2021年福建省泉州市中考第二次毕业班质量检查数学试题(二检)(含答案解析)

2021年福建省泉州市中考第二次毕业班质量检查数学试题
（二检）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．﹣15
的绝对值是（ ） A ．﹣15 B ．15 C ．﹣5 D ．5
2．截至2021年2月3日，“天问一号”火星探测器总飞行里程已超过4.5亿公里，距地球约170000000公里．将数字170000000用科学记数法表示为（ ）．
A ．81.710⨯
B ．71710⨯
C ．90.1710⨯
D ．617010⨯ 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 4．下列运算正确的是（ ）．
A ．235a a a ⨯=
B ．235a a a +=
C ．()235a a =
D ．()2236a a = 5．如图，该几何体的左视图是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 6．下列事件中，是随机事件的是（ ）．
A ．从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑克牌中抽取一张牌，恰好是方块
B ．抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面
C ．从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球
D ．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数
7．如图，数轴上两点M 、N 所对应的实数分别为m 、n ，则m n +的结果可能是（ ）．
A ．1
B ．12
C ．0
D ．－1
8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EO AC ⊥于点O ，交BC 于点E ，若ABE △的周长为5，2AB =，则AD 的长为（ ）．
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
9．如图，在66⨯的网格图中，O 经过格点A 、B 、D ，点C 在格点上，连接AC 交O 于点E ，连接BD 、DE ，则sin BDE ∠值为（ ）．
A ．12
B
C
D ．2
10．已知二次函数()2230y ax ax a =-+>，当0x m ≤≤时，33a y -≤≤，则m 的
取值范围为（ ）．
A ．01m ≤≤
B ．02m ≤≤
C ．12m ≤≤
D ．2m ≥
二、填空题
11．不等式2x ﹣6＞0的解集是_____．
12．若n 边形的每一个外角都为45°，则n 的值为________．
13．某校数学课外兴趣小组10个同学数学素养测试成绩如图所示，则该兴趣小组10个同学的数学素养测试成绩的众数是__________分．
14．若224x y -=-，则236x y -+的值为________．．
15．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD 与四边形EFGH 均为正方形，点H 是DE 的中点，阴影部分的面积为24，则AD 的长为____________．．
16．如图，点A 、C 为反比例函数16y x
=-上的动点，点B 、D 为反比例函数22y x =上的动点，若四边形ABCD 为菱形，则该菱形边长的最小值为___________．
三、解答题
17．解方程组：4311213x y x y -=⎧⎨+=⎩
．
18．先化简，再求值．2211121a a a a a ，其中1a =
19．如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，求证：AG ＝CH.
20．如图三角形纸片ABC 中，30A ∠=︒，AC ，点P 为AB 边上的一点（点P 不与点A 、B 重合），连接CP ，将ACP △沿着CP 折叠得到A CP '．
（1）求作A CP '；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若30BPA '∠=︒，求点P 到直线AC 的距离．
21．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC 绕点B 按顺时针方向旋转得到DBE ，当点E 恰好落在线段AB 上时，连接AD ，ABD ∠的平分线BF 交AD 于点F ，连接EF ．
（1）求EF 的长；
（2）求证：C 、E 、F 三点共线．
22．某超市销售一款果冻，4月底以22元/千克购入200千克，5月10日再以22.5元/千克购入120千克．下表是这些果冻的销售记录，图象是其销售利润y （元）与销售量x （千克）之间的函数关系．
请根据上述信息，解答问题：
（1）5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
23．随着互联网的快速发展，人们的生活越来越离不开快递，某快递公司邮寄每件包裹的收费标准是：重量小于或等于1千克的收费10元；重量超过1千克的部分，每超过1千克（不足1千克按1千克计算）需再收费2元．下表是该公司某天9：00～10：00统计的收件情况：
试根据以上所提供的信息，解决下列问题：
（1）求包裹重量为1＜G≤2的概率；
（2）小东打算在该公司邮寄一批每件3千克的包裹到不同地方，现有两种付费方式供他选择：①按该公司收费标准付费；②按上表中的平均费用付费．问：他选择哪种方式付费合算？说明理由．
24．如图1，在O中，点A是优弧BAC上的一点，点I为ABC的内心，连接AI并延长交O于点D，连接OD交BC于点E，连接BI．
（1）求证：OD BC ；
（2）连接DB ，求证：DB DI =；
（3）如图2，若24BC =，5tan 12
OBC ∠=，当B 、O 、I 三点共线时，过点D 作//DG BI ，交O 于点G ，求DG 的长．
25．已知顶点为D 的抛物线()()230y a x a =-≠交y 轴于点()0,3C ，且与直线l 交于不同的两点A 、B （A 、B 不与点D 重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若90ADB ∠=︒，
①试说明：直线l 必过定点；
②过点D 作DF l ⊥，垂足为点F ，求点C 到点F 的最短距离．
参考答案
1．B
【分析】
根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可. 【详解】
数轴上表示数﹣1
5
的点到原点的距离是
1
5
，
所以﹣1
5
的绝对值是
1
5
，
故选B.
