甘肃省平凉市庄浪四中2016届高三上学期第一次模拟数学试卷 Word版含解析

2015-2016学年甘肃省平凉市庄浪四中高三（上）第一次模拟数
学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．
1．设集合A={1，2，4，6，8}，B={1，2，3，5，6，7}，则A∩B的子集个数为（）A．3 B．6 C．8 D．16
2．下列函数中，周期是π，且在[]上是减函数的是（）
A．B．C．y=sin2x D．y=cos2x
3．不等式≥2的解集为（）
A．[﹣1，0）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）4．函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为（）
A．[﹣1，1]B．[，1]C．[0，1]D．[﹣1，0]
5．设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
6．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3
7．已知x，y为正实数，则（）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
8．函数y=的值域是（）
A．（﹣∞，4）B．（0，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）
9．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）
A． B．C．
D．
10．已知函数f（x）=，若f（a）=0，则实数a的值等于（）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
11．下列命题错误的是（）
A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
B．“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件
C．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0
D．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
12．设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈
（0，1）时，f（x）=（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上（）
A．是增函数，且f（x）＜0 B．是增函数，且f（x）＞0
C．是减函数，且f（x）＜0 D．是减函数，且f（x）＞0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．若函数f（x）=a x﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x+1）=x2+x，则f（x）=．
15．函数y=﹣x2﹣4mx+1在[2，+∞）上是减函数，则m的取值范围是．
16．已知函数f（x）在定义域R上为偶函数，并且f（x+2）=﹣f（x），当2≤x≤3时，f（x）=x，则f=．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]．
（1）当a=﹣2时，求f（x）的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．
18．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p且q”为真命题，求a的取值范围．
19．已知函数f（x）=ln．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
20．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．21．已知定义在实数集R上的奇函数，f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）
=
1）求函数f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
2）判断f（x）在（0，1）上的单调性．
22．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的范围．
2015-2016学年甘肃省平凉市庄浪四中高三（上）第一次
模拟数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．
1．设集合A={1，2，4，6，8}，B={1，2，3，5，6，7}，则A∩B的子集个数为（）A．3 B．6 C．8 D．16
【考点】子集与真子集．
【专题】集合．
【分析】先求得A∩B={1，2，6}，再根据含n的元素的集合的子集个数共有2n个，得出结论．
【解答】解：由于A∩B={1，2，6}，含有3个元素，故它的自己个数为23=8，
故选：C．
【点评】本题主要考查求两个集合的交集，子集个数的运算，利用含n的元素的集合的子集个数共有2n个，属于基础题．
2．下列函数中，周期是π，且在[]上是减函数的是（）
A．B．C．y=sin2x D．y=cos2x
【考点】余弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】利用三角函数周期计算公式，分别计算各函数的最小正周期，即可排除A、B，利用正弦函数和余弦函数图象和性质，即可求得C、D函数的单调减区间，得正确答案
【解答】解：A，此函数的周期为2π，排除A；
B，此函数的周期为2π，排除B；
C，此函数的周期为π，在一个周期[0，π]内，其单调减区间为[，]，排除C；
D，此函数的周期为π，在一个周期[0，π]内，其单调减区间为[]，故D符合题意；
故选D
【点评】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的图象和性质，三角复合函数的最小正周期、单调区间的求法，属基础题
3．不等式≥2的解集为（）
A．[﹣1，0）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）
【考点】其他不等式的解法．
【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．
【解答】解：⇔⇔⇔⇔﹣1≤x＜0
故选A
【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题．在解题中，要注意等号．
4．函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为（）
A．[﹣1，1]B．[，1]C．[0，1]D．[﹣1，0]
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据复合函数的定义域之间的关系即可求出函数的定义域．
【解答】解：∵函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，
∴0≤x≤1，则0≤2x≤2，
即﹣1≤2x﹣1≤1，
即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用复合函数之间的关系即可求出函数的定义域．
5．设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式．
【专题】计算题．
【分析】利用log a（xy）=log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．
【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，
因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，
∵，，
所以log32＞log52＞log72，
所以a＞b＞c，
故选D．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．
6．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】规律型．
【分析】先求出p的等价条件，利用¬q的一个充分不必要条件是¬p，即可求a的取值范围．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，
即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，
∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，
