2017-2018学年高一下学期3月联考试题(3.9) 数学 含答案

高一月考数学试卷（2018.3）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．等差数列{}n a 中，已知484,4a a =-=，则12a = ▲ ． 2．求值：cos14cos59sin14sin121+= ▲ ． 3．在△ABC 中，已知7,5,3a b c ===，则A = ▲ ． 4．已知1sin 5α=
，(,)2
π
απ∈
，则sin 2α的值为 ▲ ．
5．等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为，37a a 与的等差中项为，则4a = ▲ ．
6．已知1cos 29
α=-
，那么2
tan α的值为 ▲ ． 7．已知21
sin cos ,cos sin 33
αβαβ-=-+=，则sin()αβ-的值为 ▲ ．
8．若在,x y 两数之间插入3个数，使这五个数成等差数列，其公差为11(0)d d ≠，若在,x y 两数之间插入4个数，使这6个数也成等差数列，其公差为2
2(0)d d ≠，那么
1
2
d d = ▲ ．
9．在△ABC 中，BC ，1=AC ，且6
B π
=
，则A = ▲ ．
10．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α
－β2＝sin ⎝⎛⎭⎫α2－β，则cos(α＋β)的值为 ▲ ．
11．已知sin 2sin ,tan 3tan αβαβ==，则cos 2α=
▲ ．
12．已知θθ2sin 4,4cos 3=--=+y x y x ,= ▲ ．
13．如图：已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点.并且A 到12,l l 的距离分别为12,h h ，B
是直线2l 上一动点，作AC AB ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C .
则ABC ∆面积的最小值为 ▲ ．
14．锐角三角形ABC 中，sin （A ＋B ）=
53，sin （A －B ）=5
1
， 设AB =3，则AB 边上的高为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
已知函数2()sin cos sin f x x x x =+ (1)求()4
f π
的值；
(2)若[0,]2
x π
∈，求()f x 的最大值及相应的x 值．
.
16．（本题满分14分）
已知113
cos ,cos()714
ααβ=
-=，且02πβα<<<,
（1）求α2tan 的值； （2）求β．
17．（本题满分14分）
在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，
（1）若,,A B C 成等差数列，求cos cos A C +的取值范围； （2）若,,a b c 成等差数列，且4cos 5B =，求11
tan tan A C
+的值．
18．（本题满分16分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且满足(3)cos cos 0b c A a C --=. (1)求cos A ；
(2)
若a =ABC ∆的面积S △ABC
＝ABC ∆的形状，并说明理由； （3）若2
sin sin 3
B C =
，求tan tan tan A B C ++的值．
19．（本题满分16分）
如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，设
∠（1）当α为何值时,四边形OACB 面积最大,（2）当α为何值时，OC
20．（本题满分16分）
设
{}n a 是公差不为零的等差数列，满足2222623455a ,a a a a ,=+=+数列{}n
b 的通项公
式为311n b n =-
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若从数列{}n a ,4{}n b +中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列{}n C ，直接写
出数列{}n C 的通项公式； （3）记n
n n
b d a =
，是否存在正整数,m n (5)m n ≠≠，使得5,,m n d d d 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．
高一月考数学试卷答案（2018.3）
一、填空题（每题5分，共70分）
1、12
2、2
3、23π
4、
5、
6、
54 7、1318 8、54 9、3π或23π
10、1-
11、1
4
- 12、2 13、12h h 14、2二、解答题（共90分）
15.(1)由f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝⎝⎛⎭⎫222
＋⎝⎛⎭⎫222＝1.…………………6分
(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12(sin2x －cos2x )＋12＝2
2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.……10分
由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π
4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，………………………………………………………12分
所以，当2x －π4＝π2，即x ＝3
8π时，f (x )取到最大值为1＋22.………………………………
14分
16. 解：（1）由1cos ,072παα=<<，得sin α=2分
∴sin 7tan cos 1ααα==………………………………………………………4分
于是22tan tan 21tan
1ααα==--………………………………………………7分
（2）由02
π
βα<<<
，得02
π
αβ<-<
又∵()13
cos 14
αβ-=
，
∴()sin αβ-==10分 ()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--==-+-⎡⎤⎣⎦
1131
7142
=⨯=…………………………………………………………12分
02
π
β<<
所以3
π
β=
．…………………………………………………………14分
17.（1）由2A C B +=及A B C π++=，得2,3
3
B C A π
π
=
=
-， …………2分 cos cos A C +=2cos cos(
)3A A π+-=sin()6
A π
+…………………………4分 因为在△ABC 中，2(0,
)3A π∈5(,)666A πππ+∈，所以1
sin()(,1]62
A π+∈， 即cos cos A C +的取值范围是1
(,1]2
.………………………………………………7分
（2）△ABC 中,由4cos 5B =，得3sin 5B ==，且222
85
a c ac
b +-=，①……9分
又2a c b +=，即222
24a c ac b ++=②，由①②得2
56
ac b =
，………………………11分
即25sin sin sin 6A C B =，11tan tan A C +=sin sin sin B A C =65sin B
=2……………………14分
18. 解：(1)由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴3sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (3cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝1
3 (5)
分
(2)∵S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝32，∴bc ＝9，①
∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝18，②………………………………………………7分
由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等腰三角形．…………………………………………10分
(3)由cos A ＝13,得tan A =2 2 ,cos(B +C )=－13,∴sin B sin C －cos B cos C =1
3,………………12分
又sin B sin C =23，∴cos B cos C =1
3∴tan B tan C =2, (14)
分
又tan B +tan C =tan(B +C )(1－tan B tan C )= 22∴tan A +tan B +tan C=42…………………16分
19. (1) OAB ∆中，2
54cos AB α=-，…………………………………………………………2分
三角形sin AOB S α∆=，三角形2ABC S AB α∆==…………………4分
四边形OABC 的面积为2sin()3AOB ABC S S S πα∆∆=+=-+
6分 因为0απ<<，所以当32ππα-=，即5
6
απ=时，四边形OABC 的面积最大，
所以当56απ=，四边形OABC 的面积最大且最大值为2+
8分 （2）OAB ∆中，sin sin
OB AOB OAB AB ∠∠=
=
c o s
O A B ∴∠
10分
c o s c o s (6O A C O A B
∴∠=∠+=
12分
OAC ∆中，2222cos OC OA AC OA AC OAC =+-⋅⋅∠=2cos 5αα-+
即(0,))OC απ=∈…………………………………………………14分
因为5(,)6
66
π
ππ
α-
∈-
，所以6
2
π
π
α-
=
，即2
3
απ=
时，OC 有最大值 所以当2
3
απ=时，OC 有最大值3………………………………………………………16分
20. （1）设公差为d ，则2
222
2
543
a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d
≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由65a =得155a d +=，解得
15a =-，
2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =- (5)
分
(2) 61n C n =+………………………………………………………………………………10分
(3),假设存在正整数m 、n ，使得d 5，d m ，d n 成等差数列，则d 5＋d n ＝2d m ．311
27
n n d n -=-
所以
43＋31127n n --＝311227m m -⨯-， 化简得：2m ＝13－92
n -．……… 13分 当n －2＝－1，即n ＝1时，m ＝11，符合题意；当n －2＝1，即n ＝3时，m ＝2，符合
题意
当n－2＝3，即n＝5时，m＝5(舍去) ；当n－2＝9，即n＝11时，m＝6，符合题意．
所以存在正整数m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝11
使得b2，b m，b n成等差数列．…16分。