2017春人教A版高中数学必修五检测：第2章 数列2.4 第2课时 含解析 精品

第二章 2.4 第2课时
基 础 巩 固
一、选择题
1．(2015·全国Ⅱ理，4)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝导学号 54742432( B )
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
[解析] 设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42，故选B ．
2．(2015·东北三省四市联考)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于导学号 54742433( D )
A ．2
B ．lg50
C ．10
D ．5
[解析] 由等比数列性质知a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6＝10，故lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 10
＝lg(a 1a 2…a 10)＝lg105＝5，故选D ．
3．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于导学号 54742434( B )
A ．210
B ．220
C ．216
D ．215
[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220.
4．设等比数列的前三项依次为3，33，63，则它的第四项是导学号 54742435( A ) A ．1 B ．83 C ．93
D ．
1215
[解析] a 4＝a 3q ＝a 3·a 2a 1＝63×3
33
＝316×3
13
312
＝1.
5．(2016·华南师范大学附属中学)在等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7.若数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于导学号 54742436( C )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
[解析] 在等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4.在等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.
6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有导学号 54742437( B )
A ．13项
B ．12项
C ．11项
D ．10项
[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －
3，a 1q n －
2，a 1q n －
1.
所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q
3n －
6＝4. 两式相乘得，a 61q
3(n －1)
＝8，即a 21q
n －
1
＝2. 又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －
1＝a n 1q n (n －1)2
＝64， 即(a 21q n －
1)n ＝642，即2n ＝642.所以n ＝12.
二、填空题
7．设{a n }为等比数列，a n >0，q ＝2，a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3a 6a 9·…·a 30＝220.导学号 54742438
[解析] 由等比数列的性质知a 1a 2·…·a 30＝(a 2·a 5·…·a 28)3 ＝(a 3·a 6·a 9·…·a 30210
)3＝230. 故a 3a 6a 9·…·a 30＝220.
8．(2016·浙江理，13)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝1，S 5＝121.导学号 54742439
[解析] 由于⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 2＝4a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1得S n ＋1＝3S n ＋1，所
以S n ＋1＋12＝3(S n ＋12)，所以{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋12＝3
2
×3n
－1
，即S n ＝3n －1
2，所以S 5＝121.
三、解答题
9．(2016·全国卷Ⅲ文，17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n
－2a n ＋1＝0.导学号 54742440
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
[解析] (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝1
4.
(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．
因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝1
2
.
故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝1
2
n －1.
10．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.导学号 54742441
[解析] 设数列{a n }的公差为d ，则 a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .
由a 3，a 6，a 10成等比数列得，a 3a 10＝a 26，
即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0， 解得d ＝0，或d ＝1.
当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；
当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， 因此，S 20＝20a 1＋20×19
2
d ＝20×7＋190＝330.
能 力 提 升
一、选择题
11．已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c 导学号 54742442( A ) A ．成等差数列不成等比数列 B ．成等比数列不成等差数列 C ．成等差数列又成等比数列 D ．既不成等差数列又不成等比数列
[解析] 解法一：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1， c ＝log 2 12＝log 2 3＋2. ∴b －a ＝c －b .
解法二：∵2a ·2c ＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ，∴选A ．
12．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，
则a 12等于导学号 54742443( C )
A ．32
B ．34
C ．66
D ．64
[解析] 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C ．
13．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m
n
的值是导学号 54742444( D )
A ．4
B ．2
C ．1
2
D ．14
[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x 2－5x ＋m ＝0的根则m ＝4，另一根为4，设x 3，x 4是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，则x 3＋x 4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x 3、4、x 4，公比为2、x 3＝2、x 4＝8、n ＝16、m n ＝1
4；若1是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，另一
根为9，则n ＝9，设x 2－5x ＋m ＝0之两根为x 1、x 2则x 1＋x 2＝5，无论什么顺序均不合题意．
二、填空题
14．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是3或27.导学号 54742445
[解析] 设此三数为3、a 、b ，则⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝3＋b
(a －6)2
＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝15
b ＝27
. ∴这个未知数为3或27.
15．(2015·浙江文，10)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝2
3
，d ＝－1.导学号 54742446
[解析] 由题可得，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，故有3a 1＋2d ＝0，又因为2a 1＋a 2＝1，即3a 1＋d ＝1，所以d ＝－1，a 1＝2
3
.
三、解答题
16．(2015·郑州市质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2.导学号 54742447 (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求使(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．
[解析] (1)由S n ＝2a n －2可得a 1＝2，因为S n ＝2a n －2， 所以，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1, 即：a n
a n －1
＝2.
数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以，a n ＝2n (n ∈N *)． (2)b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2
.
(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立，等价于(n －8)(n ＋1)
2≥k 对n ∈N *恒成立；
设c n ＝1
2(n －8)(n ＋1)，则当n ＝3或4时，c n 取得最小值为－10，所以k ≤－10.
17．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数.导学号 54742448 (1)求a 1及a n ；
(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值． [解析] (1)由S n ＝kn 2＋n ， 得a 1＝S 1＝k ＋1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1. 经验证，n ＝1时，上式也成立， ∴a n ＝2kn －k ＋1.
(2)∵a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列， ∴a 22m ＝a m ·a 4m ， 即(4mk －k ＋1)2
＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 整理得mk (k －1)＝0. ∵对任意的m ∈N *成立， ∴k ＝0或k ＝1.。