章末检测卷4：第四章 圆与方程

章末检测卷(四)
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是()
A.以(a,b)为圆心的圆
B.以(－a,－b)为圆心的圆
C.点(a,b)
D.点(－a,－b)
答案D
解析由题意配方得(x＋a)2＋(y＋b)2＝0,所以方程表示点(－a,－b).
2.点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为()
A.点在圆外
B.点在圆内
C.点在圆上
D.与m的值有关
答案A
解析圆心坐标O(2,1),|OP|＝(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4≥4＝2.圆的半径为2,由于|OP|＞2,所以点P在圆外.
3.空间直角坐标系中,点A(－3,4,0)和B(x,－1,6)的距离为86,则x的值为()
A.2
B.－8
C.2或－8
D.8或－2
答案C
解析由距离公式得(x＋3)2＋(－5)2＋62＝86,
解得x＝2或－8.
4.垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()
A.x＋y－2＝0
B.x＋y＋1＝0
C.x＋y－1＝0
D.x＋y＋2＝0
答案A
解析与直线y＝x＋1垂直的直线设为：x＋y＋b＝0.
则|b|
2
＝r＝1,所以|b|＝2,又相切于第一象限,
所以b ＝－ 2.
5.设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点,则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A.4x －3y －2＝0 B.4x －3y －6＝0 C.3x ＋4y ＋6＝0 D.3x ＋4y ＋8＝0
答案 B
解析 此题实际上是求过圆心(0,－2)且与直线3x ＋4y ＋2＝0垂直的直线方程,即y ＋2＝43x ,
整理,得4x －3y －6＝0.
6.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M ,N 两点,且M ,N 关于直线x ＋2y ＝0对称,则实数k ＋m 等于( ) A.－1 B.1 C.0 D.2
答案 B
解析 由题意知MN 的中垂线为直线x ＋2y ＝0,所以k ＝2,此时圆方程为x 2＋y 2＋2x ＋my －4＝0,所以圆心坐标为(－1,－m
2
),代入x ＋2y ＝0,得m ＝－1,所以k ＋m ＝1.
7.过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.2x －y －3＝0 C.4x －y －3＝0 D.4x ＋y －3＝0 答案 A
解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ,k PC ＝1
2,∴k AB ＝－2,∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －
1),即2x ＋y －3＝0.
8.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ,b ∈R )对称,则ab 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，1
4 C.⎝⎛⎭⎫－1
4，0 D.⎝
⎛⎭⎫－∞，14 答案 A
解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ,b ∈R )对称,则圆心在直线上,求得 a ＋b ＝1,ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤1
4,ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14,故选A. 9.将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切,则实数λ的值为( ) A.－3或7 B.－2或8 C.0或10 D.1或11
答案 A
解析 由题意知：直线2x －y ＋λ＝0平移后方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,因而有|2×(－1＋1)－2＋λ|
5
＝5,得λ＝－3或7.
10.圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.0条 答案 B
解析 由x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0,得圆心和半径分别为O 1(－2,2),r 1＝1.由x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0,得圆心和半径分别为O 2(2,5),r 2＝4.
因为d ＝5,r 1＋r 2＝5,即r 1＋r 2＝d ,所以两圆外切,由平面几何知识得两圆有3条公切线. 11.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.(x －5)2＋(y ＋7)2＝25
B.(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15
C.(x －5)2＋(y ＋7)2＝9
D.(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9 答案 D
解析 设动圆圆心为P ,已知圆的圆心为A (5,－7),则外切时|P A |＝5,内切时|P A |＝3,所以P 的轨迹为以A 为圆心,3或5为半径的圆,选D.
12.过点P (－3,－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π
3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D
解析 方法一
如图,过点P 作圆的切线P A ,PB , 切点为A ,B .
由题意知|OP |＝2,|OA |＝1, 则sin α＝1
2
,
所以α＝30°,∠BP A ＝60°.
故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦
⎤0，π
3.选D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1,则由直线和圆有公共点知|3k －1|
1＋k 2≤1.
解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π
3].
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧,则a 2＋b 2＝________. 答案 2 解析
依题意,不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ,B 两点, 则∠AOB ＝90°.如图,此时a ＝1,b ＝－1, 满足题意, 所以a 2＋b 2＝2.
14.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y ＝1相切,则圆C 的方程是________.
答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254 解析 设圆心坐标为(2,y 0),则
⎩⎪⎨⎪⎧
y 20＋4＝r 2|1－y 0|＝r
,解得y 0＝－32,r ＝5
2,
∴圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254
. 15.过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点,则|P A |·|PB |＝________. 答案 3
解析 过P 作圆的切线PC ,切点为C ,在Rt △POC 中,易求|PC |2＝3,由切割线定理,得|P A |·|PB |＝|PC |2＝3.
16.直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________. 答案 45
解析 圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0的标准方程为 (x －3)2＋(y －4)2＝25. 圆心坐标为(3,4),半径为5. 圆心(3,4)到直线y ＝2x ＋3的距离 d ＝|2×3－4＋3|
5＝ 5.