【点睛】
本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
错因分析容易题.失分原因是绝对值和相反数的概念混淆.
2．A
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】
解：170000000=1.7×108．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．A
【分析】
运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项运算法则逐个判断即可．
【详解】
解：A ．235a a a ⨯=，故A 正确；
B ．23a a 和不是同类项无法合并，故B 错误；
C ．()236a a =，故C 错误；
D ．()2
239a a =，故C 错误；
故选：A
【点睛】
本题主要考查整式的相关计算，掌握相关的运算法则是解题的关键．
5．B
【分析】
根据从左面看所得到的图形直接判断即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】
解：从左面看，是一列两个矩形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6．B
【分析】
根据随机事件定义逐一判断即可．
【详解】
A ，从背面朝上的5张红桃和5张梅花扑克牌中抽取一张牌，恰好是方块，是不可能事件，故此项不符合题意；
B ，抛掷一枚普通硬币9次是正面，抛掷第10次恰好是正面，是随机事件，故此项满足题意，
C ，从装有10个黑球的不透明箱子中随机摸出1个球，恰好是黑球，是必然事件，故此项不满足题意；
D ，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数不是奇数就是偶数，是必然事件，故不满足题意；
故答案选：B
【点睛】
此题考查随机事件，涉及必然事件，不可能事件的定义，难度一般，逐一判断即可． 7．D
【分析】
根据数轴得到点M 、N 所对应的实数的范围，再结合实数的加法解题．
【详解】
解：依题意得，32,12m n -<<-<<
20m n ∴-<+<
则m n +的结果可能是－1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查数轴与实数的对应关系，涉及一元一次不等式，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．C
【分析】
由矩形的性质可得AO ＝CO ，由线段垂直平分线的性质可得AE ＝EC ，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AO ＝CO ，BC ＝AD ，
∵EO ⊥AC ，
∴AE ＝EC ，
∵△ABE 的周长为5，
∴AB +AE +BE ＝5，
∴2+BC ＝5，
∴BC ＝3＝AD ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键． 9．B
【分析】
根据题意可知点E 也在圆上，则∠BDE =∠BAE ，因此在网格中求出sin BAE ∠即可．
【详解】
∵AC 交O 于点E ，
∴∠BDE =∠BAE ，
由题意，在Rt △ABC 中，
AB =4，BC =2，AC =
∴sin
BC BAE AC ∠===，
∴sin BDE ∠=
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查圆周角定理的推论以及锐角三角函数，理解正弦函数的定义是解题关键． 10．C
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m 的取值范围．
【详解】
解：二次函数y ＝ax 2﹣2ax +3＝a （x ﹣1）2﹣a +3（a ＞0），
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x ＝1，当x ＝1时，该函数取得最小值﹣a +3， ∵当0≤x ≤m 时，3﹣a ≤y ≤3，当y ＝3时，x ＝2或x ＝0，
∴1≤m ≤2，
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．x＞3
【详解】
试题分析：利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上6再除以2，即可求得答案，注意不等号的方向不变．
解：∵2x﹣6＞0，
∴2x＞6，
∴x＞3．
故答案为x＞3．
12．8
【分析】
根据任何多边形的外角和都是360度，利用360度除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【详解】
解：∵多边形的外角和为360°，一个外角45°，
