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2倍（纵坐标不
变），得到函数sin(2)6
y x π
=+的图象；
第三步：将函数sin(2)6y x π=+的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1
2
倍（横坐标不
变），得到函数1sin(2)26
y x π
=+的图象。

…………………………………………12分
20. 解:(1)因为α=
π
4,所以b=,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,
则4分
所以当t=2-
时,|m|取到最小值,最小值为2
.……6分 (2)存在实数t 满足条件,理由如下: 由条件得
()()a b a tb a b a tb
-⋅+-+=23
,……7分
又因为,(a-b)·(a+tb)=5-t,……10分
=
23
,且t<5,整理得t 2
+6t-7=0,所以存在t=1或t=-7满足条件.……12分 21. 解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2π
T ＝1 .……2分
又ƒ⎝
⎛⎭⎪⎫11π6＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π6＋φ＝0，∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z.
∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π
6.……4分
又由ƒ(0)＝2，得A sin π
6
＝2，∴A ＝4，……6分
∴ƒ(x )＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6 .……7分
(2)将ƒ(x )＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝
4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，…9分
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π
3(k ∈Z)，……11分
∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．……12分
22．（1）设圆心为(, 0)M m （m ∈Z ）．
由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以，429
5
5
m -=，……2分
即
42925
m -=．因为m 为整数，故1m =．故所求的圆的方程是2
2
(1)25x y -+=． (4)
分
（2）直线50ax y -+=即5y ax =+．代入圆的方程，消去y 整理，得
22(1)2(51)10a x a x ++-+=．由于直线50ax y -+=交圆于,A B 两点，
故
22
4(51)4(1)0a a ∆=--+>，即21250a a ->，解得 0a <，或512
a >． 所以实数a 的取值范围是5
(, 0)(, )12
-∞+∞． ……7分
（3）设符合条件的实数a 存在，由（2）得0a ≠，则直线l 的斜率为
1a
-， l 的方程为1
(2)4y x a
=-++，即240x ay a ++-=． ——9分
由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1, 0)M 必在l 上． 所以10240a ++-=，解得34a =．由于35
(, )412
∈+∞，……11分 所以存在实数3
4
a =，使得过点)4,2(-P 的直线l 垂直平分弦AB .……12分。