读懂数学实质,促进素养落地
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通过上面的分析可以看到，在假定条件下，样 本平均数是真实数据的一个好的估计。事实上，我 们还可以证明，在误差模型的假定下，样本平均数 的数学期望就等于真实数据，因此样本平均数是 真值的无偏估计。
简单地说，通过多个样本数据再除以样本数量 得到的结果更能接近事物的真实水平。因此在教 学中可通过统计活动创设，让学生感受抽样和样 本的随机性，即把每个数据看成样本，是通过抽样 得到的，并且每次抽样是独立进行的。从而让学生
一尧野 一针见血冶观点摘录与批注
“我 确 信 ：数 学 素 养 的 培 养 、特 别 是 创 新 人 才 的培养，是‘悟’出来的，而不是‘教’出来的。”（“创 新”是人的核心素养中最难得的一种关键能力， “悟”道出了在教学过程中必然要为学生的学习创 造条件、留有独立思考、交流碰撞的时空。教学不 能 太 急 ：不 要 急 于 否 定 ，不 要 急 于 打 断 ，不 要 急 于 和盘托出……）
100
案 例
读懂数学实质袁促进素养落地
很荣幸读到史宁中校长专门写给小学数学教 师的一本书 《基本概念与运算法则———小学数学 教学中的核心问题》。这本书主要讲述小学数学教 学内容中的一些核心问题，在理解内容的基础上， 探 讨 实 现“ 四 基 ”课 程 目 标 、适 合 小 学 生 认 知 规 律 的教学方法。这本书有助于教师丰富本体性知识， 让 曾 经 模 糊 、困 惑 的 一 些 概 念 、知 识 更 加 清 晰 ；有 助于感受数学之美：抽象概括的简洁美、逻辑推理 的严密美、统一协调的和谐美；更有助于一线教师 在教学实践中读懂教材，设计出有广度和深度的 课堂教学，让学生在学习中感受数学魅力、培养学 科素养。应该说，在平常的教学实践与思考的基础 上 阅 读 本 书 ，带 给 了 我 许 多 的 收 获 ，有 一 种“ 长 跑 后来一顿冰镇西瓜”的畅快淋漓感。
…… 这些观点言简意赅、一针见血。读下来让人醍 醐灌顶，豁然开朗！从语言本身便能感受到作者大 道至简的大气与智慧！接下来我将从具体知识问题 和根本性知识问题两方面各摘选两点来谈谈感受 与体会。
二尧对两个具体知识问题分析的触动
渊一冤方程的本质是什么钥 方程以及与方程有关的函数，是义务教育阶段 乃至整个基础教育阶段数学最核心的内容。“方程” 是小学生接触到的最为抽象的概念。什么是方程？ 教材的定义是：含有未知数的等式。回顾自己曾经 的教学实践，主要是通过“分类比较”，紧扣教材定 义来展开教学的，但教材中的定义只是一种形式上 的表述，并不是方程的本质。方程的本质是描述现 实世界中的等量关系。课标中对方程认识的目标定 位是：（1）结合简单的实际情境了解等量关系，并能 用字母表示；（2） 能用方程表示简单情境中的等量 关系了解方程的作用。因此，在教学中应将着力点 放在等量关系上，让学生结合具体情境中的等量关 系来理解方程的概念。而不是单纯地对一些脱离具 体情境的等式作观察、比较与概括。从方程的功能 看，列方程是为了求方程的解。根据这一点也就理 解了像“判断 x=0，x=3+2”这种题目是没有意义的。 渊二冤平均数的意义是什么钥 平均数的教学往往有两种方式：一种是从意义 着手，一种是从求法着手。哪种更好？这得看平均数
“数学思想归纳为三方面的内容，可以用六个 字表达：抽象、推理、模型。”（这是数学思想最上位 的三个方面。）
“数是对数量的抽象。”（数量是数的现实价 值。数源于数量，但不等同于数量。）
“数学的本质是：在认识数量的同时认识数量 之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关
系。”（更能理解“课标”中对数学的定义：“数学是 研究数量关系和空间形式的科学”。）
x □1=μ+ε □1、x □2=μ+ε □2、x □3=μ+ ε□3、……、x□n=μ+ε□n
把上面 n 个式子等号左边和右边分别相加便 可以得到：
x □1+x □2+x □3+ … +x □n=nμ+（ε □1+ε □2+ε□3+…+ε□n）（1）
在上面的等式中，由于获得的数据总存在误 差 ，有 的 比 真 实 数 据 大 ，有 的 小 ，因 此 误 差 正 负 抵 消 ， 就 接 近 0， 即 ε □1+ε □2+ε □3+ … +ε □n≈0。把这个设想的结果代入（1）式，就可以得 到：μ≈（x□1+x□2+x□3+…+x□n）÷n，其中， 约等号右边正是样本数据的平均数，式中的约等 号表示是用样本平均数估计真实数据。
