初中数学培优专题学习专题29 归纳与猜想_答案

专题29 归纳与猜想
例1 6 提示：5的对面是2，4的对面是3，1的对面是6．
例2 121-n 提示：1S ＝1，2S ＝21，3S ＝22141=，4S ＝32181=，进而推出n S ＝121-n ． 例3 （1）OE
（2）射线OA 上数字的排列规律：6n －5（n 为自然数，下同）；射线OB 上数字的排列规律：
6n －4；射线OC 上数字的排列规律：6n －3；射线OD 上数字的排列规律：6n －2；射线OE 上数字的排列规律：6n －1；射线OF 上数字的排列规律：6n ．
（3）在6条射线的数字规律中，只有6n －3＝2007有整数解，解围n ＝335，故“2007”在射
线OC 上．
例4 （1）可分组为（11），（
21，12），（31，22，13），（41，32，23，14），（51，42，33，2
4，15）…，可知各组数的个数依次为1，2，3，…．当F （m ）＝2001
2时，m ＝（1＋2＋…＋2001）＋2＝2003003，这2003003个数的积为2003001
1． 例5 （1）第3次操作后所得到的9个数为：2，611，27，617，5，3，4，3
7，3． 它们的和为2＋611＋27＋617＋5＋3＋4＋37＋3＝2
55． （2）由条件知0S ＝5，则1+k S ＝k S ＋120+-k S S k ＝()153+-+k S k k ＝k S k k ⋅++13－1
5+k ． （3）因3S ＝255．故4S ＝346S －45＝40；5S ＝457S －55＝55，6S ＝568S －65＝2145．
【能力训练】
1．1010100
2．142 提示：若有n 个黑色六边形，则白色六边形个数为4n ＋2．故＝35时，4n ＋2＝4×35＝142
个．
3．19
17- 4．B 5．76 黑色梯形的规律明显：每个梯形的高都为2，上底分别对OA 上的1，5，9，…，下底分别
对应OA 上的3，7，11，…．而上、下底的长度恰好和它在OA 上对应的数值是一样的．以上底为例，1＝1，5＝1＋4×1，9＝1＋4×2，…，故第10个梯形的上底对应OA 上的数为1＋4
×9＝37，下底的长正好为39，于是10S ＝
()2
23937⨯+＝76． 6．A 7．D 提示：2013÷4＝503……1，故在第504个正方形右下角．
8．（1）第1列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在的行数的平方．第10行起，左起第
13列，应该是第13列的第10个数，即()2
113-＋10＝144＋10＝154． （2）数127满足关系式127＝211＋6＝()2
112-＋6，即127在左起第12列，上起第6行的位置． 9．观察已经写出的数，发现每三个连续数中恰好有一个偶数，在前100项中，第100项是奇数，前
99项中有3
99＝33个偶数． 10．设至少要画k 条直线．k 条直线最多将圆分成1＋1＋2＋3＋4＋…＋k 块，当k ＝9时，1＋1＋2
＋3＋…＋9＝46，当k ＝10时，1＋1＋2＋3＋…＋10＝56，故至少要画10条直线，可以将圆纸片分成不小于50块．
11．若对前三个先进行计算：
第1个数：21－（1＋21-）＝21－2
1＝0； 第2个数：31－（1＋21-）[1＋()312-][1＋()412-]＝31－21＝－6
1； 第3个数：41－（1＋21-）[1＋()312-][1＋()412-][1＋()512-][1＋()612
-]＝41－21＝－41； ……
按此规律，第n 个数：11+n －（1＋21-）[1＋()312-][1＋()412-]…[1＋()n n 2112--]＝11+n －2
1． 由此可知n 越大，第n 个数越小，那么在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，
最大的数是第10个数．
12．一个依次排列的n 个数组成一个数串：1a ，2a ，3a ，…，n a ．依题设操作方法可得新增的数
为：2a －1a ，3a －2a ，4a －3a ，…，n a －1-n a ．∴新增数之和为（2a －1a ）＋（3a －2a ）＋（4a －3a ）＋…＋（n a －1-n a ）＝n a －1a （*）．原数串为3个数：3，9，8．第一次操作根据（*）可知，新增4项之和为6＋（－1）＝5＝8－3；第二次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8．根据（*）可知，新增4项之和为3＋3＋（－10）＋9＝5＝8－3．按
这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3＋9＋8）＋100×（8－3）＝520．。