若¬q的一个充分不必要条件是¬p，
则￢p⇒￢q成立，但￢q⇒￢p不成立，
∴a≥1，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法是解决本题的关键．熟练掌握命题的否定的形式．
7．已知x，y为正实数，则（）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．
【解答】解：因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），
所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，
故选D．
【点评】本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查．
8．函数y=的值域是（）
A．（﹣∞，4）B．（0，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【专题】计算题．
【分析】本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．
【解答】解：由题意令t=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≥﹣2
∴y=≤=4
∴0＜y≤4
故选C
【点评】本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质．
9．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）
A． B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，
在令x取特殊值，选出答案．
【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，
∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，
综上只有A符合．
故选：A
【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．
10．已知函数f（x）=，若f（a）=0，则实数a的值等于（）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数，建立方程，即可求出实数a的值．
【解答】解：当a＞0时，f（a）=lga=0，∴a=1；
当a≤0时，f（a）=a+3=0，∴a=﹣3，
综上，a=1或﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
11．下列命题错误的是（）
A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
B．“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件
C．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0
D．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】对于A，写出逆否命题，比照后可判断真假；
对于B，利用必要不充分条件的定义判断即可；
对于C，写出原命题的否定形式，判断即可．
对于D，根据复合命题真值表判断即可；
【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1，故A
正确；
“am2＜bm2”⇒”a＜b”为真，但”a＜b”⇒“am2＜bm2”为假（当m=0时不成立），故“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件，故B正确；
命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正确；
命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题，故D错误，
故选：D
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假判定．
12．设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈
（0，1）时，f（x）=（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上（）
A．是增函数，且f（x）＜0 B．是增函数，且f（x）＞0
C．是减函数，且f（x）＜0 D．是减函数，且f（x）＞0
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（x+1）=﹣f（x），可推出f（x+2）=f（x），因此函数为周期函数，T=2，由复
合函数的单调性推出函数f（x）=（1﹣x）递增，再由周期性与奇偶性把（1，2）上
的单调性过度到（0，1）来研究．
【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=f（x+1+1）=﹣f（x+1）=﹣（﹣f（x））=f （x），
∴函数为周期函数，周期T=2，
∵u=1﹣x递减，y=递减，由复合函数的单调性知函数f（x）=（1﹣x）递增，
又x∈（0，1）时，0＜1﹣x＜1，∴（1﹣x）＞0，
∴∀x∈（0，1）时，f（x）＞0，
①∀x∈（1，2），2﹣x∈（0，1），∴f（2﹣x）＞0，
又函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=f（﹣x+2）＞0，
②设1＜x1＜x2＜2，则﹣1＞﹣x1＞﹣x2＞﹣2，则1＞2﹣x1＞2﹣x2＞0，
∵函数f（x）=（1﹣x）递增，
∴f（2﹣x1）＞f（2﹣x2）
又f（2﹣x1）=f（x1）、f（2﹣x2）=f（x2）
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在（1，2）上是减函数
综上，选D
【点评】本题综合考查函数的性质，是把函数的单调性、奇偶性、周期性相结合的题目，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．若函数f（x）=a x﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．
【考点】函数的零点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=a x（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解．
【解答】解：令g（x）=a x（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=a x﹣x﹣a有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．
故答案为：（1，+∞）
【点评】作出图象，数形结合，事半功倍．
14．已知函数f（x+1）=x2+x，则f（x）=x2﹣x．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意，可用换元法求函数解析式，令t=x+1得x=t﹣1，代入f（x+1）=x2+x，整理即可得到所求的函数解析式
【解答】解：由题意，t=x+1得x=t﹣1
∵f（x+1）=x2+x，
则f（t）=（t﹣1）2+t﹣1=t2﹣t
∴f（x）=x2﹣x
故答案为：x2﹣x
【点评】本题考查函数解析式求解方法﹣换元法，掌握换元法的解题步骤及规则是解答本题的关键，换元法适用于已知复合函数解析式与内层函数解析式求外层函数解析式，其具体步骤是：先令内层函数g（x）=t，解出x=g﹣1（t），代入复合函数解析式，整理出关于t的函数，最后再将t换成x即可得到所求的解析式
15．函数y=﹣x2﹣4mx+1在[2，+∞）上是减函数，则m的取值范围是m≥﹣1．
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据二次函数的性质求出函数的单调减区间，使[2，+∞）是其单调减区间的子集，建立不等关系，解之即可．
【解答】解：函数y=﹣x2﹣4mx+1是开口向下的二次函数
∴函数在[﹣2m，+∞）上单调递减函数
而当x∈[2，+∞）时，函数为减函数，
∴[2，+∞）⊆[﹣2m，+∞）
即﹣2m≤2解得m≥﹣1
故答案为m≥﹣1．
【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，以及二次函数的性质的运用，属于基础题．
