北京市顺义区2021届高三数学第一次统练考试试题 文(1)

北京市顺义区2021届高三数学第一次统练考试试题 文
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试终止后将答题卡交回.
第一部份（选择题 共40分）
一. 选择题共8个小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|31A x x =-≤<,{}|2B x x =≤,那么集合A
B =
A.{}|31x x -≤<
B.{}|32x x -≤≤
C. {}|1x x <
D. {}|2x x ≤
2.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率散布直方图如下图.已知9时至10时的销售额为3万元，那么11时至12时的销售额为 A. 8万元 B. 10万元
C. 12万元
D. 15万 3.已知i 为虚数单位，在复平面内复数21i i
+对应点的坐标为 A. (1,1) B. (1,1)- C. (2,2) D. (2,2)-
4. 执行右边的程序框图，假设5p =， 那么输出的S 值为
A.
78 B. 15
16 C. 3132 D. 6364
5.以下函数，在其概念域内既是奇函数又是增函数的是
A. 2x
y = ()x R ∈ B. 2log y x =- (0,)x x R >∈
C. 3
y x x =+()x R ∈ D. 1
y x
=-
(,0)x R x ∈≠ 6. 已知向量(2,1)a =， 2
(1,1)a b k +=-，那么2k =是a b ⊥的
(A)充分没必要要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也没必要要条件
140.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.15
0.10
时间
0.0591*******频率／组距
7.过椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的核心垂直于x 轴的弦长为1
2
a ，那么双曲线22221x y a
b -=的离心率e 的值是
A.
54 B.
C. 32
D. 8.设数集M 同时知足条件 ①M 中不含元素1,0,1-， ②若a M ∈，那么
11a
M a
+∈-. 那么以下结论正确的选项是 （A ）集合M 中最多有2个元素； （B ）集合M 中最多有3个元素； （C ）集合M 中有且仅有4个元素； （D ）集合M 中有无穷多个元素.
二.填空题(本大题共6个小题,每题5分,共30分) 9.命题“2
,0x R x ∀∈≥”的否定是_________________.
10.抛物线2
4y x =上一点A 的横坐标为4，那么点A 与抛物线核心的距离为________. 11.一个几何体的三视图如下图,
那么那个几何体的体积是_________.
12. 函数2
()sin 22sin 1f x x x =+-（x R ∈
____.
13.设,x y 知足约束条件12220
x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩
的最小值为___________.
14.设等比数列{}n a 知足公比q N +
∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之积也是该数列的一项.假设412a =，那
么q 的所有可能取值之和为_______________.
三．解答题（本大题共6个小题，共80分，解许诺写出文字说明， 证明进程或演算步骤）
15.（本小题共13分）
主视图
侧（左）视图
3
4
在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为为a ，b ，c ，且sin 2sin 0B B -= （Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）假设b =
ABC
S =a ，c 的值.
16.（本小题共13分）
已知关于x 的一次函数y ax b =+
(Ⅰ）设集合{}2,1,1,2A =--和{}2,2B =-，别离从集合A 和B 中随机取一个数作为a ，b ，求函数y ax b =+是增函数的概率；
(Ⅱ)假设实数a ，b 知足条件101111a b a b -+≥⎧⎪
-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，求函数y ax b =+的图象不通过第四象限的概率.
17.（本小题共14分） 如图在四棱锥P ABCD -中，
底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
1,PA AD =
=AB =F 是PD 中点，
点E 是DC 边上的任意一点.
（Ⅰ）当点E 为DC 边的中点时，判定EF 与平面PAC 的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）证明：不管点E 在DC 边的何处，都有AF FE ⊥； （Ⅲ）求三棱锥B AFE -的体积. 18.（本小题共13分）
已知函数()x
e f x x a
=-，（其中常数0a >）
（Ⅰ）当1a =时，求曲线在(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）假设存在实数(],2x a ∈使得不等式2
()f x e ≤成立，求a 的取值范围.
19.（本小题共14分） 已知椭圆C
的离心率2
e =
，长轴的左右端点别离为1(A
，2A . E P
F
C
A
D
B
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x = 相交于点Q .
