高三数学9月学情调研试题含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数
学9月学情调研试题〔含解析〕
一、填空题：(本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．请将答案写在答题卡相应位置．) 1、函数
()1f x x =-的定义域为▲
【答案】1,
【解析】被开方式大于等于0
【点评】考察函数定义域的求解，该题属于根底题型. 2、复数z 满足(2)1z i
i -=+，其中i 是虚数单位，那么复数z 的模为▲．
10【解析】z
a bi =+，(2)13z i i a -=+⇒=，110
b z =-⇒=
【点评】考察复数的运算，属于根底题型.
3、某算法的流程图如下列图，那么物出的n 的值是▲． 【答案】4
【解析】n ＝2，p ＝4；n ＝3，p ＝9；n ＝4，p ＝16． 【点评】考察流程图，属于根底题型.
4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下列图，其中成绩分组区间是： [40，50〕，［50，60)，［60，70)，［70，80〕，［80，90〕，［90，100〕，那么图中x 的值是▲ 【解析】0.1(0.0060.0060.010.0540.006)0.018x =-++++= 【点评】考察统计知识的根本运用，属于根底题型.
5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可 能性一样，那么这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为▲ 【答案】
2
3
【解析】322
333
P ⨯=
=⨯ 【点评】考察组合，属于根底题型.
6、把一个底面半径为3cm ，高为4cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损 耗〕，那么该钢球的半径为▲cm. 【答案】3
【解析】由圆柱和球的体积相等得：234
3433
R R π
π⨯⨯=⇒=
【点评】考察圆柱和球的体积计算，属于根底题型.
7、在平面直角坐标系xoy 中，假设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围
成一个等边三角形，那么该双曲线的离心率为▲．
【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得22tan 30b a b a c a a c
⨯︒===，得 【点评】考察双曲线的离心率计算，属于根底题型. 8、假设函数()2sin()(0)6
f x x π
ωω=->的最小正周期为π
，那么当[0,
]2
x π
∈时，()f x 的值域
为 ▲．
【答案】[﹣1，2] 【解析】由周期为π，得2ω
=，那么()2sin(2)6f x x π=-，x ∈[0，
2
π
]时，
()f x ∈[﹣1，2]
【点评】考察三角函数的图像和性质，属于根底题型. 9、假设锐角α满足tan 〔α＋4
π
〕＝3tan α＋1，那么tan2α的值是▲． 【答案】
34
【解析】由题意化简得：tan (3tan 1)0αα-=，解得tan 0α=或者1tan 3
α=
∵α为锐角，∴1tan 3α
=
，∴tan2α＝34
【点评】考察三角函数的图像和性质，属于根底题型.
10、函数
()1||
x
f x x =
+，那么不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为▲． 【答案】x ＞1 【解析】由题意得
()f x 为奇函数，通过别离常数法得()f x 是R 上的增函数 转换可得
(3)(2)f x f x ->-，即32x x ->-，x ＞1
【点评】考察通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题 11、等差数列｛n a ｝的前n 项和记为Sn ，147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，假设存在正整数k ，
使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，那么k 的值是▲．
【答案】20
【解析】由等差数列，可得4
399a =，∴433a =；5393a =，∴531a =；∴2d =-，139a =
240n S n n =-+，n S 最大值为20S ，所以k ＝20．
【点评】此题考察的是对等差数列求n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于根底题型.
12、在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，CA ＝4，CP ，∠ACB ＝
23
π，那么CP CA 的值是▲．
【答案】6 【解析】∵1
()2CP
CA CB =+ ∴222111
cos 442
CP CA CB CA CB ACB =++∠
∴21
344
CB CB =+-，解得CB ＝2
∴
21111111
()1642()62222222
CP CA CA CB CA CA CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯-=
【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做.难度适中.
13、在平面直角坐标系xoy 中，圆
假设圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公一共点，那么实数a 的取值范围为▲．
【答案】[﹣2，2]
【解析】设P(x ，y )，因为以P 为圆心，半径为1的圆与圆N 有公一共点 所以1≤
22
(2)(1)x y -++≤3，又P 在圆M ，可得
22
(2)(21)a a -++≤5
可得：实数a 的取值范围为﹣2≤a ≤2．
【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系.难度适中，
14、函数假设函数
有6个零点〔互不一样〕，那么实数a 的取值范围为▲．
【答案】(
3
4
，2) 【解析】作出()f x 与()g x 的图像
由题知，(())g f
x a =有6个解，令()f x t =
当a ＜0时，()g t a =只有一个解，且t ＜﹣4，对应()f x t =只有一个解，舍去；
当0≤a ≤
3
4
时，()g t a =有两个解，且143t -≤≤-，210t -≤≤，结合图像可知()f x t =没有6个解，舍去；
当
3
4
＜a ＜2时，()g t a =有两个解，且1t ，2t ∈(﹣3，1)，结合图像可知()f x t =有6个解； 当a ≥2时，()g t a =只有一个解，且t ＞1，对应()f x t =只有一个解，舍去．
综上得a 的取值范围是
3
4
＜a ＜2． 【点评】此题主要考察根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论和数形结合时解决此题的关键，综合性较大.
二、解答题：本大题一一共5小题，一共计90分。