∴多边形得到边数360÷45＝8，所以是八边形．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查多外角和边形的为360°，正确理解多边形外角和定理是关键．
13．92
【分析】
根据众数的定义即可求解．
【详解】
解：在这一组数据中92出现次数最多，故众数是92分．
故答案为：92．
【点睛】
本题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
14．12
先将236x y -+提取公因式再整体代入求解即可．
【详解】
∵223632x y x y -+=--（）
且224x y -=- ，
∴2363412x y -+=-⨯-=（），
故答案为：12．
【点睛】
此题考查代数式求值，利用提取公因式法因式分解再整体代入求解，难度一般．
15．
【分析】
由四边形ABCD 与四边形EFGH 均为正方形，点H 是DE 的中点，可知E 、F 、G 分别为AF 、 BG 、 CH 的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH 面积的12
，从而阴影部分总面积为正方形 EFGH 面积的3倍，即可得正方形EFGH
面积为8，继而得DH = EH =AE =AD 的长
【详解】
解：由四边形 ABCD 与四边形EFGH 均为正方形，点H 是DE 的中点，可知E 、F 、G 分别为AF 、BG 、CH 的中点，且AE =EH = DH = HG = CG =FG =BF =EF = BE
∴S △AEH = S △DHG = S △CGF = S △RFE =
12S 正方形EFGH ∴324
EFGH S S =⨯=正影形阴方
∴EH DH ==
∴2DE EH ==又90AED ︒=∠
∴AD ==
=
故答案为：
【点睛】
本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键
16．4
【分析】
连接AC 、BD ，则AC BD ⊥．设6
()A a a -，，2()D m m ，，则2()B m m
--，．根据两点的距离公式可分别求出AD 、AB 、OA 、OD 的长．再根据菱形的性质即得出AD AB =，即可求出a 和m 的关系．最后在Rt AOD △中，利用勾股定理即可求出AD 的最小值．
【详解】
如图，连接AC 、BD ，则AC BD ⊥． 根据题意可设6()A a a -，，2()D m m ，，则2()B m m --，．
∴AD =，AB =
OA =OD = ∵AD AB =，
= 整理得：2212a m =，即2212a m
=
在Rt AOD △中，AD =AD =
整理得：AD =
将2212a m =代入上式得：AD ==．
∵4≥，
∴4AD ≥．
∴该菱形边长的最小值为4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查反比例函数图象和性质，菱形的性质，两点的距离公式以及勾股定理，数据处理难度大，较难．作出辅助线是解答本题的关键．
17．53
x y =⎧⎨=⎩． 【分析】
利用加减消元法解二元一次方程组，即可得到答案.
【详解】
解：4311213x y x y -=⎧⎨+=⎩
①②， ①+②×3得：10x ＝50，
解得：x ＝5，
把x ＝5代入②得：y ＝3，
则方程组的解为：53x y =⎧⎨
=⎩
． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组
.
18．11a --；2
-． 【分析】
根据分式的运算法则进行化简，然后将1a =
【详解】 解：原式2111111a a a a a a a 211111
a a a a a a 211111
a a a a a a 211111
a a a a 11
a =--．
当1a =
原式
2===-． 【点睛】
本题考查分式的化简求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．
19．证明见解析.
【详解】
【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，根据平行线的性质得∠E=∠F ，再结合已知条件可得AF=CE ，根据ASA 得△CEH ≌△AFG ，根据全等三角形对应边相等得证.
【详解】∵在四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，
∴∠E=∠F ，
又∵BE ＝DF ，
∴AD+DF=CB+BE ，
即AF=CE ，
在△CEH 和△AFG 中，
E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△CEH ≌△AFG ，
∴CH=AG.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相
关知识是解题的关键.