101
案 例
的本质是什么？平均数是统计学中的一个非常重 要的概念，它与统计中的随机性具有密切的关系。 因为对事物进行观测或观察会有误差，因此在大 多数情况下，通过抽样得到的数据也会有误差。怎 么样才能得到与实际更接近的一个结果呢？书中 有这样的解读：
首先建立一个误差模型：x=μ+ε，其中，x 表 示观测数据，希腊字母 μ 表示真实数据，希腊字 母 ε 表示观测误差。在上面的模型中只有观测数 据 x 是可以知道的，而真实数据和误差都是未知 的。那么，通过什么样的方法才能估计真实数据 μ 呢？只有反复观测。假设观测 n 次便可得到以下的 式子：
感受平均数在统计学中的意义。
三尧两个本源性问题的清晰解读
渊一冤发现问题与提出问题的不同 发现问题是用数学的眼睛“看”数学、“看”世 界；提出问题是用数学的语言“说”数学、“说”世 界。我在想：分析问题便是用数学的思维分析数 学 、分 析 世 界 。 在 教 学 中 ，更 多 地 是 分 析 、解 决 问 题，往往也会有提出问题的要求，最缺乏的是发现 问题能力的培养。如何培养发现问题这一能力？需 要创设相应的情境，这个情境可能是数学的，也可 能是现实中的问题，并在教学环节中留给学生时 空思考、交流。 渊二冤数学证明的思维过程院数学推理 逻辑推理：推理过程中命题的内涵具有传递 性，这个推理就是有逻辑的。逻辑推理的两种形 式：一种是命题内涵由大到小，这样的推理称为演 绎推理（从一般到特殊），过程为“三段论”：即大前 提、小前提和结论。数学证明在本质上是演绎推 理，形式为“三段论”；另一种是命题内涵由小到大， 这样的推理称为归纳推理 （从特殊到一般）。在教 学中如何渗透演绎推理的方法，可将“把观点的理 由表达清楚”作为切入点。将“三段论”转化为“依 据 + 链接 + 结论”的表达模式。在有的内容教学 中，注意学生归纳推理能力的培养。可通过“猜 想———验证— ——结论”的步骤与方法让学生掌握归 纳推理的方法，还可结合演绎推理进一步说明结 论正确与否。史校长说：“数学结论是‘看’出来的， 而不是‘证’出来的。当然‘看’得到的结论不一定 是正确的。”因此，往往需要用归纳推理来发现规 律，然后用演绎推理来证明归纳推理正确与否。 本文系重庆市教育科学野十三五冶规划 2017 年 度规划重点有经费课题 野小学数学素养课堂的理 论与实践研究冶的阶段成果 渊 文 / 王 波 重庆精一民族小学校冤
简单地说，通过多个样本数据再除以样本数量 得到的结果更能接近事物的真实水平。因此在教 学中可通过统计活动创设，让学生感受抽样和样 本的随机性，即把每个数据看成样本，是通过抽样 得到的，并且每次抽样是独立进行的。从而让学生
一尧野 一针见血冶观点摘录与批注
“我 确 信 ：数 学 素 养 的 培 养 、特 别 是 创 新 人 才 的培养，是‘悟’出来的，而不是‘教’出来的。”（“创 新”是人的核心素养中最难得的一种关键能力， “悟”道出了在教学过程中必然要为学生的学习创 造条件、留有独立思考、交流碰撞的时空。教学不 能 太 急 ：不 要 急 于 否 定 ，不 要 急 于 打 断 ，不 要 急 于 和盘托出……）
100
案 例
读懂数学实质袁促进素养落地
很荣幸读到史宁中校长专门写给小学数学教 师的一本书 《基本概念与运算法则———小学数学 教学中的核心问题》。这本书主要讲述小学数学教 学内容中的一些核心问题，在理解内容的基础上， 探 讨 实 现“ 四 基 ”课 程 目 标 、适 合 小 学 生 认 知 规 律 的教学方法。这本书有助于教师丰富本体性知识， 让 曾 经 模 糊 、困 惑 的 一 些 概 念 、知 识 更 加 清 晰 ；有 助于感受数学之美：抽象概括的简洁美、逻辑推理 的严密美、统一协调的和谐美；更有助于一线教师 在教学实践中读懂教材，设计出有广度和深度的 课堂教学，让学生在学习中感受数学魅力、培养学 科素养。应该说，在平常的教学实践与思考的基础 上 阅 读 本 书 ，带 给 了 我 许 多 的 收 获 ，有 一 种“ 长 跑 后来一顿冰镇西瓜”的畅快淋漓感。
…… 这些观点言简意赅、一针见血。读下来让人醍 醐灌顶，豁然开朗！从语言本身便能感受到作者大 道至简的大气与智慧！接下来我将从具体知识问题 和根本性知识问题两方面各摘选两点来谈谈感受 与体会。
二尧对两个具体知识问题分析的触动