15、〔本小题总分值是14分〕
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin2B＝2bsinA.〔1〕求B的大小；
(2〕假设cosC＝
5
5
，求sin〔A－C)的值．
【点评】此题主要考察理解三角形及三角恒等变换的应用。

第一问主要考察了利用正弦定理对三角形进展边角互化，第二问主要考察了和差角的恒等变换，此题作为解答题的第一题，难度较低。

16.〔本小题总分值是14分〕
如图，在三梭柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，E，F分别为AB，A1B1的中点．
(1〕求证：AF∥平面B1CE；
(2〕假设A1B1⊥B1C，求证：平面B1CE⊥平面ABC.
【点评】此题主要考察立体几何当中线面平行的证明以及面面垂直的证明。

第一问难度比较低，直接通过平行四边形得到线线平行来证线面平行；第二问那么是用线线垂直来推出线面垂直，从而得到最终要求的面面垂直。

本体的难度适中，需要学生对立体几何局部的平行以及垂直断定定理比较熟悉。

17、〔本小题总分值是14分〕
随着城地铁建立的持续推进，民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路
运行时，发车时间是间隔t〔单位：分钟〕满足：4≤t≤15，t N，平均每趟地铁的载客人数p(t)
〔单位：人〕与发车时间是间隔t近似地满足以下函数关系：
(1〕假设平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间是间隔t的值．
〔2〕假设平均每趟地铁每分钟的净收益为〔单位：元〕，问当发车时间是间
隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．
【点评】此题考的是函数型应用题。

第一问除了考察一元二次不等式之外还要注意t 的取值范围才能得出正确答案；第二问要分段讨论，考察根本不等式和观察法判断函数单调性，总体难度偏低。

18.〔本小题总分值是16分〕
如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，
点〔
2
a
，3e)和(b ，3e 〕都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． (1〕求椭圆的HY 方程；
(2)假设点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交 于点P ，Q ，求证：OB
PQ 为定值．
【点评】考察直线与椭圆综合问题，第一问利用点在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程求解；第二问考察定值问题，设出点坐标，将所求定值的表达式写出，化简求值，难度一般，思路较为明晰，但计算量较大。

19.〔本小题总分值是16分〕 函数
(1)假设曲线
()y f x =在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，务实教a ，b 的值．
(2)假设a ＝0，且
()f x ≤－2对一切正实数x 值成立，务实数b 的取值范围．
(3)假设b ＝4，求函数
()f x 的单调区间．
【点评】第一问考察切线方程，根据函数值和导数值列出方程组求解即可，较为根底；第二问恒成立问题既可以通过别离参数法求解，也可以通过整体构造函数进展求解，较为简单；第三问属于含参的分类讨论问题，题型常规，难度适中。

20.〔本小题总分值是16分〕
数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为Sn ，且数列｛n S n
｝是以
1
2
为公差的等差数列· (1〕求数列｛n a ｝的通项公式； (2〕设2n n
n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为Tn ，
①求证：数列｛
n T n
｝为等比数列，
②假设存在整数m ，n(m ＞n ＞1)，使得
，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的
所有可能值．
【点评】新高中数学教研组，前两问这次相比照拟友好，第一问比起之前的递推简单很多，第二问错位相减也是一轮数列常用的方法，第三问存在性问题需要转化到单调性控制范围.
2021届高三年级学情调研卷
数学附加题
本卷须知：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2.本套试卷一共40分，考试时间是是30分钟．
21．【选做题】此题包括A 、B 、C 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内答题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按答题的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
A.选修4－2：矩阵与变换
二阶矩阵A ＝
(1)求A －1
；
(2)假设曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C'：x 2
一3y 2
＝1，求曲线C 的方程． 【点评】考察矩阵的运算和方程的求解，该题属于根底题型。

B.选修4－4．坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系xoy 中，直线l ：(t 为参数，a 为常数〕，曲线C:
(θ为参数〕．假设曲线C 上的点P 到直线l 的间隔的最大值为3，求a 的值．
【点评】考察极坐标参数方程的转化，直线与圆的位置关系以及点到直线的间隔，难度较小。

C.选修A －5：不等式选讲 解不等式2
2|1|6x
x +-<
【必做题】第22、23题，每一小题10分，一共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．
22.〔本小题总分值是10分〕
如图，四棱锥P 一ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为 PA ，AB 的中点，且DF ⊥CE. 〔1〕求AB 的长，
(2)求直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值．
【点评】考察直线与平面所成的角及空间向量问题，可建立空间直角坐标系求解，难度适中 23.〔本小题总分值是10分〕
集合A ＝｛1，2，3，4｝和集合B ＝｛1，2，3，…，n ｝，其中n ≥5，*n N ∈．从集合A 中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S 表示；从集合B 中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T 表示．记X ＝T －S.
(1〕当n ＝5时，求随机变量X 的概率分布和数学期望E(X 〕；
(2〕求P(X ＝n 一3〕．
【点评】第一问考察了随机变量的分布列和数学期望的求解问题，计算概率时需考虑全面；第二问和第一问方法上类似，注意分析清楚两种情况，利用组合的方法列出公式求。