20．（1）见解析；（2
）
2
． 【分析】
（1）分别以C P 、为圆心，PA CA 、为半径，作弧交于点A '，连接A P CA ''、，根据SSS 可得到A CP ACP '≅△△；
（2）由轴对称的性质可得A P AP '=，APC A PC '∠=∠，继而证明75=ACP APC ∠=︒∠，过点P 作PT CA ⊥于点T ，在Rt ATP △中，利用正弦定义解题即可．
【详解】
（1）如图，
A CP '是所求作的；
（2）由轴对称的性质可得：
A P AP '=，APC A PC '∠=∠，
30BPA =︒'∠
18030752
APC A PC ︒-︒'∴∠=∠==︒ 75APC A PC '∠=∠=︒
30A ∠=︒
∴75=ACP APC ∠=︒∠，
∴AP AC ==
过点P 作PT CA ⊥于点T ，则90ATP ∠=︒，
在Rt ATP △中，sin PT A AP
=，
sin sin 302
PT AP A ⋅=︒==，
答：点P 到直线AC 【点睛】 本题考查尺规作图、轴对称变换、等腰三角形的性质、平行线的性质、正弦等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
21．（1）EF
=（2）见解析 【分析】
（1）将ABC 绕点B 按顺时针方向旋转得到DBE ，可得8,6,DE AC BE BC ====从而可求AD ，由AB BD =，BF 平分ABD ∠，可得F 是AD 中点，12
EF AD =
即可得到答案；
（2）连接CE ，由旋转的性质可知BC BE =，BA BD =，CBE ABD ∠=∠，90BED BCA ∠=∠=︒，先证CEB BAD ∠=∠，再证明AEF CEB ∠=∠，根据
180AEF FEB ∠+∠=︒，可得180CEB FEB ∠+∠=︒，即180FEC ∠=︒，得证C 、E 、F 三点共线．
【详解】
（1）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，
由勾股定理得：10AB =，
由旋转的性质可知8DE AC ==，
6BE BC ==，10DB AB ==，90BED BCA ∠=∠=︒， ∴1064AE AB BE =-=-=，1801809090AED BED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
在Rt AED △中，由勾股定理得：AD ==
∵AB DB =，BF 平分ABD ∠， ∴AF DF =，即EF 是Rt AED △斜边上的中线，
∴1122
EF AD ==⨯=
（2）如图，连接CE ，由旋转的性质可知BC BE =，BA BD =，CBE ABD ∠=∠，90BED BCA ∠=∠=︒，
设CBE ABD α∠=∠=，则1802CEB ECB α∠∠=
︒-=，1802BAD BDA α︒-∠=∠=， ∴CEB BAD ∠=∠，
由（1）知12
EF AF AD ==
， ∴∠=∠BAD AEF ，
∴AEF CEB ∠=∠，
∵180AEF FEB ∠+∠=︒，
∵180CEB FEB ∠+∠=︒，即180FEC ∠=︒，
∴C 、E 、F 三点共线．
【点睛】
本题考查直角三角形性质以及应用，涉及勾股定理、旋转变换、等腰三角形性质、三点共线等知识，解题的关键是掌握定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边中线的一半、三点共线的判定以及性质．
22．（1）450元；（2）334201903201313y x x ．
【分析】
（1）由函数的图象可知，由此可得5月1日至7日，该超市销售这款果冻150千克，根据售价和购入即可求解；
（2）根据销售利润求出点B的横坐标，可得B（190，450），设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为y kx b
=+，由点A、B的坐标代入即可求解．
【详解】
解：（1）依题意得，5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利：15025221503450（元）
答：5月1日至7日，该超市销售这款果冻共获利450元．
（2）5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻获得的利润：
（780-450）-120×（25-22.5）=30（元），
5月10日至5月20日期间销售4月底购入果冻的数量：30÷（25-22）=10（千克），
∴点B的横坐标：200-10=190，
设5月10日至5月20日期间销售利润y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为()0
y kx b k
=+≠，
把（190，450）和（320，780）代入y kx b
=+得，
得190450 320780
k b
k b
，
解得：
33
,
13
420
13 k
b
∴5月10日至5月20日销售利润y （元）与销售量x（千克）之间的函数关系式为：33420
190320
1313
y x x．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，熟悉相关性质是解题的关键．
23．（1）7
25
；（2）方案②，见解析
【分析】
