山东高二高中数学期中考试带答案解析

山东高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1..=（）
A．B．C．1D．-1
2.数组…中的等于（）
A．B．C．D．
3.若f(x)=cosx,则f'(x)等于（）
A．sinx B．-sinx C．cosx D．-cosx
4.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出如下判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中判断正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
5.与向量平行的一个向量的坐标是（）
A．（，1，1）B．（－1，－3，2）
C．（－2，6，－4）D．（，－3，－2）
6.已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y="f" (x)的一个极值点,则a的值为 ( )
A．2B．-2C．-4D．4
7.f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（）
（A）（B）（C）（D）
8.已知a>b, c>d，则下列不等式中恒成立的是（）
A．a+d>b+c B．ac>bd C．D．a-d>b-c
9.若复数为纯虚数，则实数的值为（）
A．-1B．1C．-1或3D．3 ．
10.若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x-y+1=0，则（）
A．a=1，b=1B．a=-1，b=1
C．a=1，b=-1D．a=-1，b=-1
11.（）
A．B． ln3-ln2C． Ln2-ln3D．
二、填空题
1.复数的共轭复数是__________
2.已知函数，则
3.若，，则的值为
4.（2007年江苏卷）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则
.
三、解答题
1.计算
2.已知函数：
（1）求函数的极值
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
3.实数x取何值时，复数(x2+x - 2)+(x2+3x+2)i 是实数？是虚数？是纯虚数？
4.如图所示，现有一边长为6的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截出去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
5.用数学归纳法证明12+22+32+42+…+n2 =
6.设函数是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x∈［－1，0）时，（a∈R).
（1）当x∈(0，1］时，求的解析式；
（2）若a＞－1，试判断在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f(x)有最大值－6.
山东高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1..=（）
A．B．C．1D．-1
【解析】
2.数组…中的等于（）
A．B．C．D．
【答案】选B
【解析】由于5-2=3,11-5=6,20-11=9,所以x-20=12,x=32.
3.若f(x)=cosx,则f'(x)等于（）
A．sinx B．-sinx C．cosx D．-cosx
【答案】选B
【解析】.
4.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出如下判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中判断正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】选C
【解析】对于①:若a=b=c,则(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2=0所以因为a，b，c是不全相等的正数, 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0①正确;对于②:由于a＞b与a＜b及a＝b三种情况均有可能所以②正确;对于③:由于a,b,c是不全相等的正数，因而可能是a≠c，b≠c，a≠b不同时成立或都者a≠c，b≠c，a≠b同时成立两种情况所以③错
5.与向量平行的一个向量的坐标是（）
A．（，1，1）B．（－1，－3，2）
C．（－2，6，－4）D．（，－3，－2）
【答案】选C
【解析】因为,所以应选C
6.已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y="f" (x)的一个极值点,则a的值为 ( )
A．2B．-2C．-4D．4
【答案】选A
【解析】
7.f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】选D
【解析】由导数的图像可知，f(x)在[a,b]上是增函数，并且并且增速是先快后慢所以应选D
8.已知a>b, c>d，则下列不等式中恒成立的是（）
A．a+d>b+c B．ac>bd C．D．a-d>b-c
【解析】.
9.若复数为纯虚数，则实数的值为（）
A．-1B．1C．-1或3D．3 ．
【答案】选D
【解析】.
10.若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x-y+1=0，则（）
A．a=1，b=1B．a=-1，b=1
C．a=1，b=-1D．a=-1，b=-1
【答案】选A
【解析】当x=0时,则b=1.
11.（）
A．B． ln3-ln2C． Ln2-ln3D．
【答案】选B
【解析】
二、填空题
1.复数的共轭复数是__________
【答案】
【解析】因为的共轭复数为,所以本题的答案为.
2.已知函数，则
【答案】
【解析】
3.若，，则的值为
【答案】6
【解析】
4.（2007年江苏卷）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则
.
