(完整版)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明

等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于
腰上的高证明
例一：如图所示,已知△ ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点，PD丄AB于点D , PE丄AC
点E,若厶ABC的面积为14。

问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，
请说明理由。

解：三角形ABC的面积为14，所以PD+PE的值为定值。

由已知：AB=AC=8 , S( △ ABC)=14，得
S( △ ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=14
1/2*8*(PD+PE)=14
PD+PE=14/4=3.5
即PD+PE=3.5
这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。

结论虽简单，我们又应当如何证明呢？
关于这道题的证明方法有很多种。

求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。

已知：等腰三角形ABC中，A吐AC, BC上任意点D, DEL AB, DF丄AC；BH L AC 求证：DE+ DF= BH
证法一：
连接AD
则厶ABC的面积=AB*DE/2+ AC*DF/2= (DE+ DF)*AC/2
而厶ABC的面积=BH*AC/2
所以：DE+ DF= BH 即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高证法二：作DGL BH垂足为G
因为DG L BH，DF L AC，BH L AC
所以四边形DGH是矩形
所以GH= DF
因为AB= AC
所以/ EBD^ZC
因为GD//AC
所以/ GD B^ZC
所以/ EBD=Z GDB
又因为BD= BD
所以△ BDE^A DBG( ASA
所以DE= BG
所以DE+ DF= BG+ G* BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线，垂足为M
运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明
如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DE —DF| = BH
问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。

证明的方法与上面的方法类似。

这是两条很有用的性质。

面积方法证明全等方法证明，注意等边三甬形三条高相等
如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的
如图，已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC或其延长线）的距离分别为hl、h2、h3,三角形ABC的高为h。

解答提示：
如图，过P作BC的平行线交AB AC的延长线于G H,作HQLAG 先证明P» PE^ HQ （见：）
而HQ= AN F= MN
所以PM PE— PF
=AN- PF
=AW MN- PF
=AM
即h1+ h2—h3= h
另外一个变式问题：
已知：如图，在△ ABC中，/ C= 90°，点D P分别在边AC AB上，且BD=AD PEI BD PF 丄AD垂足分别为点E、F。

(1)当/A= 30°时，求证：PE+P归BC
(2)当/ A M 30°(/ A<Z ABC时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，
请加以证明：如果不正确，请说明理由。

腰长5厘米底边长6厘米p是底边任意一点pd垂直于ab pe垂直于ac垂足为d e pd+pe=解：
作底边BC上的高AM设腰上的高二h，连接PA
因为AB= AC= 5，BC= 6
所以BM= CM= 3
所以根据勾股定理得AM= 4
因为S A ABC= BC*AM/2= AB*h/2 = 12
所以h = 24/5
因为S A ABC= S A AB卉S A ACP
=AB*PD/2+ AC*PE/2
所以5*PD/2 + 5*PE/2 = 12
所以PD+ PE= 24/5
如图，点P是矩形ABCD勺边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8 和15,求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。

解：
设AC BD交于O,作ALL BD PM L AC PNL BD 连接OP 因为AB= 8, BOAD= 15 所以根据勾股定理得BD= 17
因为S A ABG AB*AD/2= AE*BD/2
所以可得AE= 120/17
因为四边形ABCD是矩形
所以OA= OD
因为S A OA氐S A OP件S A OPD
=OA*PM/甘OD*PN/2
=(PW PN *OD/2
S A OA氐AE*OD/2
所以PMI^ PN= AE= 120/17。