（1）包裹重量为1＜G≤2的概率，等于1＜G≤2的件数除以总件数；
（2）法一：设小东打算邮寄的这批每件3千克的包裹共有n件，所需要的费用为W元，法
二：设小东打算邮寄的这批每件3千克的包裹，每件所需要的费用为Q 元，将两咱付费方式的费用分别计算出来进行比较即可．
【详解】
解：（1）()140712135140110655025
P G <≤==++++； （2）法一：设小东打算邮寄的这批每件3千克的包裹共有n 件，所需要的费用为W 元，依题意得：
方案①付费：()11031214W n n =+-⨯=⎡⎤⎣⎦（元）
方案②付费：21351014012110146516501813.021351401106550W n n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
⋅=++++（元）． ∵1413.02n n >，
小东应选择方案②付费合算．
法二：设小东打算邮寄的这批每件3千克的包裹，每件所需要的费用为Q 元，依题意得： 方案①每件包裹需付费：()11031214Q =+-⨯=（元/件）
方案②每件包裹需付费：21351014012110146516501813.021351401106550Q ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=++++（元/件）
∵1413.2>（元/件），且小东邮寄的包裹数量固定，
∴小东应选择方案②付费合算．
【点评】
此题考查了概率，加权平均数等知识，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）解法一：连接OB 、OC 、DB 、DC ，由内心的性质可知AI 为BAC ∠的角平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等可知BD CD =，DB DC =，根据等腰三角形三线合一可知点D 在BC 的中垂线上，根据OB OC =可知点O 在BC 的中垂线上，进而即可得到结论；解法二：连接OB 、OC 、DB 、DC ，由内心的性质可知AI 为BAC ∠的角平分线，根据相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等可知BD CD =，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，且OD 是半径，即可得到结论；
（2）如图2，连接DB ，设2BAC α∠=，2ABC β∠=，由内心的性质可知
BAD CAD α∠=∠=，ABI CBI β∠=∠=，由同弧或等弧所对的圆周角相等可知CBD CAD α∠=∠=，根据角的关系可以用α，β表示出DBI ∠和DIB ∠，进而通过等腰三角形的性质得到DB DI =；
（3）如图3，连接OG ，作OK DG ⊥于K ，根据垂直平分线的性质可得BE 的长度，在Rt BOE △中，根据三角函数的性质可得OE 的长度，根据等腰三角形垂径定理可知12
DK DG =，根据平行线的性质可得OK BI ⊥，则90BOK ∠=︒，根据同角的余角相等可得OBC DOK ∠=∠，在Rt BOE △和Rt DOK △中根据三角函数的关系可得OE DK =，进而即可得到DG 的长．
【详解】
（1）解法一：如图1，连接OB 、OC 、DB 、DC ，
∵点I 为ABC 的内心，
∴AI 平分BAC ∠，
∴BAD DAC ∠=∠，
∴BD CD =，
∴DB DC =，
∴点D 在BC 的中垂线上，
∵OB OC =，
∴点O 在BC 的中垂线上，
∴DO BC ⊥．
解法二：如图1，连接OB 、OC 、DB 、DC ，
∵点I 为ABC 的内心，
∴AD 平分BAC ∠，
∴BAD DAC ∠=∠，
∴BD CD =，
又∵OD 是半径，
∴DO BC ⊥．
图1
（2）如图2，连接DB ，设2BAC α∠=，2ABC β∠=，
由（1）知BAD CAD α∠=∠=，
∵点I 为ABC 的内心，
∴BI 平分ABC ∠，
∴ABI CBI β∠=∠=，
∵CD CD =，
∴CBD CAD α∠=∠=，
∴DBI IBC CBD αβ∠=∠+∠=+，
∵DIB BAD ABI αβ∠=∠+∠=+，
∴DBI DIB ∠=∠，
∴DB DI =．
图2
（3）如图3，连接OG ，作OK DG ⊥于K ，
∵OE BC ⊥，24BC =， ∴1122
BE BC ==， 在Rt BOE △中，90OEB ∠=︒，5tan 12512OE BE OBE =∠=⨯
=， 又∵OK DG ⊥， ∴12
DK DG =， ∵//BI DG ，OK DG ⊥，
∴OK BI ⊥，
∴90BOK ∠=︒，
∵OE BC ⊥，
∴90OEB ∠=︒，
∴90OBC BOE ︒∠=-∠，90DOK BOE ∠=︒-∠，
∴OBC DOK ∠=∠，
在Rt BOE △中，90OEB ∠=︒，sin OE OB OBE =∠，
在Rt DOK △中，90OKD ∠=︒，sin DK OD DOK =∠，
∵OB OD =，
∴5OE DK ==，
∴210DG DK ==．
图3
【点睛】 本题考查了圆周角、垂径定理、三角形的内心、三线合一、同角的余角相等
等知识点，解答本题的关键是正确作出辅助线并综合运用以上知识点，
25．（1）()2133y x =
-；（2）①见解析；
【分析】
（1）利用待定系数法解题；