【答案】32
【解析】，因为
,
三、解答题
1.计算
【答案】
【解析】根据复数的代数运算法则，在化简分式的复数时，一般要通过分子分母同乘以分母的共轭复数，最终化成的形式
2.已知函数：
（1）求函数的极值
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
【答案】(1)当x=2时，函数有极大值，且
而当x=2时，函数有极小值，且
（2）函数在区间上的最大值是，最小值是
【解析】(1)先求导，令导数等于零，列表求出极值点
（2）闭区间上的最值问题，区间的端点值与极值比较，最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值
(1)
解方程，
得
当x变化时，变化状态如下表：
+0—0+
当x=2时，函数有极大值，且
而当x=2时，函数有极小值，且
（2）当x=-3时，有
当x=4时，有
由(1)可知函数在区间上的最大值是，最小值是
3.实数x取何值时，复数(x2+x - 2)+(x2+3x+2)i 是实数？是虚数？是纯虚数？
【答案】
【解析】对于复数，当b=0时，表示实数；当时，表示虚数；当a=0且时，表示纯虚数
解:
4.如图所示，现有一边长为6的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截出去一个相同的小正方形，做成一个长方体
形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
【答案】当截下的正方形边长为1时，容积最大.
【解析】本题是考察导数应用的题目先设截下的小正方形边长x,然后建立容积V(x)的关系式，再求导，根据导数等于零，确定最值一般地在应用题中，一般考察的都是单峰函数，导数等于零的位置只有一个，它就是要求的最值位置
解：设截下的小正方形边长x ，容器容积为 V （x ），则做成长方体形无盖容器底面边长 为8-2x ，高为X ，于是
V （x ）=（6-2x ）2 x ，0<x<3
即 V （x ）=4x 3 -24x 2+36x ，0<x<3 有 V'（x ）=12x 2-48x+36
令V'（x ）=0,即令12x 2-48x+36=0 解得x 1=1，x 2=3（舍去）
当0<x<1时，V'（x ）>0;当1<x<3时，V'（x ）<0
因此x=1是极大值点，且在区间（1,3）内，是唯一的极值点，所以x=1是V （x ）的最大值点 即当截下的正方形边长为1时，容积最大
5.用数学归纳法证明12+22+32+42+…+n 2 =
【答案】见解析.
【解析】用数学归纳法要分两个步骤：一是验证n 取最小的整数是否成立
二是假设n=k 时，命题成立，然后再证明当n=k+1时，命题也成立，在证明时，必须要用上n=k 时的归纳假设，否则证明无效这两个步骤上相辅相成的，缺一不可
6.设函数
是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x ∈［－1，0）时，
（a ∈R).
（1）当x ∈(0，1］时，求的解析式； （2）若a ＞－1，试判断在（0，1）上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当x ∈（0，1）时，f (x )有最大值－6. 【答案】（1）f (x )=2ax －
，x ∈(0，1］；（2）见解析；
（3）存在a =－2，使f (x )在（0，1）上有最大值－6.
【解析】(1)对于奇函数求对称区间上的解析式，根据奇函数的图像关于原点对称的特征，只须用-x ，-y,分别代替
原对称区间中的x,y,然后两边同乘以-1，即可得到所求区间上的解析式
(2)通过证明当a>-1时，判断在上的值的情况，进而确定f(x)在（0，1］上是否具有单调
性
(3)本题本质是求函数f(x)在x∈（0，1）上的最大值因而，要对a进行讨论求最大值，然后利用最大值为-6，求出a值，再验证是否满意a的条件，进而判断出a值是否存在
（1）设x∈(0，1］，则－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，
∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］.
（2）证明：∵f′(x)=2a+，
∵a>－1，x∈(0，1］，>1，∴a+>0.即f′(x)>0.
∴f(x)在（0，1］上是单调递增函数.
（3）解：当a>－1时，f(x)在（0，1］上单调递增.
=f(1)=－6，a=－(不合题意，舍之），
f(x)
max
当a≤－1时，f′(x)=0，x=.
如下表：f
(x)=f()=－6，解出a=－2.x=∈(0，1).
max
（－∞，）（，+∞）
∴存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.。