∴弦长l ＝252－(5)2＝4 5. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0,求过点A (－3,－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程.
解 设所求轨迹上任一点M (x ,y ),圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3).
∵CM ⊥AM , ∴k CM ·k AM ＝－1, 即
y －3x －3·y ＋5
x ＋3
＝－1, 即x 2＋(y ＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分).
18.(12分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,1,0),(3,1,9),(3,0,9), (0,0,9),(0,1,9).
(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标； (3)求这个长方体外接球的体积. 解 (1)如图.
(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径, 所以球心坐标为(3＋02,0＋12,0＋92),即(32,12,9
2).
(3)因为长方体的体对角线长 d ＝32＋12＋92＝91,
所以其外接球的半径r ＝d 2＝91
2.
所以其外接球的体积V 球＝4
3πr 3
＝43π(912)3＝91π6
91. 19.(12分)如图,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO ＝43
.
(1)求新桥BC 的长；
(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？ 解 方法一 (1)
如图,以O 为坐标原点,
OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0,60),C (170,0),
直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4
3.
又因为AB ⊥BC ,
所以直线AB 的斜率k AB ＝3
4.
设点B 的坐标为(a ,b ), 则k BC ＝b －0a －170＝－4
3,①
k AB ＝
b －60a －0＝3
4
.② 联立①②解得a ＝80,b ＝120.
所以BC ＝(170－80)2＋(0－120)2＝150. 因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM ＝d m(0≤d ≤60). 由条件知,直线BC 的方程为y ＝－4
3(x －170),
即4x ＋3y －680＝0. 由于圆M 与直线BC 相切, 故点M (0,d )到直线BC 的距离是r , 即r ＝|3d －680|42＋3
2＝680－3d 5.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
r －d ≥80，r －(60－d )≥80，即
⎩
⎨⎧
680－3d
5－d ≥80，680－3d 5
－(60－d )≥80.
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时,r ＝680－3d
5最大,即圆面积最大.
所以当OM ＝10 m 时,圆形保护区的面积最大. 方法二 (1)
如图,延长OA ,CB 交于点F . 因为tan ∠FCO ＝4
3,
所以sin ∠FCO ＝4
5,
cos ∠FCO ＝3
5.
因为OA ＝60,OC ＝170, 所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝680
3,
CF ＝OC cos ∠FCO ＝850
3,
从而AF ＝OF －OA ＝500
3.
因为OA ⊥OC ,
所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4
5
.
又因为AB ⊥BC ,所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400
3,
从而BC ＝CF －BF ＝150. 因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ,
连接MD ,则MD ⊥BC ,
且MD 是圆M 的半径,并设MD ＝r m, OM ＝d m(0≤d ≤60).
因为OA ⊥OC ,所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO . 故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD
OF －OM
＝
r 6803
－d ＝3
5,所以r ＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
r －d ≥80，r －(60－d )≥80，即
⎩
⎨⎧
680－3d
5－d ≥80，680－3d 5
－(60－d )≥80.
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时,r ＝680－3d
5最大,即圆面积最大.
所以当OM ＝10 m 时,圆形保护区的面积最大. 20.(12分)根据下列条件,求圆的方程：
(1)经过P (－2,4)、Q (3,－1)两点,并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上,且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3,－2). 解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 将P 、Q 两点的坐标分别代入得
⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.
①②
又令y ＝0,得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1,x 2是方程③的两根, 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36,④
由①②④解得D ＝－2,E ＝－4,F ＝－8,或D ＝－6,E ＝－8,F ＝0. 故所求圆的方程为
x 2＋y 2－2x －4y －8＝0,或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (2)
如图,设圆心(x 0,－4x 0),依题意得4x 0－2
3－x 0
＝1,
∴x 0＝1,即圆心坐标为 (1,－4),半径r ＝22,
故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.
21.(12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ,Q 两点,O 为原点,若OP ⊥OQ ,求实数m 的值.
解 设P ,Q 两点坐标为(x 1,y 1)和(x 2,y 2),由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0,
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.① 所以y 1y 2＝12＋m 5,y 1＋y 2＝4.
又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2) ＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋4
5
(12＋m ),
所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋4
5(12＋m )＋12＋m 5＝0,
解得m ＝3.
将m ＝3代入方程①,可得 Δ＝202－4×5×15＝100>0, 可知m ＝3满足题意, 即3为所求m 的值.
22.(12分)已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R ). (1)求证：不论m 为何值,圆心在同一直线l 上； (2)与l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离；
(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.
(1)证明 配方得：(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25,
设圆心为(x ,y ),
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3m y ＝m －1,消去m 得x －3y －3＝0, 则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上.
(2)解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0,
则圆心到直线l 1的距离为
d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10
. ∵圆的半径为r ＝5, ∴当d <r ,即－510－3<b <510－3时,直线与圆相交；
当d ＝r ,即b ＝±510－3时,直线与圆相切；
当d >r ,即b <－510－3或b >510－3时,直线与圆相离.
(3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0,
由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10
, 弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量.
∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.。