（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，120y y ≠，过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为P 、Q ，顶点()3,0D ，证明APD DQB △△∽，根据相似三角形的对应边成比例解得
()12121239y y x x x x =+--，设直线():0l y kx b k =+≠，联立21233y kx b y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，得一元二次方程()()2
36930x k x b -++-=，由根的判别式解得Δ0>，再结合根与系数的关系解得1236x x k +=+，1293x x b =-，代入()12121239y y x x x x =+--中解题即可； ②根据90°角所对的弦是直径，解得点F 在以DE 为直径的圆上，设圆心为点G ，则点33,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据勾股定理解得CG 的长，连接CG 、FG ，由三角形的三边关系解题即可． 【详解】
解：（1）把点()0,3C 代入()2
3y a x =-，得：93a =， ∴13
a =
， ∴()2133y x =-； （2）如图：
①法一：依题意可设()11,A x y ，()22,B x y ，120y y ≠，过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为P 、Q ，顶点()3,0D ，
∴90APD DQB ∠=∠=︒，
∵90ADB ∠=︒，
∴90ADP QDB ∠+∠=︒，
又∵90ADP PAD ∠+∠=︒，
∴PAD QDB ∠=∠，
∴APD DQB △△∽， ∴AP PD DQ BQ
=，即112233y x x y -=-，得()12121239y y x x x x =+--， 设直线():0l y kx b k =+≠，联立21233y kx b y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，得()()236930x k x b -++-=， 则()()2
2Δ36493936120k b k k b =+--=++>， ∴(
)362k x +=，
∴1236x x k +=+，1293x x b =-，
∴()()()123369399333y y k b k b k b =+---=+=+，
∵()()()()()2222121212129336y y kx b kx b k x x kb x x b k b kb k b =++=+++=-+++ ()2
22963k kb b k b =++=+，
∴()()2333k b k b +=+，即()()3330k b k b ++-=， ∴30k b +=（舍去）或330k b +-=，
当330k b +-=，即33b k =-时，()3333y kx k k x =+-=-+，令30x -=，则3y =， ∴直线l 必过定点()3,3E ；
法二：前面同法一，可得：()()121233y y x x =---，
设直线():0l y kx b k =+≠，联立21233y kx b y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，得()()236930x k x b -++-=， 则()()2
2Δ36493936120k b k k b =+--=++>，
∴()362k x +=，
∴1236x x k +=+，1293x x b =-，
∵点()11,A x y 与点()22,B x y 在抛物线()2133y x =
-上， ∴()211132y x =-，()222132
y x =-， 又∵()()121233y y x x =---， ∴
()()()()221212133339
x x x x --=---， ∴()()()()221212133339x x x x --=---， ∵13x ≠，23x ≠，
∴()()12330x x --≠，
化简，得()()12339x x --=-，
∴()121318x x x x -+=-，
∴()()9333618b k --+=-，解得：33b k =-，
将33b k =-代入y kx b =+，得：()3333y kx k k x =+-=-+，令30x -=，则3y =，
∴直线l 必过定点()3,3E ；
②∵点()3,0D ，点()3,3E ，点()0,3C ，
∴3DE =．
∵DF l ⊥，
∴点F 在以DE 为直径的圆上，设圆心为点G ，则点33,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴CG =
如图，连接CG 、FG ，则33222
CF CG FG ≥-=-=， 当且仅当点F 在线段CG 上时，上式取“＝”号．
∴CF的最小值为
3 2
．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、一次函数与二次函数综合、二次函数与一元二次方程、90°角所对的弦是直径、三角形三边关系、勾股定理等知识，是重要考点，难度大，掌握相关知识是解题关键．。