求证：以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N . 20.（本小题共13分）
在n n ⨯个实数组成的n 行n 列数表中，先将第一行的所有空格依次填上1, 2，2
2，3
2⋅⋅⋅1
2
n -，再将首项为1
公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内，然后依照“任意一格的数是它上面一格的数与它左侧一格的数之和”的规律填写其它空格.
（Ⅰ）设第2行的数依次为123,,n B B B B ⋅⋅⋅. 试用,n q 表示123n B B B B +++⋅⋅⋅+的值；
（Ⅱ）设第3行的数依次为123,,n C C C C ⋅⋅⋅，记为数列{}n C . ①求数列{}n C 的通项n C ；
②可否找到q 的值使数列{}n C 的前m 项123,,m C C C C ⋅⋅⋅（3,m m N +
≥∈）成等比数列？假设能找到，m 的值
是多少？假设不能找到，说明理由.
顺义区2021届高三第一次统练 高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
D
C
A
C
C
A
Ｄ
Ｃ
二.填空题(本大题共6个小题,每题5分,共30分)其它答案参考给分
9.2
,0x R x ∃∈<；10．5；11.8π；12．,2π；13．
25
5
； 14.22．
又23ABC
S
=∴
1
sin 232
ac B =∴8ac = ———10分 由22
88ac a c ac =⎧⎨+-=⎩
解得 22a c ==———13分 16.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）抽取全数结果所组成的大体事件空间为
(2,2),(2,2),(1,2),(1,2),(1,2),(1,2),(2,2),(2,2),--------共8个———4分
设函数是增函数为事件A ，∴0a >，有4个 ∴1
()2
P A =
———7分 （Ⅱ）实数a ，b 知足条件101111a b a b -+≥⎧⎪
-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
要函数y ax b =+的图象不通过第四象限
那么需使,a b 知足00a b ≥⎧⎨
≥⎩，即01
01
a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，———10分
EF ⊂平面
PCD
∴AF EF ⊥———10分
（Ⅲ）作FG ∥PA 交AD 于G ，那么FG ⊥平面ABCD ，且12
FG =
∴三棱锥B —AFE 3
.———14分 18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）概念域{}|x x a ≠
当1a =时，()1x e f x x =-，'
2
(2)()(1)x e x f x x -=- ∴(0)1f =-，'(0)2f =-
∴曲线在(0,(0))f 处的切线方程为：210x y ++=.———4分
（Ⅱ）[]'
2
(1)()()
x e x a f x x a --=
-，令'()0f x =， ∴1x a =+
∴()f x 在(,),(,1)a a a -∞+递减，在(1,)a ++∞递增. .———8分
假设存在实数(],2a 使不等式2
()f x e ≤成立，
只需在(],2a 上2
min ()f x e ≤成立，
①若12a +≤，即01a <≤时，12
min ()(1)a f x f a e e +=+=≤
∴12a +≤，即1a ≤，∴01a <≤.———10分
（Ⅱ）2
2
12
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去得2
2
2
(21)4220k x kbx b +++-= 曲线C 与直线l 只有一个公共点，∴0=， 可得2
2
21b k =+（*）————6分 设(,)P P P x y ，∴2422(21)P kb k x k b -=
=-+，1
P P
y kx b b
=+= ∴21
(,)k P b b
-
.———8分 又由2
y kx b
x =+⎧⎨
=⎩，∴(2,2)Q k b +————9分
(1,0)N ，∴21
(1,)k PN b b
=+-，(1,2)NQ k b =+ ∴22110k k PN QN b b
⋅=+
--=， ∴PN QN ⊥ ∴以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N ..———14分
20．（本小题共13分） =1
22
2(1)(1)n n n q q +-++-+
∴1222(1)(1)n n C n n q q +=-++-+————8分
②当3m =时，设123,,C C C 成等比数列，那么2
132C C C =
∴2222(82)(2)q q q q q ++=++化简得23440q q --=，
解得2q =或2
3
q =-
————10分
当2q =时，1
2n n C +=，∴
1
2n
n C C -= ∴当2q =时数列123,,n C C C C ⋅⋅⋅的前m 项(,3)m N m +∈≥成等比数列;
当23q =-
时，149C =，2169C =，3649
C =，41849C = ∴
324123C C C C C C =≠，∴当且仅当3m =，23
q =-时123,,C C C 成等比数列. ————13分。