2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-四川延考卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)
数 学（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
解：A 的子集共3
28=个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B
2．函数lg y x =的定义域为（ ）
A ．(0,)+∞
B ．(,1]-∞
C ．(,0)
[1,)-∞+∞ D ．(0,1]
解：选D ．由10
0x x -≥⎧⎨
>⎩
01x ⇒<≤．
3．4
1(1)(1)x x
++的展开式中含2
x 项的系数为（ ） A ．4 B ．5 C ．10 D ．12
解： 选C ．4
12233
4441
1(1)(1)(1)(1)x C x C x C x x
x
++=+++++
，
其展开式中含2
x 项的系数为23
4410C C +=．
4．不等式21x -<的解集为（ ）
A ．{|13}x x <<
B ．{|02}x x <<
C ．{|12}x x <<
D ．{|23}x x << 解：选A ．21x -<121x ⇔-<-<13x ⇔<<． 5．已知1tan 2α=
，则
cos sin cos sin αα
αα
+=-（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 解：选C ．
cos sin 1tan 3cos sin 1tan ααα
ααα
++==--
6．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球
的体积与正三棱锥体积的比值为（ ） A ．
3 B ．3 C ．2
D ．
解： 设球的半径为r 3143V r π⇒=
；正三棱锥的底面面积2
4
S r =，2h r =，
232123V r ⇒=⨯=。

所以
123
V V =
，选A 7．若点(2,0)P 到双曲线22
221x y a b
-=
（ ）
A
B
C
． D
．解：设过一象限的渐近线倾斜角为
αsin 4512
k αα⇒=⇒=⇒= 所以b y x x a =±
=±a b ⇒=
，因此,c
c e a
===，选A 。

8．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）A ．
15 B ．12 C ．23 D ．4
5
解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。

问题等价于选3本书有文艺书的概率：
3
43644
()1()11205
C P A P A C =-=-=-=
9．过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）
A ．2 B
． C ．3 D
．解：如图AB 最小时，弦心距最大为1
，AB == 10．已知两个单位向量a 与b 的夹角为3
π
，则a b λ+与a b λ-互相垂直的充要条件是（ ）
A
．λ=
λ=B ．12λ=-或12λ= C ．1λ=-或1λ= D ．λ为任意实
数 解：
22
22()()()()(1)(1)0a b a b a b a b a b a b a b λλλλλλλλ+⊥-⇔+∙-=-+-∙=-∙=
2
0101a b λλ∙≠⇔-=⇔=±。

另外a 与b 是夹角为
3
π
的单位向量，画图知1λ=时 a b +与a b -构成菱形，排除AB ，而D 选项明显不对，故选C 。

11．设函数()y f x =()x R ∈的图像关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，
2()f x x =，则3
()2
f -=（ ）
A ．12
B ．14
C ．34
D ．94
解：23311111
()()(1)(1)()()2222224
f f f f f -==+=-===
12．在正方体1111ABCD A BC D -中，
E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为（ ）
A
．
10 B
．10 C
．5 D
．5
解：如图以D 为坐标系原点,AB 为单位长，1,,DA DC DD 分别为
,,x y z 轴建立坐标系，易见1
(0,1,1)A B =-，11
(1,,0)2
D E =
，所以1111
(0,1,1)(1,,0)
2cos ,15(0,1,1)(1,,0)224
A B D E -<>===
-选B 。

（如果连结1,D C EC ,用余弦定理解三角形也可以求得答案。

）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数1
1x y e +=-()x R ∈的反函数为_____________________．
解：1
1111ln(1)x x y e
e y x y +
+=-⇒=+⇒+=+，所以反函数ln(1)1(1)y x x =+->-
，
14
．函数2()cos f x x x =-的最大值是____________
． 解：
x ≤2
cos 0x ≥，
2()
cos f x x x ⇒=-≤sin 1,cos 0x x ==时取等号。