16．已知函数f（x）在定义域R上为偶函数，并且f（x+2）=﹣f（x），当2≤x≤3时，f（x）=x，则f= 2.2．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（x+2）=﹣f（x）便可得出f（x）=f（x+4），这便说明f（x）是周期为4的周期函数，再根据f（x）为偶函数，便可将105.8变到区间[2，3]上，从而得出其函数值．【解答】解：f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4）；
∴f（x）是周期为4的周期函数；
又f（x）是R上的偶函数；
∴f=f（1.8+26×4）=f（1.8）=f（﹣1.8+4）=f（2.2）=2.2．
故答案为：2.2．
【点评】考查偶函数的定义，周期函数的定义，以及将自变量的值变到已知解析式的定义域内从而求函数值的方法．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]．
（1）当a=﹣2时，求f（x）的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）利用二次函数的图象和性质确定，函数f（x）的最大值和最小值．（2）利用二次函数的对称轴确定a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
因为x∈[﹣4，6]，所以当x=﹣4时，函数f（x）取得最大值为f（﹣4）=35．
当x=2时，函数取得最小值为f（2）=﹣1．
（2）因为f（x）=x2+2ax+3=（x+a）2+3﹣a2，抛物线开口向上，且对称轴为x=﹣a．
要使f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数，则有﹣a≤﹣4或﹣a≥6，
解得a≥4或a≤﹣6．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数问题中的最常用的方法．
18．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：
曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p且q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．
【解答】解：若函数在x∈（0，+∞）内单调递减，则0＜a＜1，即p：0＜a
＜1．
若y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，
则判别式△=（2a﹣3）2﹣4＞0，
解得a＞或0＜a＜，即q：a＞或0＜a＜，
若“￢p且q”为真命题，
则￢p，q都为真命题，
即p是假命题，q是真命题，
则，解得a＞．
【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
19．已知函数f（x）=ln．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由＞0，即可解得函数的定义域．
（2）由已知证明f（﹣x）=﹣f（x），即可得解．
【解答】解：（1）由＞0．得x＜﹣1或x＞1．故函数f（x）的定义域为：{x|x＜﹣1或x＞1，x∈R}．
（2）f（﹣x）=ln=ln=﹣f（x），故函数为奇函数．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
20．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据f（1）=1代入函数表达式，解出a=﹣1，再代入原函数得f（x）=log4（﹣x2+2x+3），求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数f（x）的单调区间；
（2）先假设存在实数a，使f（x）的最小值为0，根据函数表达式可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数t=ax2+2x+3的性质，可列出式子：
，由此解出a=，从而得到存在a的值，使f（x）的最小值为0．
【解答】解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，
∴log4（a•12+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=﹣1
可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）
∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3
∴函数定义域为（﹣1，3）
令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；
当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．
∵底数为4＞1
∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，
由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，
且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．
∴⇒⇒a=
因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．
【点评】本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．
21．已知定义在实数集R上的奇函数，f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）
=
1）求函数f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
2）判断f（x）在（0，1）上的单调性．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（﹣1，0）时f（x）的解析式，x=﹣1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．
（2）证明单调性可用定解决．
【解答】解：（1）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）==
由f（0）=f（﹣0）=﹣f（0）得f（0）=0
又f（1）=f（﹣2+1）=f（﹣1）=﹣f（1）
得f（1）=f（﹣1）=0，∴
（2）当x∈（0，1）时，
任取x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）
=﹣=
∵0＜x1＜x2＜1，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（0，1）上是减函数．
【点评】本题考查奇偶性，函数单调性的证明，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强．
22．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的范围．
【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）若函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，则f（﹣1）=a﹣b+1=0，且﹣=﹣1，
解得函数的解析式，进而得到函数的单调区间；
（2）f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，转化为x2+x+1＞k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立．设g（x）=x2+x+1，x∈[﹣3，﹣1]，求出函数的最值，可得答案．
【解答】解（1）∵函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，
∴f（﹣1）=a﹣b+1=0，且﹣=﹣1，
∴a=1，b=2．
∴f（x）=x2+2x+1，
由函数的图象是开口朝上，且以直线x=﹣1为对称轴的抛物线，
故单调减区间为（﹣∞，﹣1]，单调增区间为[﹣1，+∞）
（2）f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，
转化为x2+x+1＞k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立．
设g（x）=x2+x+1，x∈[﹣3，﹣1]，
则g（x）在[﹣3，﹣1]上递减．
∴g（x）min=g（﹣1）=1．
∴k＜1，
即k的取值范围为（﹣∞，1）．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
2016年3月9日。