北师大版九年级数学上专训1 巧用位似解三角形中的内接多边形问题.docx

初中数学试卷
马鸣风萧萧
专训1巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．
三角形的内接正三角形问题
1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
(第1题)
三角形的内接矩形问题
2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，＝
AC 上，并且有
(第2题)
三角形的内接正方形问题(方程思想)
3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？
(第3题)
4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.
求证：DP
BQ＝
PE
QC.
(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．
①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图③，求证：MN2＝DM·EN.
(第4题)
答案
1．证明：∵E′C′∥EC ，∴∠C′E′O ＝∠CEO.
又∵∠COE ＝∠C′OE′，
∴△OCE ∽△OC′E′.
∴CE C′E′＝OE OE′
. 又∵E′D′∥ED ，
∴∠D′E′O ＝∠DEO.
又∵∠DOE ＝∠D′OE′，
∴△DOE ∽△D′OE′，
∴DE D′E′＝OE OE′
. ∴∠CED ＝∠C′E′D′，
CE C′E′＝DE D′E′. ∴△CED ∽△C′E′D′.
又∵△CDE 是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形．
(第2题)
2．解：如图，在AB 边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC 于点E′，在BC 上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC ，过点D′作D ′G′∥BC 交F′G′于点G′，作射线BG′交AC 于点G ，过点G 作GF ∥G′F′，DG ∥D′G′，GF 交BC 于点F ，DG 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥D′E′交BC 于点E ，则四边形DEFG 为△ABC 的内接矩形，且＝
3．解：设符合要求的正方形PQMN 的边PN 与△ABC 的高AD 相交于点E.易知AE 为△APN 的边PN 上的高，
设正方形PQMN 的边长为x mm ，
∵PN ∥BC ，∴∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C.∴△APN ∽△ABC.
∴
AE AD ＝PN BC . 即80－x 80＝x 120
.解得x ＝48. 即这个正方形零件的边长是48 mm .
4．(1)证明：在△ABQ 和△ADP 中，
∵DP ∥BQ ，
∴∠ADP＝∠B，∠APD＝∠AQB. ∴△ADP∽△ABQ.
∴DP
BQ＝
AP
AQ.
同理△ACQ∽△AEP，
∴PE
QC＝
AP
AQ.∴
DP
BQ＝
PE
QC.
(2)①解：MN＝
2 9.
②证明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴∠B＝∠CEF. 又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，
∴△BGD∽△EFC.∴DG
CF＝
BG
EF.
∴DG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.由(1)得DM
BG＝
MN
GF＝
EN
CF.∴⎝
⎛
⎭
⎫
MN
GF
2
＝
DM
BG·
EN
CF.
即MN2
FG2＝
DM·EN
BG·CF.∴MN
2＝DM·EN.。