渊一冤方程的本质是什么钥 方程以及与方程有关的函数，是义务教育阶段 乃至整个基础教育阶段数学最核心的内容。“方程” 是小学生接触到的最为抽象的概念。什么是方程？ 教材的定义是：含有未知数的等式。回顾自己曾经 的教学实践，主要是通过“分类比较”，紧扣教材定 义来展开教学的，但教材中的定义只是一种形式上 的表述，并不是方程的本质。方程的本质是描述现 实世界中的等量关系。课标中对方程认识的目标定 位是：（1）结合简单的实际情境了解等量关系，并能 用字母表示；（2） 能用方程表示简单情境中的等量 关系了解方程的作用。因此，在教学中应将着力点 放在等量关系上，让学生结合具体情境中的等量关 系来理解方程的概念。而不是单纯地对一些脱离具 体情境的等式作观察、比较与概括。从方程的功能 看，列方程是为了求方程的解。根据这一点也就理 解了像“判断 x=0，x=3+2”这种题目是没有意义的。 渊二冤平均数的意义是什么钥 平均数的教学往往有两种方式：一种是从意义 着手，一种是从求法着手。哪种更好？这得看平均数
“数学思想归纳为三方面的内容，可以用六个 字表达：抽象、推理、模型。”（这是数学思想最上位 的三个方面。）
“数是对数量的抽象。”（数量是数的现实价 值。数源于数量，但不等同于数量。）
“数学的本质是：在认识数量的同时认识数量 之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关
系。”（更能理解“课标”中对数学的定义：“数学是 研究数量关系和空间形式的科学”。）
x □1=μ+ε □1、x □2=μ+ε □2、x □3=μ+ ε□3、……、x□n=μ+ε□n
把上面 n 个式子等号左边和右边分别相加便 可以得到：
x □1+x □2+x □3+ … +x □n=nμ+（ε □1+ε □2+ε□3+…+ε□n）（1）
在上面的等式中，由于获得的数据总存在误 差 ，有 的 比 真 实 数 据 大 ，有 的 小 ，因 此 误 差 正 负 抵 消 ， 就 接 近 0， 即 ε □1+ε □2+ε □3+ … +ε □n≈0。把这个设想的结果代入（1）式，就可以得 到：μ≈（x□1+x□2+x□3+…+x□n）÷n，其中， 约等号右边正是样本数据的平均数，式中的约等 号表示是用样本平均数估计真实数据。
101
案 例
的本质是什么？平均数是统计学中的一个非常重 要的概念，它与统计中的随机性具有密切的关系。 因为对事物进行观测或观察会有误差，因此在大 多数情况下，通过抽样得到的数据也会有误差。怎 么样才能得到与实际更接近的一个结果呢？书中 有这样的解读：
首先建立一个误差模型：x=μ+ε，其中，x 表 示观测数据，希腊字母 μ 表示真实数据，希腊字 母 ε 表示观测误差。在上面的模型中只有观测数 据 x 是可以知道的，而真实数据和误差都是未知 的。那么，通过什么样的方法才能估计真实数据 μ 呢？只有反复观测。假设观测 n 次便可得到以下的 式子：
感受平均数在统计学中的意义。
三尧两个本源性问题的清晰解读
渊一冤发现问题与提出问题的不同 发现问题是用数学的眼睛“看”数学、“看”世 界；提出问题是用数学的语言“说”数学、“说”世 界。我在想：分析问题便是用数学的思维分析数 学 、分 析 世 界 。 在 教 学 中 ，更 多 地 是 分 析 、解 决 问 题，往往也会有提出问题的要求，最缺乏的是发现 问题能力的培养。如何培养发现问题这一能力？需 要创设相应的情境，这个情境可能是数学的，也可 能是现实中的问题，并在教学环节中留给学生时 空思考、交流。 渊二冤数学证明的思维过程院数学推理 逻辑推理：推理过程中命题的内涵具有传递 性，这个推理就是有逻辑的。逻辑推理的两种形 式：一种是命题内涵由大到小，这样的推理称为演 绎推理（从一般到特殊），过程为“三段论”：即大前 提、小前提和结论。数学证明在本质上是演绎推 理，形式为“三段论”；另一种是命题内涵由小到大， 这样的推理称为归纳推理 （从特殊到一般）。在教 学中如何渗透演绎推理的方法，可将“把观点的理 由表达清楚”作为切入点。将“三段论”转化为“依 据 + 链接 + 结论”的表达模式。在有的内容教学 中，注意学生归纳推理能力的培养。可通过“猜 想———验证— ——结论”的步骤与方法让学生掌握归 纳推理的方法，还可结合演绎推理进一步说明结 论正确与否。史校长说：“数学结论是‘看’出来的， 而不是‘证’出来的。当然‘看’得到的结论不一定 是正确的。”因此，往往需要用归纳推理来发现规 律，然后用演绎推理来证明归纳推理正确与否。 本文系重庆市教育科学野十三五冶规划 2017 年 度规划重点有经费课题 野小学数学素养课堂的理 论与实践研究冶的阶段成果 渊 文 / 王 波 重庆精一民族小学校冤