（另2
227
()cos sin 1(sin )24
f x x x x x x =-=+-=+-在sin 1x =时取最大值）
15
．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S a =．若40a ≠，则
7
4
a a =__________．
解：551234142300S a a a a a a a a a =⇒+++=⇒+=+=，取特殊值
令231,1,a a ==-43a ⇒=-74129a a a =-=-，所以
7
4
3a a =
16．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___________．
解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上 作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设1DE =
1,OE OD ⇒==，又60,2COE CE OE
OE ∠=⊥⇒=,所以
CD ，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值sin 2
COD ∠=
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知2
2
2
2a c b +=． （Ⅰ）若4
B π
=
，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；
（Ⅱ）求sin B 的最大值．
解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有2
2
2
sin sin 2sin 1A C B +==．
故22
sin cos C A =．因为A 为钝角，所以sin cos C A =-．
由cos cos()4A C π
π=-
-，可得sin sin()4C C π=-，得8C π=，58
A π
=． （Ⅱ）由余弦定理及条件2
22
1()2b a c =+，有22cos 4a c B ac
+=，
因2
2
2a c ac +≥，所以1cos 2B ≥
．故sin 2
B ≤，
当a c =时，等号成立．从而，sin B 的最大值为
2
． 18．（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检
验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B
类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响． （Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率． 解：（Ⅰ）设i A 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，1,2i =． i B 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，1,2i =．
i C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”
． 则121212C A A A B B A =⋅+⋅+⋅．
由已知 ()0.9i P A =，()0.05i P B =，1,2i =．
所以，所求的概率为121212()()()()P C P A A P A B P B A =⋅+⋅+⋅ 2
0.920.90.050.9=+⨯⨯=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为()0.9P C =． 故所求概率为： 3
10.90.271-=
19．（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片0ABC D 中，1AD BD ==，
AB =．沿它的对角线BD 把0BDC ∆折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点C 的位置．
（Ⅰ）证明：平面0ABC D ⊥平面0CBC ；
（Ⅱ）当二面角A BD C --为120︒时，求AC 的长 解：（Ⅰ）证明：因为01AD BC BD ===，
0AB C D =090DBC ∠=︒．
因为折叠过程中，090DBC DBC ∠=∠=︒，
所以DB BC ⊥，又0DB BC ⊥，故DB ⊥平面0CBC ． 又DB ∈平面0ABC D ，
所以平面0ABC D ⊥平面0CBC ．
（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）知BC DB ⊥，0BC DB ⊥，
所以0CBC ∠是二面角0C BD C --的平面角．由已知得，060CBC ∠=︒．
作0CF C B ⊥，垂足为F ， 由01BC BC ==
可得CF =
12BF =．
连结AF ，在ABF ∆中，
2
22
1113)()2
c o s 135
224
AF =+
-⨯︒=． 因为平面0ABC D ⊥平面0CBC ，
所以CF ⊥平面0ABC D ，可知CF AF ⊥．
在Rt AFC ∆中，2AC =
=． 解法二：由已知得090ADB DBC ∠=∠=︒．以D 为原点，射线DA ，DB 分别为x ，
y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，
0(1,1,0)C -，(0,0,0)D ．由（Ⅰ）知BC DB ⊥，0BC DB ⊥，所以0CBC ∠为二面角0C BD C --的平面角．
由已知可得060CBC ∠=︒，
所以1
(2C -． 所以(2AC =-
=， 即AC 的长为2．
20．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，2
11
2(1)n n a a n
+=+⋅．
（Ⅰ）证明数列2
{
}n
a n 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11
2
n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T ．
解：（Ⅰ）由条件得
122
1(1)2n n
a a n n
+=⋅+，又1n =时，21n a n =， 故数列2{}n a n 构成首项为1，公式为12的等比数列．从而2112n n a n -=，即2
12n n n a -=．
（Ⅱ）由22(1)21
222
n n n n
n n n b ++=-=得23521
222n n
n S +=+++
， 231135212122222n n n n n S +-+⇒
=++++， 两式相减得 ： 23113111212()222222n n n n S ++=++++-， 所以 25
52n n
n S +=-．
（Ⅲ）由231121
()()2
n n n S a a a a a a +=+++-+++得
111
2
n n n n T a a T S +-+-=
所以11222n n n T S a a +=+-21
46
122
n n n -++=-． 21．（本小题满分12分）已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；
（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点．当8MN =时，求PQ 的值．
解：（Ⅰ）设1C ：22221x y a b +=(0)a b >>，其半焦距为c (0)c >．则2C ：24y cx =．
由条件知2
2
(2)2()a b a c c
=-，得2a c =．
1C 的右准线方程为2
a x c
=，即4x c =．
2C 的准线方程为x c =-．
由条件知515c =， 所以3c =，故6a =，b =
从而1C ：
22
13627
x y +=， 2C ：212y x =． （Ⅱ）由题设知l ：y x c =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)P x y ，44(,)Q x y ．
由24y cx y x c
⎧=⎨=-⎩，得22
60x cx c -+=，所以126x x c +=．
而1228MN MF FN x x c c =+=++=，由条件8MN =，得1c =．
由（Ⅰ）得2a =，b =1C ：22
143x y +=，即223412x y +=． 由2234121
x y y x ⎧+=⎨=-⎩，得2
7880x x --=．所以3487x x +=，3487x x =-．
故24
7
PQ =
． 22．（本小题满分14分）设函数32()2f x x x x =--+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当[1,2]x ∈-时，3()3af x -≤≤，求a b -的最大值． 解：（Ⅰ）2
'()321(31)(1)f x x x x x =--=+-． 于是，当1
(,1)3
x ∈-时，'()0f x <； 1(,)
(1,)3
x ∈-∞-+∞时，'()0f x >．
故()f x 在1(,1)3
-单调减少，在1(,)3
-∞-，(1,)+∞单调增加． 当13x =-时，()f x 取得极大值159()327
f -=； 当1x =时，()f x 取得极小值(1)1f =．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）及(1)1f -=，(2)4f =，()f x 在[1,2]-的最大值为4，最小值为1．
因此，当[1,2]x ∈-时，3()3af x b -≤+≤的充要条件是33
343a b a b -≤+≤⎧⎨-≤+≤⎩
，
即a ，b 满足约束条件
334343
a b a b a b a b +≥-⎧⎪+≤⎪⎨+≥-⎪⎪+≤⎩，
由线性规划得，a b -的最大值为7．。